随机变量的数字特征未完市公开课金奖市赛课一等奖课件

第四章随机变量数字特性本章要求随机变量盼望随机变量方差随机变量协方差和相关系数第1页第1页

本章要求：理解盼望与方差概念,掌握盼望与方差性质、计算，会计算随机变量函数盼望。掌握两点分布、二项分布、泊松分布、指数分布和正态分布盼望与方差。理解协方差、相关系数概念及性质，会求相关系数，知道矩与协方差阵概念及求法。重点：盼望、方差、协方差计算，随机变量函数数学盼望第2页第2页4.1随机变量盼望离散型随机变量数学盼望连续型随机变量数学盼望随机变量函数数学盼望数学盼望性质第3页第3页

在前面课程中，我们讨论了随机变量及其分布，假如知道了随机变量X概率分布，那么X所有概率特性也就知道了.

然而，在实际问题中，概率分布普通是较难拟定.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量一切概率性质，只要知道它一些数字特性就够了.第4页第4页

因此，在对随机变量研究中，拟定一些数字特性是主要.在这些数字特性中，最惯用是数学盼望、方差、协方差和相关系数第5页第5页4.1随机变量盼望

4.1.1离散型随机变量盼望例设某班40名学生概率统计成绩及得分人数下列表所表示：分数4060708090100

人数1691572则学生平均成绩是总分÷总人数(分)。即数学盼望——描述随机变量取值平均特性第6页第6页

定义若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,则称

定义若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且

为r.v.X数学盼望，简称盼望或均值。，则称为r.v.X数学盼望绝对收敛第7页第7页例掷一颗均匀骰子，以X表示掷得点数，求X数学盼望。完毕P87例4-1、4-2第8页第8页例101200.20.80120.60.30.1第9页第9页例2第10页第10页到站时刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6一旅客8:20到车站,求他候车时间数学盼望.

例3

按要求,某车站天天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机,且两者到站时间互相独立。其规律为：

第11页第11页X1030507090

第12页第12页

几种主要r.v.盼望1.0-1分布数学盼望EX=p2.二项分布B(n,p)第13页第13页3.泊松分布完毕P88例4-3、4-4第14页第14页例设随机变量X分布律为解:求随机变量Y=X2数学盼望XPk-101YPk10离散型随机变量函数盼望第15页第15页

定理若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)盼望E(g(X))为

完毕P88例4-5第16页第16页定义2

设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),假如积分绝对收敛,则称此积分值为X数学盼望,即请注意:

连续型随机变量数学盼望是一个绝对收敛积分.4.1.2连续型随机变量盼望第17页第17页例4第18页第18页

例5若将这两个电子装置串联连接构成整机,求整机寿命(以小时计)N数学盼望.第19页第19页分布函数为第20页第20页1.均匀分布U(a,b)几种主要连续型随机变量盼望第21页第21页2.指数分布3.正态分布N(

,

2)第22页第22页

该公式主要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)分布，而只需知道X分布就能够了.这给求随机变量函数盼望带来很大以便.当X为连续型时,它密度函数为f(x),连续型随机变量函数数学盼望第23页第23页例第24页第24页1

某人一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能打开自己家门,他随意地试用这串钥匙中某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数数学盼望.2设随机变量X概率密度为第25页第25页1解

设试开次数为X,于是

E(X)2解Y是随机变量X函数,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,n第26页第26页4.1.3二维随机变量函数盼望。第27页第27页第28页第28页例设随机变量(X,Y)分布律下列，求E(XY)解:第29页第29页例第30页第30页例特注P93例4-13第31页第31页4.1.4数学盼望性质

1.设C是常数，则E(C)=C;4.设X、Y互相独立，则E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸Xi互相独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立第32页第32页第33页第33页第34页第34页例设随机变量X服从原则正态分布，求随机变量Y=aX+b数学盼望(其中a>0)解：E(Y)=E(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b

=a*0+b=b第35页第35页

可见，服从参数为n和p二项分布随机变量X数学盼望是np.

X~B(n,p),若设则X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n由于P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p因此E(X)=则X表示n重贝努里试验中“成功”次数.E(Xi)==p第36页第36页例设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)数学盼望.例设随机变量互相独立，且均服从分布，求随机变量数学盼望答:答:第37页第37页例把数字1,2,…,n任意地排成一列，假如数字k正好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数数学盼望.由于E(Xk)=P(Xk=1)解:设巧合个数为X,

k=1,2,…,n则故引入第38页第38页例一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站能够下车,如到达一个车站没有旅客下车就不断车.以X表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等也许,并设各旅客是否下车互相独立)第39页第39页按题意

本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和数学盼望等于随机变量数学盼望和来求数学盼望,此办法含有一定意义.第40页第40页小结

这一讲，我们简介了随机变量数学盼望，它反应了随机变量取值平均水平，是随机变量一个主要数字特性.

接下来一讲中，我们将向大家简介随机变量另一个主要数字特性：方差第41页第41页4.2方差

设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在,称E[(X-E(X)]2为X方差.记为D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]24.2.1方差概念第42页第42页若X取值比较分散，则方差D(X)较大.

方差刻划了随机变量取值对于其数学盼望离散程度.若X取值比较集中，则方差D(X)较小；因此，D（X）是刻画X取值分散程度一个量，它是衡量X取值分散程度一个尺度。第43页第43页X为离散型，分布率P{X=xk}=pk

由定义知，方差是随机变量X函数

g(X)=[X-E(X)]2数学盼望.方差计算X为连续型，X概率密度f(x)第44页第44页计算方差一个简化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用盼望性质第45页第45页例设随机变量X含有(0—1）分布，其分布率为求D(X).解由公式因此,0-1分布第46页第46页例2解X分布率为上节已算得第47页第47页因此,泊松分布第48页第48页例3解因此,均匀分布第49页第49页例4设随机变量X服从指数分布,其概率密度为解由此可知,指数分布第50页第50页4.2.3方差性质1.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2

D(X);3.设X与Y是两个随机变量，则

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

4.

D(X)=0P{X=C}=1,这里C=E(X)第51页第51页下面我们证实性质3证实若X,Y互相独立,由数学盼望性质4得此性质能够推广到有限多个互相独立随机变量之和情况.能够不要求第52页第52页例6

设X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若设i=1,2，…，n

则是n次试验中“成功”次数下面我们举例阐明方差性质应用.解X~B(n,p),“成功”次数.则X表示n重努里试验中第53页第53页于是i=1,2，…，n

由于X1,X2,…,Xn互相独立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),第54页第54页例7解于是可只记结论第55页第55页可只记结论第56页第56页比如,第57页第57页解：记

q=1-p求和与求导互换顺序无穷递缩等比级数求和公式1、设随机变量X服从几何分布，概率分布为P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中0<p<1,求E(X),D(X)练习第58页第58页

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)第59页第59页解2、第60页第60页小结这一讲，我们简介了随机变量方差.

它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度一个数字特性.下一讲，我们将简介刻划两r.v间线性相关程度一个主要数字特性：协方差、相关系数第61页第61页4.3协方差及相关系数协方差相关系数矩、协方差矩阵第62页第62页

前面我们简介了随机变量数学盼望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y数学盼望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系数字特性，这就是本讲要讨论协方差和相关系数第63页第63页

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X和Y协方差,记为Cov(X,Y)，即

⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、协方差2.简朴性质⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义第64页第64页

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差一个简朴公式由协方差定义及盼望性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即第65页第65页D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量和方差与协方差关系尤其地第66页第66页

协方差大小在一定程度上反应了X和Y互相间关系，但它还受X与Y本身度量单位影响.比如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行原则化，这就引入了相关系数

.第67页第67页二、相关系数为随机变量X和Y相关系数

.定义:

设D(X)>0,D(Y)>0,称在不致引起混淆时，记

为

.第68页第68页相关系数性质：证:由方差性质和协方差定义知,对任意实数b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，则上式为

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正,故必有1-≥0,因此||≤1。第69页第69页2.X和Y独立时，

=0，但其逆不真.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y独立.请看下例.第70页第70页，Cov(X,Y)=0，事实上，X密度函数例

设X服从(-1/2,1/2)内均匀分布,而Y=cosX,不难求得第71页第71页存在常数a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关.因而=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格函数关系，即X和Y不独立.第72页第72页考虑以X线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差e=E{[Y-(a+bX)]2}来衡量以a+bX近似表示Y

好坏程度:e值越小表示a+bX

与Y近似程度越好.

用微积分中求极值办法，求出使e

达到最小时a,b相关系数刻划了X和Y间“线性相关”程度.第73页第73页=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得这样求出最佳迫近为L(X)=a0+b0X第74页第74页

这样求出最佳迫近为L(X)=a0+b0X这一迫近剩余是若

=0，Y与X无线性关系;Y与X有严格线性关系;若可见,若0<|

|<1,|

|值越靠近于1,Y与X线性相关程度越高;||值越靠近于0,Y与X线性相关程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-