【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项06 三角形）

【中考复习】年中考数学真题汇编（专项三角形）一．选择题（共小题）12025ABCA＝120AB＝ACAC的中点为DBC上的点E满足ED⊥AC．若DE，则AC的长是（）A．4B．6C．2D．322025ABCBAC＝90AB＝ACBCBC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣4C．8π﹣8D．4π﹣832025•山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（）A．SSSB．SASC．ASAD．HL42025MON＝100A在射线OMOOAON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（）第页（共页）A．80°B．100°C．°D．120°52025ABCDA＝∠ABC＝90AB＝4BC＝3AD＝1E为边ABDE绕点D逆时针旋转90°得到线段DFFBFCEC（）A．EC﹣ED的最大值是2B．FB的最小值是C．EC+ED的最小值是4D．FC的最大值是620251ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（）A．B．1C．D．72025ABCACB＝90A＝20CD为ABDE⊥AC中与∠A互余的角共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第页（共页）82025•北京）如图，在平面直角坐标系xOyAB分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N四个结论：①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④92025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（）A．∠B＝∠DCBB．∠BDC＝90°C．DB＝DCD．AD+DC＝BC102025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（）第页（共页）A．∠B+∠4＝180°B．CD∥ABC．∠1＝∠4D．∠2＝∠3二．填空题（共小题）2025AD在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2BD＝CDAD＝．122025•广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是．13202590ABCAB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形则BP的长为．142025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为．第页（共页）152025ABCBC＝6E是ACAB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是．162025ABCAB＝ACD在ACAD＝3CD＝2CBD＝45tan∠ACB的值为；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为．172025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，CAD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为．182025ABCDE的边ABDC的延长线交于点FF的大小为度．第页（共页）192025AC⊥BD之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为cm．202025•湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．（1）若三角形为等边三角形，则t＝；（2）下列结论正确的是①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；②若，则5＜t＜；③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7．三．解答题（共小题）212025D是△ABC的边BCBD＝ABDE∥ABDE＝BCBE＝AC．222025•河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．第页（共页）（1）求证：△ABC≌△AFD；（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD．232025Rt△ABCABC＝90AB＝40mBC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为ACA出发，沿A→B的方向以v（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v（m/minQ运动的时间为（minP到BDPPd（mQ到BD垂线段QQd（md＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t＜tt（min）0t1t25.5d（m）016160（1）机器人乙运动的路线长为m；（2）求t﹣t1的值；（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d＝d）时，求t的值．242025•江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要（1）在图1中作出BC的中点；（2）在图2中作出△ABC的重心．第页（共页）252025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造角平分线．小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OAOB边上截取OF＝OEF作OB的垂线与小红所作的垂线交于点POPOP即为∠AOB的平第二步：利用三角形全等证明她的猜想．证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△OEP和Rt△OFP中，∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL∴③∴OP平分∠AOB．262025如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCDE在对角线BD上．【数学理解】（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE2）若裁剪过程中第页（共页）满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．272025•苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．（1）求证：△DAC≌△ECB；（2）连接DE，若AB＝16，求DE的长．282025ABCD是ABCE⊥BCCEF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．（1）求∠DCE的大小；（2）求证：△CEG是等边三角形．292025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．302025•吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．第页（共页）（1）求证：△ABE≌△DCF．（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．312025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D．（1）求∠BCD的度数；（2）若BC＝2.5，求AD的长．322025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点CPAP为边作正方形APDED和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（sx＞0APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（1）AC的长为．（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．332025abcabc第页（共页）表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，25，60，6115，，19，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，，14，48，5018，80，8222，120，12226（1）请补全如表中的勾股数．（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．（31m果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？342025•山西）综合与探究问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平．1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F．①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由；②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长．第页（共页）35202512AE与DEAB与CDBCAB＝BC＝CD＝60cmABC＝∠BCD＝135MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM＝6°．（1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中，①∠CMN的最小值为度，最大值为度；②△CMN面积的变化情况是．A．越来越大B．越来越小C．先增又后减小（2）当∠CMN＝30°时，求△CMN的面积．362025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．活动主题测量纪念碑的高度实物图和测量示意图第页（共页）测量说明如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．测量数据DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．备注点F，M，D，C在同一水平线上．根据以上信息，解决下列问题．（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．（2）求纪念碑AB的高度．（3CDAB的高度约为18.5m的实际高度为19.64m2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因第页（共页）【中考复习】年中考数学真题汇编（专项三角形）一．选择题（共小题）题号12345678910答案BDBBABCBDD一．选择题（共小题）12025ABCA＝120AB＝ACAC的中点为DBC上的点E满足ED⊥AC．若DE，则AC的长是（）A．4B．6C．2D．3【解答】解：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°，∵ED⊥AC，∴∠CDE＝90°，∵tanC＝tan30°，∴DC＝3，∵D是AC的中点，∴AC＝2DC＝6．故选：B．22025ABCBAC＝90AB＝ACBCBC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（）第页（共页）A．2π﹣4B．4π﹣4C．8π﹣8D．4π﹣8【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BC＝4，∴，∴，故选：D．32025•山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（）A．SSSB．SASC．ASAD．HL【解答】解：在△AOB与△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS故选：B．42025MON＝100A在射线OMOOAON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（）A．80°B．100°C．°D．120°第页（共页）【解答】解：连接AB，AC，BC，由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC（SSS∴∠ACO＝∠BCO，50°，∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故选：B．52025ABCDA＝∠ABC＝90AB＝4BC＝3AD＝1E为边ABDE绕点D逆时针旋转90°得到线段DFFBFCEC（）A．EC﹣ED的最大值是2B．FB的最小值是C．EC+ED的最小值是4D．FC的最大值是【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形，第页（共页）∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF．∴∠ADE＝∠HDF，∴△DHF≌△DAE（SAS∴∠DHF＝∠DAE＝90°，∴FH⊥DG，即点F在FH上运动，∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，∴，，∴，∴BE最大时，EC﹣ED最大，当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小，此时，ED＝1，，故A错误，符合题意；，故B正确，不符合题意；作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，当C、E、M三点共线时，EC+ED最小，第页（共页）∵MN⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4，∴EC+ED的最小值，故C正确，不符合题意；当E与A重合时，，当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如图，∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3，∵△DHF≌△DAE，∴FH＝AE＝4，∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2，∴，综上，FC最大值为.故D项正确，不符合题意；故选：A．620251ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（）第页（共页）A．B．1C．D．【解答】解：如图，由题意可知，BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°，又∵∠ADF＝∠BDG，∴△ADF≌△BDG（AAS∴AD＝BD，同理：AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DEBC＝1，故选：B．72025ABCACB＝90A＝20CD为ABDE⊥AC中与∠A互余的角共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴CDAB，∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，第页（共页）∵AD＝CD，DE⊥AC，∴∠ADE＝∠CDE，∵∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，∴图中与∠A互余的角共有4个．故选：C．82025•北京）如图，在平面直角坐标系xOyAB分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N四个结论：①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为，则A（a，0，，∴，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，，∴，，∴S＝S，故结论①正确；，第页（共页），当△MON与△MCN的面积相等时，，即a＝b，当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误；NOM＝60°且对称轴都为直线y＝xMON可能是等边三角形，故④正确，如图：当M，N在y＝x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误；综上，①④正确、②③错误．故选：B．92025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（）第页（共页）A．∠B＝∠DCBB．∠BDC＝90°C．DB＝DCD．AD+DC＝BC【解答】解：由作图可知∠B＝∠DCB＝45°，∴DB＝DC，∠BDC＝90°，故选项A，B，C正确．故选：D．102025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（）A．∠B+∠4＝180°B．CD∥ABC．∠1＝∠4D．∠2＝∠3【解答】解：∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，当添加∠B+∠4＝180°时，∵∠DCN+∠4＝180°，∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意；当添加CD∥AB时，∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意；当添加∠1+∠4＝180°时，∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意；第页（共页）当添加∠2＝∠3时，∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°，∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意．故选：D．二．填空题（共小题）2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝1．【解答】解：延长AD交BC于E，∵AB＝CA，BD＝CD，∴AE⊥BC，BE＝CE，∵AB＝BC＝CA＝2，∴BE＝CE＝1，∴AE，DE1，∴AD＝AE﹣DE1．故答案为：1．122025•广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是1：3．第页（共页）【解答】解：∵△AOB放大后得到△COD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB与△COD的相似比＝OB：OD＝2：6＝1：3．故答案为：1：3．13202590ABCAB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为或．【解答】解：∵AB＝AC＝5，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＞∠B，∴∠APC＞∠C，若△APC①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴，∴，第页（共页）∵∠B＝∠C，∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°，∴△ADB∽△PAB，∴，∴，∴；②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°，∴∠CAP＝∠APM，∴AM＝PM，∵PM⊥BC，AD⊥BC，∴PM∥AD，∴△CMP∽△CAD，∴，设CP＝x，则BP＝8﹣x，∴，∴，CM，∴AC＝AM+CM＝PM+CM，∴x，∴BP；③当∠CAP＝∠C+90°时，第页（共页）∵，，且2，∴∠C＞30°，∴∠BAC＜120°，若∠CAP＝∠C+90°，则∠CAP＞120°，即∠CAP＞∠BAC，∴此种情况不存在，④当∠CAP＝∠APC+90°时，∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°，同③理可证，此种情况不存在；综上可知，BP的长为或，故答案为：或．142025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为5．【解答】解：如图，连接AP，交BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△MNP是等边三角形，∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积MP2，∵AM＝AN，AP＝AP，∴△AMP≌△ANP（SSS∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，∴∠AMP＝90°，∴MPAM，AP＝2AM，第页（共页）∴MPAP，∴△MNP的面积AP2，∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大，∵∠B＝∠BAH＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝6，∵AM＝AN，MP＝NP，∴点P在AH上运动，∵点P始终在▱ABCD的内部或边上．∴AP的最大值为AH的长，即AP＝6，∴AM＝AN＝3，∴DN＝5，故答案为：5．152025ABCBC＝6E是ACAB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是3．【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，∴点D为AB的中点．∵点E是AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，第页（共页）∴DE3．故答案为：3．162025ABCAB＝ACD在ACAD＝3CD＝2CBD＝45tan∠ACB的值为4；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为．【解答】解：作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H，G，F，则四边形DFHG为矩形，∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH，∵∠DBC＝45°∴△BDG为等腰直角三角形，∴BG＝DG，∵AB＝AC，∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ACH，∴，∴设DF＝3x，CH＝5x，则HG＝DF＝3x，BH＝CH＝5x，∴DG＝BG＝BH+HG＝8x，CG＝CH﹣HG＝2x，第页（共页）∴，∴在Rt△CGD中，，由勾股定理，得（2x）2+（8x）2＝22，∴∴，BC＝2CH＝10x，∵∠CED＝∠ABD，∠ACB＝∠E+∠CDE，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝∠ACB，∴∠CDE＝∠CBD＝45°，又∵∠E＝∠E，∴△DEC∽△BED，∴，∴，DE2＝BE•CE＝（BC+CE）•CE，∴，解得：CE＝0（舍去）或CE，故答案为：4，．172025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，CAD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为．【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，第页（共页）在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3，∴AH＝AC•sinC，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°＝∠C，又∵∠DAC＝∠FAD，∴△DAC∽△FAD，∴，∴，∵CF＝AC﹣AF，∴当AF有最小值时，CF有最大值，∴当AD有最小值时，AF有最小值，∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合，∴AD的最小值为，∴AF的最小值为，∴CF的最大值为，故答案为：．182025•吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为36度．第页（共页）【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，∴∠FBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°，在△BCF中，∠F+∠FBC+∠BCF＝180°，∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝180°﹣72°﹣72°＝108°﹣72°＝36°．故答案为：36．192025AC⊥BD之比为3130cm和35cm195cm．【解答】解：∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，∴小风筝两条对角线长的和为30+35＝65（cm∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1，∴大风筝和小风筝相似，相似比为3：1，∴大风筝两条对角线长的和：小风筝两条对角线长的和＝3：1，∴大风筝两条对角线长的和＝3×65＝195（cm故答案为：195．202025•湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．第页（共页）（1）若三角形为等边三角形，则t＝2；（2）下列结论正确的是①②①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；②若，则5＜t＜；③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7．【解答】1）由题可知t＝1k+1k＝1+1＝2，故答案为：2；（2）①当k＝2，t＝1时，则，即a2+b2＝c2，∴三角形为直角三角形，故①正确，符合题意；②当k＝1，c＝1时，则，1°当a＞b时，a﹣b＜c，即，解得：b＞2；2°当a＜b时，b﹣a＜c，即，解得：b＜6．综上，2＜b＜6．当b＝2时，，当b＝6时，；∴5＜t＜，故②正确，符合题意；③，∴，又a+b＞c，第页（共页）∴，不妨设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2，∴，解得：1＜n≤7，∴n可取2，3，4，5，6，7，对应的t值分别为：，共6个，故③错误，不符合题意．故答案为：①②．三．解答题（共小题）212025D是△ABC的边BCBD＝ABDE∥ABDE＝BCBE＝AC．【解答】证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB，∴∠D＝∠ABC，在△BDE和△ABC中，，∴△BDE≌△ABC（SAS∴BE＝AC．222025•河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．（1）求证：△ABC≌△AFD；（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD．第页（共页）【解答】1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∴∠ACB＝∠ADF，∵∠BAF＝∠EAD，∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF，∴∠BAC＝∠FAD，在△ABC和△AFD中，，∴△ABC≌△AFD（ASA（2）由（1）得△ABC≌△AFD，∴AB＝AF，∵BE＝FE，∴AC⊥BF，即AC⊥BD．232025Rt△ABCABC＝90AB＝40mBC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为ACA出发，沿A→B的方向以v（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v（m/minQ运动的时间为（minP到BDPPd（mQ到BD垂线段QQd（md＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t＜tt（min）0t1t25.5d（m）016160（1）机器人乙运动的路线长为55m；第页（共页）（2）求t﹣t1的值；（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d＝d）时，求t的值．【解答】1）∵∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，∴AC50m，∵D为AC中点，∴CD25m，∵BC+CD＝30+25＝55m，∴机器人乙运动的路线长为55m，故答案为：55；（2）根据题意，得v210，∵△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，∴BD＝CD＝AD＝25，∴∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，∴sin∠ABD＝sin∠BAC，，当点Q在BC上时，，∴8t＝16，解得t＝2，当点Q在CD上时，作AH⊥BD，垂足为H第页（共页）则，∵∠CDB＝∠ADH，∴sin∠CDB＝sin∠ADH，∴，∴，解得，∴；（3）当t＝5.5时，d＝7.5，此时，，∴AP＝AB﹣BP＝40﹣12.5＝27.5，∴，∴，当点Q在BC上时，由d＝d，得24﹣3t＝8t，解得，当点Q在CD上时，由d＝d，得，解得，∴或．242025•江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要第页（共页）（1）在图1中作出BC的中点；（2）在图2中作出△ABC的重心．【解答】1）如图1，点D即为所求．（2）如图2，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O，则点O即为所求．252025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造角平分线．小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OAOB边上截取OF＝OEF作OB的垂线与小红所作的垂线交于点POPOP即为∠AOB的平第二步：利用三角形全等证明她的猜想．证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△OEP和Rt△OFP中，第页（共页）∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL∴③∠POE＝∠POF∴OP平分∠AOB．【解答】解：图形如图所示：证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△OEP和Rt△OFP中，，∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL∴∠POE＝∠POF，∴OP平分∠AOB．故答案为：OE＝OF，OP＝OP，∠POE＝∠POF，262025如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCDE在对角线BD上．【数学理解】（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．第页（共页）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°．272025•苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．（1）求证：△DAC≌△ECB；（2）连接DE，若AB＝16，求DE的长．【解答】（1）证明：∵CD∥BE，∴∠DCA＝∠B，∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CBAB，在△DAC和△ECB中，第页（共页），∴△DAC≌△ECB（ASA（2）解：∵AB＝16，∴AC＝CBAB＝8，由（1）可知：△DAC≌△ECB，∴CD＝BE，又∵CD∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形．∴DE＝BC＝8．282025ABCD是ABCE⊥BCCEF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．（1）求∠DCE的大小；（2）求证：△CEG是等边三角形．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵D是AB的中点，∴∠DCB＝∠DCA∠ACB60°＝30°．∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°．（2）证明：由平移可知：CD∥EF，∴∠EAC＝∠DCA＝30°，又∵∠ECA＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，第页（共页）∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°，又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC，∴∠GEC∠AEC120°＝60°，由（1）知，∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°，∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，∴△CEG是等边三角形．292025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，又∵AB∥CD，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示：∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，BC＝12，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，第页（共页）∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，∴四边形EBCH是矩形，∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7，∵BE＝DF＝5，∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2，在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF．302025•吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．（1）求证：△ABE≌△DCF．（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，∴AE＝DF＝13，∵AB＝12，∴BE5．312025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D．（1）求∠BCD的度数；（2）若BC＝2.5，求AD的长．第页（共页）【解答】1）∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB＝∠B＝72°，由作图可知：CD是∠ACB的角平分线，∴；（2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°，∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°，∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AD＝BC＝2.5．322025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点CPAP为边作正方形APDED和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（sx＞0APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（1）AC的长为7．（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．第页（共页）【解答】1）当B，D重合时，如下图：∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，解得：AP＝3∵BC＝5，∠DPC＝90°，∴，∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，故答案为：7；（2）当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，∵FP′BP，∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，∴△CFP∽△CBP，∴，∴，第页（共页）解得：，∴y＝S+Sx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.53＜x≤7）′∴；（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，∴，∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，即2AP2＝72，解得：AP＝6，∴x＝6．332025abcabc表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，25，60，6115，，19，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，242614，48，5018，80，8222，120，122（1）请补全如表中的勾股数．（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．（3第页（共页）1m果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？【解答】1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26，则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262，∴b2＝262﹣102＝（26+1026﹣10）＝36×16，解得b＝24或b＝﹣24故答案为：24；（2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2b＝k（2mnc＝k（m2+n2k证明：对于本原勾股数，计算a2+b2：（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2＝c2，非本原勾股数为k倍的本原勾股数，故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2]＝k2（m2+n2）2＝c2．同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2c＝k（m2+n2）成立；（3）查表可以知道他的最短是202129这个勾股数，一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29＝70米，因为图案是由四个全等的直角三角形组成，所以需要种花70×4＝280株．342025•山西）综合与探究第页（共页）问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平．1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F．①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由；②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长．【解答】1）四边形BDB'E是菱形，理由如下：由折叠的性质可得BD＝B'D，BE＝B'E，∠B'DE＝∠BDE，∵B'D∥BC，∴∠B'DE＝∠BED，∴∠BDE＝∠BED，∴BD＝BE，∴BE＝BD＝B'D＝B'E，∴四边形BDB'E是菱形；（2）①DE⊥A'E，理由如下：由（1）知四边形BDB'E是菱形，∴BD＝B'E＝B'D，由折叠的性质得到AD＝A'D，∵AD＝2BD，∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E，∴B'D＝A'B'＝B'E，第页（共页）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴DE⊥A'E；②∵∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，∴，当△A'FG是以A'F为腰A'GA'F交AB于点HACA'D交点为M，则FG＝A'F，∴∠C＝90°，A'D∥BC，∴∠AMD＝∠C＝90°，∴∠AMA'＝90°，由折叠的性质得AD＝A'D，∠ADF＝∠A'DF，AF＝A'F，∴△ADF≌△A'DF（SAS∴∠A＝∠DA'F，∵∠AFH＝∠A'FG，∴∠AHF＝∠AMA'＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AFH∽△ABC，∴，∴HF：AH：AF＝BC：AC：AB＝3：4：5，∵∠A＝∠DA'F，AF＝A'F，∠AHF＝∠A'MF，∴△AHF≌△A'MF（AAS∴HF＝FM，AH＝A'M，第页（共页）设HF＝FM＝3x，AH＝A'M＝4x，AF＝A'F＝5x，∴AM＝AF+FM＝8x，∵A'D∥BC，∴△