利用平方差公式因式分解课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册3.公式法第1课时利用平方差公式因式分解学习目标1.掌握运用平方差公式进行因式分解。2.灵活运用平方差公式或已学过的提公因式法分解因式，正确判断因式分解是否彻底。复习回顾计算：（1）(x+5)(x–5)=________；（2）(3x+y)(3x–y)=_________；（3）(3m+2n)(3m

–2n)=___________。x2–259x2–y29m2–4n2因式分解：（1）x2–25=_______________；（2）9x2

–

y2=_______________；（3）9m2

–4n2=___________________。(x+5)(x–5)(3x+y)(3x–y)(3m+2n)(3m–2n)你发现了什么？推进新课观察下面两个等式，它们有什么共同特征？x2–25=(x+5)(x–5)9x2–y2=(3x+y)(3x–y)52(3x)2是两数的平方差的形式整式乘法因式分解想一想：多项式a2–b2

有什么特点？你能将它因式分解吗？a2–b2=(a+b)(a–b)事实上，把乘法公式(a+b)(a–b)=a2–b2反过来，就得到两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。a2–b2=(a+b)(a–b)a，b可以是单项式，也可以是多项式练一练1.下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-(x2+y2)（4）y2-x2（5）x2-(5y)2（6）(3m)2-1符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成()2-()2的形式。总结例1

把下列各式因式分解：（1）25–16x2；（2）9a2–b2。解:(1)25–16x2=52–(4x)2=(5+4x)(5–4x)a2

-

b2=(a+b)(a-b)运用平方差公式因式分解，应注意：①公式右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即a），另一项互为相反数（即b和-b）。②公式左边是这两项的平方差。③公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式。例2

把下列各式因式分解：（1）2x3–8x；解：(1)2x3–8x

=2x(x2–4)=2x(x2–22)

=2x(x+2)(x–2)；当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解。例2

把下列各式因式分解：（2）9(m+n)2–(m–n)2。(2)9(m+n)2–(m–n)2

=[3(m+n)]2–(m–n)2

=[3(m+n)+(m–n)][3(m+n)–(m–n)]

=(3m+3n+m–n)(3m+3n–m+n)

=(4m+2n)(2m+4n)

=4(2m+n)(m+2n)。练一练2.把下列各式因式分解：（1）(x+2y)2

–4y2；（2）x2(x–1)+9(1–x)。解：(1)(x+2y)2

–4y2

=(x+2y)2

–(2y)2

=(x+2y+2y)(x+2y–2y)

=x(x+4y)；(2)x2(x–1)+9(1–x)=x2(x–1)–9(x–1)

=(x–1)(x2–9)=(x–1)(x+3)(x–3)。方法总结公式中的a，b无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。操作·思考ba如图，在一张边长为acm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积。当a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少？剩余部分的面积：a2-4b2=a2-(2b)2=(a+2b)(a-2b)当a=3.6，b=0.8时，原式=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)=5.2×2=10.4(cm2)练一练3.已知长方形的面积为81a²-4b²，其中一边长为9a+2b，则这条边的邻边长是__________。81a2-4b2=(9a)2-(2b)2=(9a+2b)(9a-2b)9a-2b随堂演练【教材P119随堂练习T1】1.判断下列等式是否一定成立：（1）x2+y2=(x+y)(x+y)；

（）（2）x2-y2=(x+y)(x-y)；（）（3）-x2+y2=(-x+y)(-x-y)；（）（4）-x2-y2=-(x+y)(x-y)。（）√×××2.把下列各式因式分解：【教材P119随堂练习T2】（1）a2b2-m2；（2）(m-a)2-(n+b)2；解：(1)原式=(ab)2-m2=(ab+m)(ab-m)(2)原式=(m-a+n+b)[m-a-(n+b)]=(m-a+n+b)(m-a-n-b)（3）x2-(a+b-c)2；（4）-16x4+81y4。(3)原式=(x+a+b-c)[x-(a+b-c)]=(x+a+b-c)(x-a-b+c)](4)原式=81y4-16x4=(9y2)2-(4x2)2=(9y2+4x2)(9y2-4x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)3.刘师傅在制造某汽车配件时，要在半径为Rcm的圆形钢板上钻四个半径均为rcm的圆孔，刘师傅测量出R=7.8，r=1.1，请你帮他计算一下圆形钢板的剩余面积。(π取3.14，结果精确到1cm²)解：根据题意可得，圆形钢板的剩余面积为πR²-4πr²=π(R²-4r²)=π(R+2r)(R-2r)cm²。将R=7.8，r=1.1代入，得π(R+2r)(R-2r)≈3.14×(7.8+2×1.1)×(7.8-2×1.1)