初中圆与三角形知识点归纳练习

圆与三角形是初中几何的核心内容，两者联系紧密，综合性强。掌握好这两部分知识，并能灵活运用它们解决问题，是学好初中几何的关键。本文将对圆与三角形的重要知识点进行梳理归纳，并辅以针对性练习，帮助同学们巩固提升。一、知识梳理（一）圆的基本知识点回顾1.圆的定义与基本元素：*在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心，这条线段叫做半径。*连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦。*圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。*顶点在圆心的角叫做圆心角。顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。2.圆的基本性质：*对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。*垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。*圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。*圆周角定理及其推论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。3.点与圆、直线与圆的位置关系：*点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d。点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d<r。*直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。直线与圆相离⇔d>r；直线与圆相切⇔d=r；直线与圆相交⇔d<r。*切线的判定与性质：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。圆的切线垂直于经过切点的半径。4.圆内接四边形：*四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。*圆内接四边形的性质：对角互补；任意一个外角都等于它的内对角。（二）三角形的基本知识点回顾1.三角形的基本元素：三角形有三个顶点、三条边和三个内角。2.三角形的重要线段：*中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。三角形的三条中线交于一点，叫做重心。*高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。三角形的三条高线交于一点，叫做垂心。*角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。三角形的三条角平分线交于一点，叫做内心。*中垂线（垂直平分线）：垂直于三角形一边并且平分这条边的直线。三角形的三边的垂直平分线交于一点，叫做外心。3.三角形的性质：*内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。*外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。*三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。4.特殊三角形：*等腰三角形：两腰相等，两底角相等（等边对等角）；等角对等边。顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。*等边三角形：三边相等，三个内角都等于60°。具有等腰三角形的所有性质，并且每条边上都有三线合一。*直角三角形：有一个角是直角（90°）。直角三角形的两个锐角互余。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。5.全等三角形：*能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。*全等三角形的判定方法：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角边，适用于直角三角形）。（三）圆与三角形的交汇1.三角形的外接圆与外心：*经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点。*外心的性质：到三角形三个顶点的距离相等（都等于外接圆半径）。*锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。2.三角形的内切圆与内心：*与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三个内角平分线的交点。*内心的性质：到三角形三边的距离相等（都等于内切圆半径）。内心一定在三角形内部。3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。*切线长定理常与三角形的周长、面积结合考查。若三角形的周长为C，内切圆半径为r，则三角形面积S=(1/2)×C×r。4.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。（此定理在部分教材中可能作为拓展内容，但对于解题很有帮助）二、实战练习（一）填空题1.在⊙O中，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB所对的圆周角的度数是_________。2.直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆半径为_________，内切圆半径为_________。3.已知△ABC内接于⊙O，若∠A=60°，则∠BOC=_________度（O为圆心）。4.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠P=60°，PA=6，则⊙O的半径为_________，AB的长为_________。（此处应有图：一个圆，外一点P引两条切线PA、PB，连接OA、OB、OP）（二）选择题1.下列说法正确的是（）A.三点确定一个圆B.三角形的外心是三角形三条高的交点C.圆的切线垂直于半径D.直径所对的圆周角是直角2.若一个三角形的外心在它的一条边上，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AB=5，BC=7，AC=6，则AD的长为（）（此处应有图：一个三角形，内切圆与三边分别切于D、E、F，D在AB上，E在BC上，F在AC上）A.2B.3C.4D.5（三）解答题1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。（此处应有图：等腰三角形ABC，AB=AC，AB为直径画圆，与BC交于D，过D作AC垂线，垂足为E）2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作圆，与AB相切于点D。求⊙O的半径。（此处应有图：直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=6，点O在BC上，OB为半径的圆与AB切于D）3.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径。求证：∠BAE=∠CAD。（此处应有图：圆内接三角形ABC，AE是直径，AD是BC边上的高）练习答案及提示：（一）填空题1.60°或120°（注意一条弦对两条弧）2.5，2（外接圆半径是斜边一半；内切圆半径r=(a+b-c)/2，其中c为斜边）3.120°（同弧所对圆心角是圆周角两倍）4.2√3，6（连接OA、OB，△OAP为直角三角形，∠OPA=30°；△PAB为等边三角形）（二）选择题1.D（A：不在同一直线上的三点；B：外心是中垂线交点；C：垂直于过切点的半径）2.B3.A（设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z，列方程组x+y=5,y+z=7,x+z=6，解得x=2）（三）解答题（简要思路）1.提示：连接OD。欲证DE是切线，需证OD⊥DE。因为AB=AC，所以∠B=∠C；因为OB=OD，所以∠B=∠ODB，所以∠ODB=∠C，所以OD∥AC。因为DE⊥AC，所以OD⊥DE。2.提示：设⊙O半径为r，则OC=6-r。连接OD，则OD⊥AB，OD=r。由勾股定理得AB=10。利用△AOD∽△ABC（或面积法、三角函数），对应边成比例：OD/AC=OB/AB，即r/8=r/10？不对，应该是OD/AC=OB/AB？不，是△BOD∽△BAC。因为∠B是公共角，∠ODB=∠C=90°。所以OD/AC=BO/BA→r/8=r/10？不对，BO=r，BA=10，AC=8，BC=6。应该是OD/AC=BO/BA→r/8=r/10？显然不对，是我相似三角形对应搞错了。应该是△BOD∽△BAC，所以OD/AC=BO/BA→r/8=r/10？不可能。哦，是OD/AC=BO/BA改为OD/BC=BO/BA？OD=r，BC=6，BO=r，BA=10→r/6=r/10？也不对。正确的是：AD=AB-BD，BD可由勾股定理在Rt△BOD中表示，或利用面积法：S△ABC=S△AOC+S△AOB。S△ABC=24。S△AOB=(1/2)*AB*r=5r。S△AOC=(1/2)*AC*OC=(1/2)*8*(6-r)=4*(6-r)。所以4*(6-r)+5r=24→24-4r+5r=24→r=0？不对！我犯了个错误，O在BC上，那么△AOC的高不是OC，OC是底边。应该是S△ABC=S△ABO+S△AOC？不对，O在BC上，△ABC被分成△ABO和△AOC。S△ABO=(1/2)*BO*AC？不对，BO是半径，但AC是垂直于BC的。正确的是：过O作OD⊥AB于D（切点），OD=r。S△ABC=S△AOB+S△AOC。S△AOB=(1/2)*AB*OD=(1/2)*10*r=5r。S△AOC=(1/2)*AC*OC=(1/2)*8*(BC-BO)=4*(6-r)。所以5r+4*(6-r)=24→5r+24-4r=24→r=0。显然不对！我混淆了。正确的做法是利用相似：∠B是公共角，∠ODB=∠ACB=90°，所以△ODB∽△ACB。所以OD/AC=BD/BC=BO/AB。即r/8=BD/6=r/10。由r/8=r/10显然不成立，应该是r/AC=BO/AB→r/8=r/10？我疯了。正确的是：BO=r，AB=10，cos∠B=BC/AB=6/10=3/5。在Rt△BOD中，cos∠B=BD/BO=BD/r=3/5→BD=(3/5)r。sin∠B=OD/BO=r/r=1？不对，sin∠B=AC/AB=8/10=4/5，且sin∠B=OD/BO=r/r=1？矛盾了。我必须用勾股定理：AD=AB-BD=10-(3/5)r。AO^2=AC^2+OC^2=8^2+(6-r)^2。同时AO^2=AD^2+OD^2=[10-(3/5)r]^2+r^2。令两者相等：64+(6-r)^2=[10-(3r/5)]^2+r^2。展开求解：64+36-12r+r²=100-12r+(9r²/25)+r²→100-12r+r²=100-12r+(34r²)/25→r²=(34r²)/25→25r²=34r²→9r²=0→r=0。天啊，我哪里错了？哦！O点在BC上，那么OB是半径，OD是切线长，OD⊥AB。正确的相似应该是△BDO∽△BCA。所以BD/BC=BO/BA=OD/AC→BD/6=r/10=r/8。啊！OD/AC=r/8，BO/BA=r/10。所以r/8=r/10只有r=0才成立，这说明我图理解错了！题目说“以O为圆心，OB为半径作圆，与AB相切于点D”。那么OB是半径，OD也是半径（OD是圆心到切点的距离），所以OB=OD=r。那么在Rt△ODB中，OB=OD=r，所以∠OBD=45°，但△ABC中∠B的正切是AC/BC=8/6=4/3≠1，所以题目没问题，是我设错了，OC=6-OB=6-r。OD=r，OD⊥AB。S△ABC=(1/2)*6*8=24。S△ABO=(1/2)*AB*OD=(1/2)*10*r=5r。S△AOC=(1/2)*OC*AC=(1/2)*(6-r)*8=4*(6-r)。因为S△ABO+S△AOC=