【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项09 圆）t

【中考复习】年中考数学真题汇编（专项圆）一．选择题（共8小题）12025•重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°22025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°32025•湖北）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（）A．30°B．50°C．60°D．75°42025PA与⊙O相切于点APO的延长线交⊙O于点CAB∥PC⊙O于点B∠P＝30°，则∠BCP的大小为（）第页（共页）A．30°B．45°C．60°D．75°52025•山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°62025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（）A．2B．5C．8D．1072025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°820259040cm径为（）A．9cmB．10cmC．cmD．12cm二．填空题（共6小题）92025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为．第页（共页）102025AB是⊙OC在⊙OACAC为边作菱形ACDECD交⊙O于点FAB⊥CDGAD⊙O于点HEHAG＝12GF＝5DF的长度为，EH的长度为．2025•安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为°．122025•北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归DOB＝∠FOB＝23.5GD所在直线经过地心OF处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为°．132025ABCD内接于⊙OE是EBEC分别交AD于点FGAF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为．第页（共页）142025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．（Ⅰ）线段PA的长为；（Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上，满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．三．解答题（共小题）152025•成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F．（1）求证：BE∥CD；（2）若sinD，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长．162025•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．（1）求证：FD＝FG；（2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径．第页（共页）172025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．（1）求证：OC∥AD；（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．182025ABCDBD＝CDC＝∠BADAB为直径的⊙O经过点D与边CD交于点E，连接AE，BE．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB，sin∠AED，求BE的长．192025•江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD．（1）当BC经过圆心O时（如图1D的度数；（2）当AD与⊙O相切时（如图2⊙O的半径为6，求的长．第页（共页）202025•上海）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF．（1）求证：AB∥CD；（2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB．212025•广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，．（1）求证：△BOC≌△DOC；（2）求∠ABD的度数．222025•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG．（1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E；（2）求证：AH2＝HF•HC；（3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长．232025•北京）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中第页（共页）点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠ADB＝∠AOP；（2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP，求DE的长．242025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°．（1）求证：AB＝AC；（2）若，AB＝8，求DG的长．252025AB与⊙O相切于点COA＝OBAOB＝80OB与⊙O相交于点DE为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；EC∥OAEC与OB相交于点FBO与⊙O相交于点G⊙O的半径为3，求ED和EG的长．第页（共页）262025•辽宁）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E．（1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数；（2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长．272025•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB．垂足为O，OC＝2，P是BA延长线上一点，连接CP⊙O于点DADOCP＝60P作⊙OECO的延长线于点F．（1）求的长；（2）求∠DAB的度数；（3）求cos∠OFP的值．2820256×6ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中找一个格点D（点D不与点CADB，使∠ADB＝∠ACB．（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．第页（共页）292025•北京）在平面直角坐标系xOyA和⊙C⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C（1）如图，⊙O的半径为1．①在点A（0A（0A（20是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为°；②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为；（2）已知点E（1，3F（4，3T（t，0⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围．302025•广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其（1）写出A，B两点的坐标；（2π）（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．第页（共页）312025•山西）项目学习形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．项景物的测量与计算目主题驱如何测量内栏墙围成泉池的直径动问题活利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算动内容活方案图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，动说明图中点A，B，C，D在同一条直线上．过图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点EFAE与DF程均与水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF．图中各点都在同一竖直平面内．第页（共页）数据在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙测量的厚度均忽略不计．计算…交…流展示请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75322025•河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2EF分别在边ADCDDE＝（DE≥2OEF的弧交线段OB于点M，记为．（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；（3）当∠EOF＝150°时，求的长．第页（共页）332025•甘肃）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD∠AOB．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长．342025•深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC．（1）求证：四边形ADCE为菱形；（2）如图2，若点O为AC上一点，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D，①求∠ACD＝；②AC＝4，求⊙O的半径r；（32中作射线DF∥ACBC于点F理由．352025⊙O是五边形ABCDEBD是⊙OACBECEAEC第页（共页）＝∠ACF．（1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数；（2）求证：直线CF是⊙O的切线；（3）探究，发现与证明：已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个ba的值和bAC2＝aBC•CE+bAB•AE不存在，请说明理由．362025•长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC．（1）求证：CD与该半圆相切；（2rAD＝aBC＝bmnm与n说明理由；（3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x，CD＝y，求y关于x的函数x的取值范围）第页（共页）【中考复习】年中考数学真题汇编（专项圆）一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCCCBBCB一．选择题（共8小题）12025•重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°【解答】解：∵∠AOB和∠C都对，∴∠C∠AOB100°＝50°．故选：B．22025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝°，∵，∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°．故选：C．第页（共页）32025•湖北）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（）A．30°B．50°C．60°D．75°【解答】解：由作图可得：∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，而∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠AOE＝2∠ABD＝60°，故选：C．42025PA与⊙O相切于点APO的延长线交⊙O于点CAB∥PC⊙O于点B∠P＝30°，则∠BCP的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：如图，连接OA、OB，∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，∵AB∥PC，∴∠OAB＝∠AOP＝60°，∵OA＝OB，第页（共页）∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCP＝60°，故选：C．52025•山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：连接OC，∵，AB为⊙O的直径，∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝90°，∴∠D∠AOC＝45°，故选：B．62025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（）第页（共页）A．2B．5C．8D．10【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E，∵AB＝AC，D为BC中点，∴BD＝DC＝4，OD⊥BC，锐角三角形ABC中，AB＝AC，∴外接圆心O在AD上，连接OB，由勾股定理得：，设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r，即|5﹣r|＜3＜5+r，解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B，故选：B．72025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°【解答】解：∵∠AOB＝40°，∴∠ACB∠AOB＝20°，∵∠OCA＝30°，∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°．故选：C．第页（共页）820259040cm径为（）A．9cmB．10cmC．cmD．12cm【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，则2πr，解得r＝10，即圆锥的底面圆的半径为10cm．故选：B．二．填空题（共6小题）92025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为66°．【解答】解：连接BC，如图，∵，∴∠BCD＝∠CDB＝24°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°．故答案为：66°．102025AB是⊙OC在⊙OACAC为边作菱形ACDECD交⊙O于点FAB⊥CDGAD⊙O于点HEHAG＝12GF＝5DF的长度为3，EH的长度为．第页（共页）【解答】解：∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5，∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10，∴，∵四边形ACDE是菱形，∵CD＝AC＝13，∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3，∴，如图，连接BC，BH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°，∴，即，解得：，∴，即，解得：，∵四边形ACDE是菱形，∴CD∥AE，∴∠DAE＝∠CDA，第页（共页）如图，过H作HM⊥AE于M，∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA，∴，，∴，∴，，∴，∴，故答案为：3，．2025•安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为20°．【解答】解：连接OB，∵PB与⊙O相切于点B，∴PB⊥OB，∴∠OBP＝90°，∵∠P＝50°，∴∠POB＝90°﹣∠P＝40°，∴∠PAB∠POB＝20°，故答案为：20．第页（共页）122025•北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归DOB＝∠FOB＝23.5GD所在直线经过地心OF处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为43°．【解答】解：∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°，∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°，∵GD∥HF，∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°，∵FI是⊙O的切线，∴OF⊥FI，∴∠OFI＝90°，∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°，故答案为：43．132025ABCD内接于⊙OE是EBEC分别交AD于点FGAF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为2．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝∠BAD＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵AF＝1，EG＝FG＝3，第页（共页）∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB，∵∠BEC＝∠BAC，∴∠AFB＝∠BAC，∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，∵∠ABE＝∠ACG，∴∠GAC＝∠ACG，∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4，∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE，∴△CDG∽△AEG，∴1，∴DG＝EG＝3，∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD，∴AC2，∴⊙O的直径为2，故答案为：2．142025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．（Ⅰ）线段PA的长为；（Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上，满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，NMN的位置是如何找到的（不要求证明）直线PA与射线BC的交点为M第页（共页）与网格线的交点D和E，连接DE；取格点F，连接AF，与DE相交于点O；连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H；连接CH并延长，与网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点M，N即为所求．【解答】1）由勾股定理得，故答案为：；（2）如图所示，点M，N即为所求，作法：直线PA与射线BC的交点为M；取圆与网格线的交点D和E，连接DE；取格点F，连接AF，与DE相交于点OBOAC相交于点GPA相交于点HCH网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点M，N即为所求．理由：∵∠DAE＝90°，∴DE为圆的直径，∵AF为正方形的对角线，∴∠DAF＝∠EAF＝45°，∴AF垂直平分线段DE，∴点O为圆的圆心，∴OA＝OC，第页（共页）又∵AB＝BC，OB＝OB，∴△AOB≌△COB（SSS∴∠ABO＝∠CBO，∴BG平分∠ABC，∴点G为线段AC的中点，由网格可知点J为线段AI的中点，∴GJ为△ACI的中位线，∴GJ∥CI，∴点N为线段AQ的中点，∴AQ＝2AN，∵AB＝BC，BH＝BH，∠ABH＝∠CBH，∴△ABH≌△CBH（SAS∴AH＝CH，∠BAH＝∠BCH，∴∠QAH＝∠MCH，又∵∠AHQ＝∠CHM，∴△AHQ≌△CHM（ASA∴AQ＝CM，即CM＝2AN，延长BH交QM于点T，∵AB＝BC，AQ＝CM，∴BQ＝BM，∵∠QBH＝∠MBH，∴BT⊥QM，∵AM为圆的切线，∴∠OAH＝90°，∴∠OAB+∠QAM＝90°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，即∠QAM+∠OBA＝90°，∵∠OBA+∠AQM＝90°，第页（共页）∴∠QAM＝∠AQM，∴△AMQ为等腰三角形，∴MN⊥AQ，∴点M，N即为所求．三．解答题（共小题）152025•成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F．（1）求证：BE∥CD；（2）若sinD，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长．【解答】（1）证明：连接OC，则OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，∴OC⊥CD，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠OCA＝∠BCD，∴∠CAB＝∠BCD，∵，∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD，∵∠CAB＝∠EBC，∴∠EBC＝∠BCD，∴BE∥CD；第页（共页）（2）解：设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r，∵BD＝1，∵OD＝r+1，∵OC⊥CD，∴，∴r＝2，即半圆O的半径为2，∴AB＝2r＝4，连接AE，则：∠AEB＝90°，∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠D，∴，∴，∴，∵，∴∠EAF＝∠BAF，∴AF平分∠BAE，∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长，∴，∴，∴，∴．162025•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC第页（共页）于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．（1）求证：FD＝FG；（2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，∴AB∥GF，∴∠BAC＝∠G＝45°，∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形，∴FD＝FG；（2）解：∵DF⊥AB，∴，∵∠BAC＝45°，∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形，∴EA＝ED＝6．由（1）得FD＝FG＝10，∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4，如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA，∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，∴（x+4）2＝62+x2，解得，，第页（共页）∴，∴⊙O的半径为．172025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．（1）求证：OC∥AD；（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长．【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°．∴∠DAB+∠AOC＝180°，∴OC∥AD．（2）解：连接BD，交OC于点E，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥AD，∴，∵OA＝OB，∴EB＝DE，∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，∴，设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1，第页（共页）在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2，即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2，解得r＝3，r＝﹣2故AB＝2r＝6．182025ABCDBD＝CDC＝∠BADAB为直径的⊙O经过点D与边CD交于点E，连接AE，BE．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB，sin∠AED，求BE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∵∠C＝∠BAD，∴∠DBC＝∠BAD，∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，∴BC为⊙O的切线．（2）解：作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF，∴DF∥AB，∵∠ABD＝∠AED，AB，∴sin∠ABD＝sin∠AED，∴ADAB1，第页（共页）∴BD3，∵∠BDF＝∠ABD，∴sin∠BDF＝sin∠ABD，∴BFBD3，∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD，∴∠BEC＝∠C，∴BE＝BC＝2BF＝2，∴BE的长是．192025•江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD．（1）当BC经过圆心O时（如图1D的度数；（2）当AD与⊙O相切时（如图2⊙O的半径为6，求的长．【解答】1）∵BC经过圆心O，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝35°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝90°﹣∠ACB＝55°，∴∠D的度数是55°．（2）连接OA、OC，第页（共页）∵AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为6，∴AD⊥OA，OA＝OC＝6，∴∠OAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝35°，∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD﹣∠CAD＝55°，∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝70°，∴，∴的长为．202025•上海）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF．（1）求证：AB∥CD；（2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB．【解答】1）连接OC，OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，第页（共页）∵CE＝DF，∴△OCE≌△ODF（SAS∴OE＝OF，∴，∴EF∥AB，∴CD∥AB；（2）∵△OCE≌△ODF，∴∠COE＝∠DOF，∵AB＝BD，∴∠AOB＝∠DOF，∴∠AOB＝∠DOF＝∠COE，连接AF，∵OA＝OD，∴△AOF≌△DOF（SAS∴∠OAF＝∠ODF＝∠OCE，∵∠OCE＝∠OAF，∠OEC＝∠AEF，∴△OEC∽△FEA，∴∠COE＝∠AFE，∴∠AOB＝∠FAB＝∠AFE，∴△BAF∽△BOA，∴，∴AB2＝BF•OB．212025•广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，．（1）求证：△BOC≌△DOC；（2）求∠ABD的度数．第页（共页）【解答】（1）证明：∵，∴∠BOC＝∠DOC，∵OC＝OC，OD＝OB，∴△BOC≌△DOC（SAS（2）解：∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB＝65°，∴∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝50°，∴∠DOC＝∠BOC＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠DOC﹣∠BOC＝80°，∴∠ABD∠AOD＝40°．222025•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG．（1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E；（2）求证：AH2＝HF•HC；（3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，第页（共页）∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB．∵∠ADB＝∠DBE+∠E，∴∠ABC＝∠DBE+∠E；（2）证明：连接CD，如图，∵BG＝DG，∴∠ABD＝∠GDB，由（1）知：∠ABC＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ADB＝∠GDB+∠GDA，∴∠DBE＝∠GDA，∵∠DBE＝∠CAD，∴∠CAD＝∠GDA，∴AH＝HD．∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠GDB．∵∠CHD＝∠DHF，∴△CHD∽△DHF，∴，∴HD2＝HC•HF，∴AH2＝HF•HC；（3）解：连接AO并延长交CB于点M，连接CD，如图，第页（共页）∵AB＝AC，∴，∴AM⊥BC，CM＝BM，∴tan∠ABC，设BM＝k，则AMk，BC＝2k，∴ABk，∵AD＝2DE，∴设DE＝a，则AD＝2a，∴AE＝AD+DE＝3a．∵∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝∠ABC，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠BAD＝∠EAB，∴△BAD∽△EAB，∴，∴，∴k＝a，∴DE＝k，AE＝3k，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠EDC＝∠ABC，∵∠E＝∠E，第页（共页）∴△EDC∽△EBA，∴，∴，∴CE2+2k•CE﹣3k2＝0，∵CE＞0，∴CE＝k，∵△EDC∽△EBA，∴，∴，∴AB＝3．由（2）知：AH＝HD，BG＝DG，∴△AGH的周长＝AG+GH+AH＝AG+GH+HD＝AG+GD＝AG+GB＝AB＝3．232025•北京）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠ADB＝∠AOP；（2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP，求DE的长．第页（共页）【解答】（1）证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴OP平分∠AOB，∴，又∵，∴，∴∠ADB＝∠AOP；（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF＝90°，∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴PA⊥OA，∵C为OP的中点，∴PC＝OC，∴，又∵AP＝10，，∴，，AF＝2AO＝40，∵AC＝OC，∴∠CAO＝∠AOC，又∵∠PAO＝∠ADF＝90°，∴，∴，，∵∠AOP＝∠ADB，∠ACO＝∠ECD，第页（共页）∴△ACO∽△ECD，∴，∴．242025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°．（1）求证：AB＝AC；（2）若，AB＝8，求DG的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵∠F＝45°，∴∠DOE＝2∠F＝90°，∵⊙O与AB相切于点D，∴AB⊥OD于点D，∴∠ODA＝∠DOE＝90°，∴AB∥OE，∵OC＝OE，∴∠B＝∠OEC＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：∵sinA，∴OAOD，∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°，∴OD+OD＝8，∴OF＝OD＝3，第页（共页）∴OA3＝5，DFOF＝3，∴AD4，∵AD∥OF，∴△AGD∽△OGF，∴，∴DGDFDF3，∴DG的长是．252025AB与⊙O相切于点COA＝OBAOB＝80OB与⊙O相交于点DE为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；EC∥OAEC与OB相交于点FBO与⊙O相交于点G⊙O的半径为3，求ED和EG的长．【解答】I）如图①，连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝80°，第页（共页）∴∠COB＝∠COA∠AOB＝40°，∴∠CED∠COB＝20°，∴∠CED的度数为20°．（Ⅱ）如图②，连接OC，∵DG是⊙O的直径，⊙O的半径为3，∴∠DEG＝90°，DG＝6，∵EC∥OA，∴∠EFG＝∠AOB＝80°，由（I）得∠CED＝20°，∴∠EDG＝∠EFG﹣∠CED＝60°，∴∠G＝90°﹣∠EDG＝30°，∴EDDG＝3，∴EG3，∴ED的长是3，EG的长是3．262025•辽宁）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与第页（共页）⊙O相交于点E．（1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数；（2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长．【解答】1）连接OD，在△OAC和△OBC中，，∴△OAC≌△OBC（SSS∴∠AOC＝∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵OA＝OD＝OE，∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED，设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y，在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360°∴x+x+y+y+90°＝360°，∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°；（2）连接OD，第页（共页）∵∠AOC＝90°，D为AC中点，∴，∴OD＝OA＝AD＝3，∴△ADO为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°，∴的长为：．272025•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB．垂足为O，OC＝2，P是BA延长线上一点，连接CP⊙O于点DADOCP＝60P作⊙OECO的延长线于点F．（1）求的长；（2）求∠DAB的度数；（3）求cos∠OFP的值．【解答】1）连接OD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，第页（共页）∵OC＝2，∴的长π；（2）∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝30°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO（180°﹣30°）＝75°；（3）连接OE，∵PE切圆与E，∴半径OE⊥PE，∵∠POE+∠OPE＝∠OFP+∠OPE，∴∠POE＝∠OFP，∵tanC＝tan60°，∴PO＝2，∵OE＝OC＝2，∴cos∠POE．∴cos∠OFP＝cos∠POE．2820256×6ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中找一个格点D（点D不与点CADB，使∠ADB＝∠ACB．第页（共页）（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．【解答】1）如图①中，点D（2）如图②中，点E292025•北京）在平面直角坐标系xOyA和⊙C⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C（1）如图，⊙O的半径为1．①在点A（，0A（，0A（2，0）中，点A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为60°；②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为；（2）已知点E（1，3F（4，3T（t，0⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围．第页（共页）【解答】1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN；当A在⊙O内部时，过A的直径MN使得⊙O的关联角度为180°；当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大；如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°，∵A（2，0⊙O的半径为1，∴OM＝1，OA＝2，且MA3是⊙OO的切线，∴，∴∠MAO＝30°，∴∠MAN＝60°，即与⊙O的关联角度为60°，故答案为：A，60；②根据定义可得B为⊙O外一点，∵BD＜1，⊙O的半径为1，∴BO≥2，当OB＝2时，如图，取点G（1，0OBG＝90°，第页（共页）∴，∴m的最小值为，故答案为：；（21AAMAN为圆的切线时，∠MANA距离圆心越近，∵90°≤α≤180°，∴当∠MAN＝90°时，由∠TMA＝∠TNA＝90°，如图，∴四边形TMAN是矩形，∵TM＝TA，∴四边形TMAN是正方形，∴，当∠MAN≥90°时，，第页（共页）∵点E（1，3F（4，3T（t，0⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝|t|，∴EF上距离T最近的点在的圆环内，①EF和的圆相切，如图，∴，解得：；②EF和半径为t的圆相切时，如图，∴t＝3∴；③当E在半径为t的圆，如图，第页（共页）∴t2＝（t﹣1）2+32，解得：t＝5∴t＞5时，E，F都在⊙T内部，此时α＝180°；④当F在半径为的圆，如图，设⊙T的半径为r，则t＝﹣r，∴，解得：，∴时，此时90°≤α≤180°；综上所述，或t＞5或．302025•广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其第页（共页）（1）写出A，B两点的坐标；（2π）（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．【解答】1）∵以原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，∴OA＝OB＝O'A＝O'B＝5，∴OAO'B是正方形，∴∠AOB＝∠OBO'＝∠BO'A＝∠O'AO＝90°，∴A（0，5B（5，0（2）∵原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，∴两个圆是等圆，∵∠AOB＝∠AO'B＝90°，∴叶瓣①的周长为：；（3）叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到．312025•山西）项目学习形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．项景物的测量与计算目主题驱如何测量内栏墙围成泉池的直径动第页（共页）问题活利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算动内容活方案图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，动说明图中点A，B，C，D在同一条直线上．过图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点EFAE与DF程均与水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF．图中各点都在同一竖直平面内．数据在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙测量的厚度均忽略不计．计算…交…流展示请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75第页（共页）【解答】解：由题意得：EF＝AD＝26，AD∥EF，∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°，设BE＝CF＝x米，则CE＝EF﹣CF＝（26﹣x）米，BC＝EF﹣CF﹣BE＝（26﹣2x）米，在Rt△ABE中，，∴AE＝BE•tan∠ABE＝x•tan37°，在Rt△ACE中，，∴AE＝CE•tan∠ACE＝（26﹣x）•tan8.5°，∴x•tan37°＝（26﹣x）•tan8.5°，解得：，∴答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．322025•河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2EF分别在边ADCDDE＝（DE≥2OEF的弧交线段OB于点M，记为．（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；（3）当∠EOF＝150°时，求的长．【解答】1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形，∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°，第页（共页）∵AE＝3，∴DE＝2，∵DE＝DF，∴DE＝DF＝2．∵OE＝OF＝2，∴DE＝DF＝OE＝OF＝2，∴四边形OEDF为正方形，∴∠EOF＝90°，∴∠EMFEOF＝45°；（2）连接EF，交BD于点H，如图，∵四边形OEMF为菱形，∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD，∵OM＝OE＝OF＝2，∴△OEM，△OFM为等边三角形，∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°，∴EH＝ME•sin60°＝2．∵四边形ABCD为边长为5的正方形，∴BD平分∠ADC，∴∠ADB＝45°，∴△EDH为等腰直角三角形，∴DH＝EH，∴DEDH；（3）当∠EOF＝150°时，如图，第页（共页）∴的长；当∠EOF＝150°时，如图，∴的长．综上，当∠EOF＝150°时，的长为或．332025•甘肃）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD∠AOB．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长．【解答】（1）证明：∵OA＝OC＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∵∠BAO＝∠BCO，∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝∠COB，∴，连接CE，第页（共页）∵BE是⊙O的直径，∴∠OCE+∠OCB＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵∠EAOB，∠BCD∠AOB，∴∠BCD＝∠ECO，∴∠DCO＝∠DCB+∠BCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC，∴四边形ABCO是菱形，∴BC＝OC＝OB，AC⊥OB，OFOBOE，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠E∠BOC＝30°，∵EF＝3，∴OF＝1，OE＝2，∴OC＝2，∵∠DOC＝60°，∴CD＝OC•tan60°＝22．342025•深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC．（1）求证：四边形ADCE为菱形；（2）如图2，若点