概率中的数列特征-马尔科夫链课件-2026届高三数学二轮专题复习

概率中的数列特征——马尔科夫链高三数学二轮复习连续两项递推特征模型1记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)=P(A1B2)＋P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8=0.6.【解答】1

(2023∙新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

【解答】1

(2023∙新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

【解答】1

递推公式：Pi=aPi－1＋b(1－Pi－1)．连续两项的递推特征(当前状态只与上个状态有关)递推公式：①Pi=aPi－1＋bQi－1；②Qi=(1－a)Pi－1＋cQi－1＋d(1－Pi－1－Qi－1)．(注：图中a，b，c，d表示从上个状态转移到下个状态的概率)

(2025∙镇江期初)口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球．甲、乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回，若颜色相同，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球．第一次由甲开始摸球，记第n次由甲摸的概率是Pn．(1)求P2，P3；

【解答】变式1

【解答】变式1

连续三项递推特征模型2

【解答】2

2

【解答】

2

【解答】

递推公式：Pi＋1=aPi＋(1－a)Pi－1．(注：图中a表示从上个状态转移到下个状态的概率)连续三项的递推特征(当前状态只与上两个状态有关)基于期望的递推关系(选讲)模型33

【解答】

【解答】3

(2025∙武汉调研)已知常数p∈(0，1)，在成功的概率为p的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布．(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为(E2＋1)；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为(E2＋2)．①求E2；3

(2025∙武汉调研)已知常数p∈(0，1)，在成功的概率为p的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布．(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为(E2＋1)；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为(E2＋2)．②记首次出现连续n次成功时所需的试验次数的期望为En，求En．【解答】

甲口袋中装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，球除颜色外均相同．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n(n∈N*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为Xn，恰有1个黑球的概率为pn．(1)求p1；

【解答】变式3

甲口袋中装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，球除颜色外均相同．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n(n∈N*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为Xn，恰有1个黑球的概率为pn．(2)求Xn的数学期望E(Xn)．

【解答】变式3

配套热练01

【解析】

1．甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行．记第n次由甲掷的概率为Pn，则P3=_______，Pn=______________．

【解析】

2．设正三棱柱ABC–DEF的每条棱长都相等．一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，它选择三个方向爬行的概率相等．若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为P10，则P10=____________．

【解析】3．(2025∙东莞、揭阳、韶关期末)甲、乙、丙、丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为_____；经过n次传球后，球在甲手中的概率pn=_______(用含有n的式子表示)．

【解析】

【解析】65．(2025∙温州一模)飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子(骰子为均匀的正六面体)正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，若玩家掷出的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则E(X)=____．

【解答】6．(2025∙张家口一模节选)某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力．初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S．设an，bn，cn分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率．(1)若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y的次数的分布列及其数学期望；

X12P

6．(2025∙张家口一模节选)某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力．初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S．设an，bn，cn分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率．(2)求an及其最大值．【解答】

【解答】

Y3456P