南昌十九中2024-2025学年第二学期2月月考高三数学+答案

试卷第1页，共4页一、单选题t2．已知a,b∈R，“复数z=是纯虚数，i为虚数单位”是“a=-2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．记Sn为数列{an}的前n项和，若a3=2S2，{}为等比数列，则）4．已知函数f(x)={l-nx(-+,≤0，若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取5．已知随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布，且X～N(1,3)，Y～B，则()6．已知双曲线Ca>0,b>0)的左、右焦点分别F1，F2.A是C上的一点（在第一象限直线AF2与y轴的负半轴交于点B，若AF1丄BF1，且BF2=4F2A，则双曲线C的离心率为()7．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，P为正方体表面上的动点，且丄.设动点P的轨迹为曲线W，则()试卷第2页，共4页-)二、多选题9．在下列关于二项式的命题中，正确的是()A．若二项式(a+b)n的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n=58C．在的展开式中，常数项为60D．(1+x)(1-x)5的展开式中，x210．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1三、填空题12．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若13．寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为.（用数字作答）14．过抛物线y2=4x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2(r>0)的两条切线，切点分别为A,B，若|AB|.|PC|的最小值是12，则r=.四、解答题15．已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosC+asinC-b-c=0.(1)求角A；(2)若a=4，VABC的面积为，求sinBsinC的值.试卷第3页，共4页16．如图，在体积为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，A1B=AB、D为AC的中点.(1)求证：平面ACC1A1丄平面A1BD；(2)求直线A1D与平面ABC1所成角的正弦值.17．已知椭圆C的上顶点为A(0,1)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合直线AM与椭圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为k1，k2，问：是否存在常数λ,使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.试卷第4页，共4页18．已知函数f(x)=xln(x(1)当a=0时，求f(x)的极小值；(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2)．(ⅰ)求a的取值范围；n*)，将集合Am中的元素的最大值记为bm，即bm是数列{an}中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值.我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列.(1)若数列{an}的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列{an}；(2)设an=4n-1，求数列{an}的伴随数列{bn}的前50项之和；(3)若数列{an}的前n项和Sn=n2+c（其中c为常数求数列{an}的伴随数列{bn}的前m项和Tm.试卷第1页，共11页选择题题答案汇总123456789DBDBCDCBBCDACAD一、单选题t2．已知a,b∈R，“复数z是纯虚数，i为虚数单位”是“a=-2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【详解】若【详解】若a=-2，则zi为纯虚数；若复数zi为纯虚数，则，解得a=±2，所以“复数z是纯虚数，i为虚数单位”是“a=-2”的必要不充分条件.故选：B.3．记Sn为数列{an}的前n项和，若a3=2S2，为等比数列，则）第三项为n-2，所以故选：D.【详解】因为{n}为等比数列，所以{n}的首项为a1，第二项为2，lnJlnJ2试卷第2页，共11页4．已知函数f(x)={l-nx(-+,≤0，若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取【详解】【详解】由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则方程f(x)-m=0有三个根，故函数y=f(x)与y=m的图象有三个交点；函数f(x)其图象如下所示，又因为函数f(-1)=4,f(0)=3，则实数m的取值范围[3,4)，故选：B.5．已知随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布，且X～N(1,3)，Y～B则()所以E(X)=D(Y).故选：C.6．已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别F1，F2.A是C上的一点（在第一象限直线AF2与y轴的负半轴交于点B，若AF1丄BF1，且BF2=4F2A，则双曲线C的离心率为()55【详解】设【详解】设AF2=m，如图所示：可得AF12+BF12=AB2在在A中，cosLA在OF2B中，cosLBF2O=，试卷第3页，共11页,有解得，故e.故选：D.7．如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，P为正方体表面上的动点，且丄.设动点P的轨迹为曲线W，则()【详解】分别取【详解】分别取AD,AB的中点F,G，连接A1C1、DE、D1B1、D1F、B1G、FG、DB，若若P为面A1B1C1D1上的动点，丄，则只需D1P丄A1C1，此时P的轨迹为线段D1B1；若若P为面A1D1DA上的动点，要使要使丄，则只需D1P丄ED，因为E、F分别是AA1、AD的中点，易证DE丄D1F，故此时P的轨迹为线段D1F；所以动点P的轨迹曲线W为过点F、D1、B1的平面与正方体各表面的交线，即梯形D1B1GF.因为正方体的棱长为2因为正方体的棱长为2，所以22222则.试卷第4页，共11页-,二、多选题9．在下列关于二项式的命题中，正确的是()A．若二项式(a+b)n的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n=58C．在的展开式中，常数项为605的展开式中，x2的系数为5【详解】对于【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大，当n为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项，当n为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大，所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大8(1)6对于C，|(2x-x,l二项式的展开式的通项公式为试卷第5页，共11页令令r=0，解得r=4，所以第5项为常数项且常数项为C(-1)4×22=60，故C正确；对于D，(1+x)(1-x)5展开式中x2的系数为C(-1)2+C(-1)1=5，故D正确.故选：BCD.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1n可得aa故A正确；B错误；对于C，由上可知，数列{an}是以3为周期的周期数列，A．x=1是函数f(x)的极小值点【详解】依题意，【详解】依题意，f(x)=(x+1)2(x-2)=x3-3x-2，则f,(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)， 令f,(x)=3(x-1)(x+1)>0，解得x>1或x<-1，则函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增，令f,(x)=3(x-1)(x+1)<0，解得-1<x<1，则函数f(x)在(-1,1)上单调递减，所以函数f(x)在x=1处取得极小值，所以A选项正确；试卷第6页，共11页又函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x+2)<f(x2+4x+4)，所以B选项不正确；对于C选项，因为x所以2x+3∈(0,2)，又f(1)=-4，f(0)=-2，f(2)=0，所以根据函数f(x)的单调性，可知-4≤f(2x+3)<0，所以C选项错误；根据函数f(x)的单调性，当-x∈(2,3)时，f(-x)>0；当x+2∈(-1,0)时，f(x+2)<0，所以f(-x)>f(x+2)成立，所以D选项正确，故选：AD．三、填空题12．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点【详解】【详解】,因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以AP=mAB+10AN．又又B，P，N三点共线，所以m=1，m故答案为：13．寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为.（用数字作答）【详解】先选司机有【详解】先选司机有C种，再选副驾，若副驾坐人，则有CA种；若副驾不坐人，则有A种，故不同的坐法种数为C(CA+A)=600.故答案为：60014．过抛物线y2=4x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2(r>0)的若|AB|.|PC|的最小值是12，则r=.【详解】设P(x0,y0)，则y=4x0，圆C的圆心C(4,0)，半径为r，试卷第7页，共11页由PA,PB切圆C于点A,B，得PC丄AB,PA丄AC,PB丄BC，当且仅当当且仅当x0=2时，等号成立，四、解答题(1)求角A；(2)若a=4，VABC的面积为求sinBsinC的值.所以asinC=ccosA+c，由正弦定理得sinAsinC=sinCcosA+sinC，故sinA=cosA+1.故cosA=0.所以A=.（2）设ABC的面积为S，则16．如图，在体积为2的三棱柱ABC—A1B1C1中，底面ABA1B=AB、D为AC的中点.(1)求证：平面ACC1A1丄平面A1BD；(2)求直线A1D与平面ABC1所成角的正弦值.【详解】（【详解】（1）证明：因为VABC是边长为2的正三角形，设点A1到平面ABC的距离为h，24试卷第8页，共11页=AB=2，所以A1B就是点A1到平面ABC的距离，故A1B丄平面ABC.因为AC平面ABC，所以A1B丄AC，因为AB=BC,D为AC中点，所以BD丄AC，因为AC平面ACC1A1，所以平面ACC1A1丄平面A1BD.（2）解：以B为原点，直线BA为x轴，在平面ABC内过点B与AB垂直的直线为y轴，直线BA1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，-1,00,-2,33).设直线A1D与平面ABC1所成角为θ,所以直线A1D与平面ABC1所成角的正弦值为.17．已知椭圆Ca>b>0)的上顶点为A(0,1)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合直线AM与棈圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为k1，k2，问：是否存在常数λ,使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.试卷第9页，共11页l(a222,lla2所以椭圆C的方程为1.（2）因为B为椭圆C的下顶点，所以B(0,-1).设N(x0,y0)（x0≠0且y0≠±1则直线BN的斜率k由点M到坐标原点O的距离等于1，可知点M在以AB为直径的圆上，所以直线AM与直线BM垂直.由题意得直线AM的斜率kAM所以存在λ=-4，使得k1+λk2=0恒成立.18．已知函数f(x)=xln(x(1)当a=0时，求f(x)的极小值；(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2)．(ⅰ)求a的取值范围；可知f(x)的定义域为(0,+∞)，且f,(x)=