经济统计技术

经济统计技术20062026/3/11数据分布的集中趋势和离中趋势集中趋势指标

离中趋势指标

4.14.22026/3/11集中趋势各指标的计算方法集中趋势不同指标的特点和应用场合离散程度各指标的计算方法离散程度不同指标的特点和应用场合用Excel计算描述统计量并进行分析学习目标2026/3/11数据分布的特征集中趋势

(位置)离中趋势

(分散程度)2026/3/114.1集中趋势指标集中趋势指标概述集中趋势指标的计算与应用算术平均数与中位数、众数的比较正确运用集中趋势指标的原则2026/3/11集中趋势指标概述集中趋势指标的概念集中趋势指标的特点集中趋势指标的作用2026/3/11集中趋势指标的概念1.数据分布的集中趋势：

一组数据向某一中心值靠拢的倾向和程度。2.集中趋势指标：

反映数据分布一般水平的代表值或数据分布的中心值。3.不同类型的数据用不同的集中趋势指标来反映分布特征。2026/3/11集中趋势指标的类型1.数值型平均数：（数值型数据）-算术平均数

-调和平均数

-几何平均数2.位置型平均数：（品质数据）-众数

-中位数2026/3/11集中趋势指标的特点特点：

把某一数量差异抽象化了，是一个代表值，代表一般水平。2026/3/11集中趋势指标的作用用于比较、分析作为论断事物的数量标准或依据推算、预测2026/3/114.2集中趋势指标的计算与应用算术平均数调和平均数几何平均数中位数众数2026/3/11一、算术平均数1.反映集中趋势的指标之一。2.最常用的指标。3.一组数据的均衡点所在。4.易受极端值的影响。5.用于数值型数据，不能用于定类数据和定序数据。2026/3/11简单算术平均数（计算方法）数据总个数所有数据之和简单算术平均数=2.应用范围：已知公式中的数据总个数，

即

已知分母（数据未分组）.

1.公式：2026/3/11算例原始数据: 10 5 9 13 6 82026/3/11加权算术平均数（计算方法）数据总个数(总频数)各组数据与该组频数乘积之和加权算术平均数=2.应用范围：数据经过分组（单项分组或组距分组）。

1.公式：2026/3/11算例（根据单项分组数据）【例】某商店20名售货员月销售电视机数量的分组资料如下：某商店售货员销售电视机平均数计算表按销售量分组（台）售货员人数（f）人数比重%（）172022242738531154025155合计201002026/3/11计算过程（以频数为权数）

某商店售货员销售电视机均值计算表按销售量分组（x）售货员人数（f）销售总量（xf）172022242738531511601107227合计204202026/3/11注：

权数可以是频数f

也可以是频率2026/3/11计算过程（以频率为权数）【例】某商店20名售货员月销售电视机数量的分组资料如下：某商店售货员销售电视机均值计算表按销售量分组（台）人数比重%（）x17202224271540251552.558.005.503.601.35合计100212026/3/11算例（根据组距分组数据）【例】根据下表中的数据，计算50名工人日加工零件数的均值。

某车间50名工人日加工零件均值计算表按零件数分组频数（f）105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064合计502026/3/11计算过程【例】根据下表中的数据，计算50名工人日加工零件数的均值。

某车间50名工人日加工零件均值计算表按零件数分组频数（f）组中值（x）加工零件总数（xf）105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计50—6160.02026/3/11权数对平均数的影响甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下：

甲组：

考试成绩（x）: 020100

人数分布（f）：118

乙组：

考试成绩（x）: 020100

人数分布（f）：811（分）（分）2026/3/11平均数(数学性质)1.各变量值与均值的离差之和等于零。2.

各变量值与均值的离差平方和最小。2026/3/11二、调和平均数1.反映集中趋势的指标之一。2.算术平均数的另一种表现形式，是其变形。3.易受极端值的影响。4.用于数值型数据。5.不能用于定类数据和定序数据。2026/3/11简单调和平均数（计算方法）所有数据倒数之和数据总个数简单调和平均数=2.应用范围：已知公式中的数据总个数，

即

已知分子（数据未分组）.

1.公式：2026/3/11算例【例】某人购买一种商品，早上买时一元钱可买2斤（合0.5元一斤），中午买时一元钱可买2.5斤（合0.4元一斤），晚上买时一元钱可买4斤（合0.25元一斤）。求这种商品一天的平均价？做法一：先求出早中晚的平均价，然后简单算术平均：

这种算法没有考虑到购买的数量对平均数的影响，把每一个变量值同等对待，是简单算术平均数的算法。2026/3/11【例】某人购买一种商品，早上0.5元一斤时买了一元钱的，中午0.4元一斤时买了一元钱的，晚上0.25元一斤时买了一元钱的。求这种商品一天的平均价？做法二：求出购买的总数量，然后用总金额除以总数量：这种算法考虑到购买的数量对平均数的影响，是每一个变量值倒数的算术平均数的倒数，是调和平均数的算法。2026/3/11加权调和平均数（计算方法）各组标志值总和除以各组标志值之和各组标志值总和之和加权调和平均数=2.应用范围：数据经过分组（单项分组或组距分组）。

1.公式：2026/3/11算例【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格。

某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)

x成交额(元)xf（m）甲乙丙1.200.500.8018000125006400合计—369002026/3/11计算过程

某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)

x成交额(元)xf（m）成交量(公斤)f（m/x）甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计—36900480002026/3/11算术平均数和调和平均数的关系：（令：m=xf）原来只是计算时使用了不同的数据！2026/3/11三、几何平均数1.反映集中趋势的指标之一。2.

N个变量值乘积的N次方根。3.适用于特殊的数据。4.主要用于计算平均比率和平均发展速度。2026/3/11简单几何平均数（计算方法）是N个变量值乘积的N次方根。计算公式为：

（见：P59例4-9）2026/3/11算例【例】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%2026/3/11加权几何平均数（计算方法）仍然是N个变量值乘积的N次方根，当每个变量值出现的次数不相同时，应用加权几何平均数方法计算。计算公式为：

（见：P59例4-10）2026/3/11位置型平均数

计算思路和方法不同于算术平均数、调和平均数和几何平均数。主要是根据数据所处的特殊位置决定的。2026/3/11四、众数1.反映集中趋势的指标之一。2.出现次数最多的变量值。3.不受极端值的影响。4.可能没有众数或有几个众数。5.主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据。2026/3/11众数的不唯一性无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:

659855多于一个众数

原始数据:

2528283642422026/3/11算例【例】根据下表中的数据，计算众数。表3-1某城市居民关注广告类型的频数分布

广告类型人数(人)频率(%)

商品广告服务广告金融广告房地产广告招生招聘广告其他广告1125191610256.025.54.58.05.01.0合计200100解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即

Mo＝商品广告2026/3/11练习【例】根据下表中的数据，计算众数。解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

Mo＝不满意表甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)

非常不满意不满意一般满意非常满意24108934530836311510合计3001002026/3/11五、中位数1.反映集中趋势的指标之一。2.排序后处于中间位置上的值。Me50%50%3.不受极端值的影响。4.中位数是唯一的。5.主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据。2026/3/11中位数位置的确定

中位数位置

1N22026/3/11奇数数据的算例原始数据:

2422212620排序:

2021222426位置: 123 45位置

n+125+123中位数

22

2026/3/11偶数数据的算例原始数据:

105 91268排序: 56891012位置: 123 4

56位置

n+126+123.5中位数

8.58+92

2026/3/11算术平均数与众数、中位数的关系均值=

中位数=

众数对称分布

左偏分布均值

中位数

众数右偏分布众数

中位数

均值2026/3/11正确运用集中趋势指标的原则

同质性用组平均数补充说明总平均数用分配数列补充说明平均数一般与特殊相结合与离中趋势指标相结合分析2026/3/114.2离中趋势指标离中趋势指标概述离中趋势指标的计算与应用2026/3/11离中趋势指标概述离中趋势指标的概念离中趋势指标的特点离中趋势指标的作用2026/3/11离中趋势指标的概念1.数据分布的离中趋势：（离散程度）

一组数据偏离某一中心值的倾向和程度。

（数据分布的另一重要特征）2.离中趋势指标：

反映数据离散程度的指标。3.不同类型的数据用不同的离中趋势指标来反映分布特征。2026/3/11集中趋势指标的类型1.数值型平均数：（数值型数据）-算术平均数

-调和平均数

-几何平均数2.位置型平均数：（品质数据）-众数

-中位数2026/3/11离中趋势指标的特点特点：

反映数据离散程度，从另一个侧面说明了集中趋势指标的代表程度。2026/3/11离中趋势指标的作用说明数据分布的离散程度评价平均指标代表性的依据，从另一个侧面说明集中趋势测度值的代表程度反映现象均衡性和稳定性的指标2026/3/114.2

离中趋势指标的计算与应用极差平均差方差和标准差标准差系数2026/3/11一、极差1.一组数据的最大值与最小值之差。2.反映离散程度的最简单指标。3.易受极端值影响。4.计算公式为：

-未分组数据：

R=max(X)-min(X)

-组距分组数据：R=最高组上限-最低组下限2026/3/11二、平均差1.一组数据中各数据与其平均数的离差的绝对值的平均数。2.能全面反映一组数据的离散程度。3.数学性质较差，实际中应用较少。4.计算公式为：

-未分组数据：

-组距分组数据：2026/3/11算例【例】根据下表中的数据，计算工人日加工零件数的平均差。表某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组组中值(xi)频数(fi)|xi-||xi-|fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合计—50—3122026/3/11三、方差和标准差1.反映离散程度的指标之一。2.最常用的离中趋势指标。3.反映了数据的分布。4.反映了各变量值（数据）与平均数的平均差异。2026/3/11标准差和方差（计算公式）方差的计算公式：未分组数据：标准差的计算公式：未分组数据：组距分组数据：组距分组数据：2026/3/11算例【例】根据下表中的数据，计算工人日加工零件数的标准差。

某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组频数(f)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064合计502026/3/11计算过程(一)第一步：计算50名工人日加工零件数的平均数。

某车间50名工人日加工零件均值计算表按零件数分组频数（f）组中值（x）加工零件总数（xf）105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合计50—6160.02026/3/11计算过程(二)

第二步：计算工人日加工零件数的标准差。

某车间50名