2026年高考物理二轮复习（北京）重难05 动量与能量问题（重难专练）（试题版）

重难05动量与能量问题

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速度提升技巧掌握手感养成

重难考向聚焦

锁定目标精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向

重难技巧突破

授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧

重难保分练

稳扎稳打必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值

重难抢分练

突破瓶颈争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数

重难冲刺练

模拟实战挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感”

一、冲量的三种计算方法

公式法I=Ft适用于求恒力的冲量

动量定理法多用于求变力的冲量或F、t未知情况下的冲量

图像法F−t图线与时间轴围成的面积表示冲量，若F与t成线性关系，也可以直接用平均力求解

二、用动量定理解题的基本思路

三、动量定理在“流体类”问题中的应用

流体及其特点通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ

分析步骤建立“柱状”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S

隔离微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为vΔt，对应的质量为Δm=ρSvΔt

应用动量定理FΔt=Δp研究这段柱状流体，列方程求解

四、应用动量守恒定律解题的基本步骤

五、常见的类碰撞模型

（1）“保守型”碰撞拓展模型

图例（水平面光滑）

小球—弹簧模型小球—曲面模型

达到共速相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0=(m+M)v共，损失的动能最大

再次分离相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0=mv1+Mv2，能量满足

111

mv2=mv2+Mv2

202122

（2）“耗散型”碰撞拓展模型

图例（水平面、水平导轨都光滑）

达到共速

相当于完全非弹性碰撞，满足mv0=(m+M)v共，损失的动能最大

六、碰撞问题解题策略

（1）熟记典型碰撞模型相关公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰或相当于弹性碰撞后的速

m1−m22m1

度分别为v1=v0、v2=v0。

m1+m2m1+m2

（2）熟记弹性正碰结论：当两球质量相等时，两球碰撞后交换速度。

（3）熟记人船模型或类人船模型的运动特点、条件和规律：

七、力学“三大观点”的综合应用

1.力学三大观点对比

力学三大观对应规律表达式可解决的问题

点

动力学观点牛顿第二定律F合=ma物体做匀变速直线运动的问题

1

匀变速直线运动v=v+atx=vt+at2v2−v2=2ax

0020

规律等

能量观点动能定理W合=ΔEk涉及做功与能量转化的问题

机械能守恒定律Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

功能关系WG=−ΔEp等

能量守恒定律E1=E2

动量观点动量定理FΔt=mv′−mv只涉及初、末速度、力、时间而不涉及位移、功

的问题

动量守恒定律p1+p2=p1′+p2′只涉及初、末速度而不涉及力、时间的问题

2.选取“力学三大观点”规律的思维流程

八、功能关系和能量观点在传送带模型中的应用

静摩擦力做功的特点（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；

（2）相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总是等于零，不会转化为内能

滑动摩擦力做功的特点（1）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；

（2）相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功之和的绝对值等于

产生的内能

摩擦生热的计算

Q=Ff⋅s相对，其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程

传送带因传送物体多消耗的（1）等于物体增加的机械能与系统产生的内能之和；

能量（2）等于传送带克服物体对传送带的摩擦力做的功

（建议用时：20分钟）

1.（2025·北京大兴·三模）两个相同小铁块A和B，分别从固定的、高度相同的光滑斜面和圆弧斜面的顶

点滑到底部，如图所示。如果它们的初速度都为零，且下滑到底部的路程相同，则下列说法正确的是

（）

A．它们到达底部时速度相同

B．它们到达底部过程中重力做功相同

C．它们到达底部过程中重力的冲量相同

D．整个过程中合外力的冲量相同

2.（2025·北京海淀·三模）如图所示，东风-17高超音速战略导弹，是世界上第一种正式装备服役的高超

音速乘波器导弹，射程可达几千公里，具备高超音速突防能力，可借助空前的机动能力实现蛇形机动，

规避拦截。已知东风-17质量为m，在一次试射机动变轨过程中，东风-17正在大气层边缘向东水平高

速飞行，速度大小为12马赫（1马赫就是一倍音速，设为v），突然蛇形机动变轨，转成水平向东偏下

37°角飞行，速度大小为15马赫。此次机动变轨过程中，下列说法正确的是（）

A．合力对东风-17做功为81mv2

B．合力对东风-17做功为40.5mv2

C．合力对东风-17的冲量大小为15mv，方向竖直向下

D．合力对东风-17的冲量大小为12mv，方向竖直向上

3.（2025·北京海淀·三模）具有相同质子数和不同中子数的原子称为同位素。让氢的两种同位素原子核

（、）从带电平行板间的点沿垂直于电场的方向射入电场，均落在极板上的同一点，如图所

12

示。1不H计粒1子H的重力及粒子间的相�互作用，则（）

A．两种粒子在电场中运动的时间相同

B．两种粒子在点具有相同的初速度

C．在电场�中运动时动能的增量更小

2

D．1H在电场中运动时动量的增量更小

1

1H

4.（2025·北京西城·三模）A、B两物体的质量之比，它们以相同的初速度在水平面上做

匀减速直线运动，直到停止，其图像如图所示�。A:�则B在=此2过:1程中，关于A、B两物体�0，下列说法错

误的是（）�−�

A．摩擦力的冲量之比是

B．摩擦力做功之比�A:�B是2:1

C．它们所受摩擦力之�A比:�B是2:1

D．它们与水平面之间的�动A:摩�B擦因2数:1之比是

5.（2025·北京朝阳·二模）如图所示，某同�学A:�以B大小2:为1的初速度将铅球从P点斜向上抛出，到达Q点

时铅球速度沿水平方向。已知P、Q连线与水平方向的�0夹角为，P、Q间的距离为。不计空气阻力，

铅球可视为质点，质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的30是°（）�

A．铅球从P点运动到Q点所用的时间为

2�

�

B．铅球从P点运动到Q点重力做的功为

1

2���

C．铅球从P点运动到Q点动量的变化为

��

�2

D．铅球到达Q点的速度大小为

2

0

6.（2025·北京西城·一模）如图所示�，−光�滑�斜面高度一定，斜面倾角θ可调节。物体从斜面顶端由静止释

放，沿斜面下滑到斜面底端，下列物理量与斜面倾角无关的是（）

A．物体受到支持力的大小

B．物体加速度的大小

C．合力对物体做的功

D．物体重力的冲量

7.（2025·北京丰台·二模）如图1所示，光滑水平面左侧有一竖直墙壁，质量为m的小球以速度与静

止的质量为M的小球发生对心碰撞，。m与M或墙壁之间的碰撞没有能量损失。设任意�时0刻两

球速度分别为v和V，令，�<�，，其中r为定值，该函数的图像如图2所

222

示，图像中的点（，）�表=示两�个�小�球=组成�的�系�统+可�能的=状�态，A、B、C为系统连续经历的三个状态。

根据以上信息，下�列说�法正确的是（）

A．从状态A到状态B过程系统动量不守恒

B．从状态B到状态C过程两个小球发生弹性碰撞

C．直线AB的斜率

�

�=−�

D．图像中圆的半径

12

0

8.（2025·北京西城·二�模=）如2�图�1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振动

时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。已知重力加速度。下列说法正确的是

2

（）�=10m/s

A．小球的质量为0.2kg，振动的周期为4s

B．0~2s内，小球始终处于超重状态

C．0~2s内，小球受弹力的冲量大小为

D．0~2s内，弹力对小球做的功等于小球2N动⋅能s的变化量

9.（2025·北京西城·二模）如图所示，粗糙斜面固定在水平地面上，木块以一定的初速度从斜面底端冲上

斜面后又滑回斜面底端。则木块（）

A．上滑过程的时间大于下滑过程的时间

B．上滑过程的加速度小于下滑过程的加速度

C．上滑过程与下滑过程损失的机械能相等

D．上滑过程的动量变化量小于下滑过程的动量变化量

10.（2025·北京西城·二模）如图所示，长为l的细绳上端悬于P点，下端拴一个质量为m的小球。小球在

水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正

确的是（）�

A．细绳的拉力大小等于

��sin�

B．小球的向心加速度等于

C．小球转动一周，绳拉力的�s冲in�量等于0

D．小球转动一周，重力的冲量等于

11.（2025·北京东城·二模）如图所示，将2�质�量为𝑔co的s�沙箱用长为的不可伸长的轻绳悬挂起来，一颗质量为

的子弹水平射入沙箱（未穿出），沙箱摆动的�最大摆角为�。摆动过程中，沙箱可视为质点，

�

重�力加速度为，则子弹将要射入沙箱时的速度大小等于（��<）2

�

A．B．

�+��+�

�2𝑔cos��2𝑔1−cos�

C．D．

2�+�2�+�

12.（2025·�北京�海�淀1−·一co模s�）如图所示，物体在与水平�方向�夹�co角s�为、大小为F的拉力作用下，从静止开始

沿水平地面向右做匀加速直线运动，物体和地面之间的动摩擦�因数为。在物体运动时间为t的过程中

（）�

A．仅改变，拉力对物体做的功不变

B．仅改变�，合力对物体做的功不变

C．仅改变拉�力大小F，物体受到重力的冲量不变

D．仅改变拉力大小F，物体受到摩擦力的冲量不变

（建议用时：30分钟）

1.（2025·北京通州·一模）从地面上以初速度竖直上抛一质量为的小球，一段时间后落回地面的速度

大小为。小球运动的速度随时间变化的规�律0如图所示。若运动�过程中小球受到的阻力与其速率成正

比，重力�1加速度为，下列说法中正确的是（）

�

A．小球上升过程的时间大于下落过程的时间

B．小球上升和下降过程中阻力的冲量大小相等

C．小球上升过程中的平均速度大于

�0

2

D．整个过程中阻力做功为0

2.（2024·北京·一模）如图所示，把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图甲所示，迅速

松手后，球升高至最高位置C（图丙），逾中经过位置B时弹簧正处于原长（图乙）。忽略弹簧的质量

和空气阻力。则小球从A运动到C的过程中，下列说法正确的是（）

A．经过位置B时小球的动量最大

B．在位置A松手瞬间，小球受到的弹力不一定大于两倍的重力

C．从A到B过程，小球受到弹力的冲量大小大于重力的冲量大小

D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小

3.（2025·北京东城·一模）如图所示，某同学用频闪相机记录P、Q两球的碰撞过程。图中共记录了连续

7次闪光的照片，碰撞前相邻两曝光时刻P球的球心间距为；碰后相邻两曝光时刻，P球的球心间距

为，Q球的球心间距为。碰撞后P、Q两球的运动方向与�1P球原运动方向的夹角分别为、。已

知两�2球的质量相等，不计�一3切摩擦。下列说法正确的是（）��

A．若碰撞过程中动量守恒，则一定有

B．若碰撞过程中动量守恒，则一定有�1=�2+�3

222

123

C．若碰撞过程中机械能、动量都守恒，�则=一�定+有�，且

�

�1=�2+�3�+�=2

D．若碰撞过程中机械能、动量都守恒，则一定有，且

222�

�1=�2+�3�+�=2

4.（2025·北京顺义·模拟预测）将小球竖直向上抛出，小球从抛出到落回原处的过程中，若所受空气阻力

大小与速度大小成正比，则下列说法正确的是（）

A．上升和下落两过程的时间相等

B．上升和下落两过程合力的冲量大小相等

C．上升过程的加速度始终小于下落过程的加速度

D．上升过程损失的机械能大于下落过程损失的机械能

5.（2025·北京门头沟·一模）如图所示，光滑水平轨道上长木板A和滑块B、C都处于静止状态，滑块B

置于A的左端。A、B间的动摩擦因数为0.5，A、B、C质量分别为kg，kg，kg。

现在使A、B一起以5m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（�时A间=极2短）后�B立=即1一起向�右C=运2动。

两滑块均可视为质点，取m/s2。下列说法正确的是（）

�=10

A．C增加的动量为4kg·m/s

B．A与C碰撞过程中损失的机械能为15J

C．A与C碰撞后瞬间，A的速度大小为2m/s

D．若长木板A的长度为0.6m，则滑块B不会滑离长木板A

6.（2025·北京房山·一模）“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳

下。将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。从绳恰好伸直，到人第一次下降至最低点的过程中，若

不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A．人的加速度一直在减小

B．绳对人的拉力始终做负功，人的动能一直减小

C．人下降到最低点时，人的重力势能全部转化为人的动能

D．人的动量最大时，绳对人的拉力等于人所受的重力

7.（2025·北京房山·一模）如图甲所示，物体A以速度水平抛出，图甲中的虚线是物体A做平抛运动

的轨迹。图乙中的曲线是一光滑轨道，轨道的形状与�物0体A的轨迹完全相同。让物体B从轨道顶端无

初速下滑，物体B下滑过程中没有脱离轨道。物体A、B质量相等，且都可以看作质点。下列说法正

确的是（）

A．物体B的机械能不守恒

B．两物体重力的冲量不相等

C．两物体合力做功不相等

D．两物体落地时重力的瞬时功率相等

8.（2025·北京延庆·一模）以6m/s的速度匀速上升的气球，当升到离地面14.5m高时，从气球上落下一

小球，小球的质量为0.5kg，假设小球在运动过程中所受的阻力大小总等于1N。重力加速度g取10m/s2。

下列说法正确的是（）

A．小球的重力势能最多可增加6J

B．小球从脱离气球到下落至地面时所用的时间为1.5s

C．小球从脱离气球到下落至地面时，阻力的冲量大小为2.5N·s

D．小球从脱离气球到下落至地面时，动能的增加量为55J

9.（2025·北京石景山·一模）如图甲所示，游乐场里有一种空中飞椅游戏，可以将之简化成如图乙所示的

结构装置，装置可绕竖直轴匀速转动，绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长L，水平杆长L0，小球的质量

为m。不计绳子重力和空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（）

A．装置中绳子的拉力为mgtanθ

B．装置转动的角速度为

�tan�

�0+�sin�

C．装置转动的周期为

�cos�

D．装置旋转一周，小球2π的动�量变化为0

10.（2025·北京石景山·一模）如图所示，木块A置于光滑水平面上，水平轻质弹簧左端固定于竖直墙壁

上，右端与木块A相连接，弹簧处于原长状态。子弹B沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压

缩到最短。现将子弹、木块和弹簧一起作为研究对象（系统），在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最

短的整个过程中，该系统（）

A．动量守恒，机械能守恒

B．动量不守恒，机械能不守恒

C．动量守恒，机械能不守恒

D．动量不守恒，机械能守恒

11.（2025·北京丰台·一模）乌贼在遇到紧急情况时，通过快速喷水获得速度而逃离。已知乌贼喷水前的质

量为M。速度为0，喷水时，在极短时间内将质量为m的水以速度u水平向前喷出，获得速度向后

逃离，所受水的阻力与速度成正比，比例系数为k。下列说法正确的是（）

A．乌贼获得的最大速度为

𝑚

�

B．喷水后乌贼做匀减速直线运动

C．喷水后乌贼向后逃离的最远距离为

𝑚

�

D．喷水过程乌贼消耗的能量等于喷出水的动能

12.（2025·北京朝阳·一模）如图所示，半径为R的四分之一圆弧轨道顶端放置一个光滑物块，物块可视为

质点，物块与圆弧轨道的质量均为m。已知重力加速度为g。

(1)圆弧轨道固定在水平面上，由静止释放物块，求：

a．物块滑到轨道底端时速度的大小v；

b．物块滑到轨道底端的过程中受到的冲量。

(2)轨道放在光滑水平面上，同时释放轨道和物块，求物块滑到轨道底端时速度的大小。

′

13.（2025·北京·模拟预测）如图所示，一根长为L不可伸长的轻绳一端固定于O点，�另一端系有一质量

为m的小球（可视为质点），小球在竖直平面内以O点为圆心做圆周运动。已知重力加速度为g，忽略

空气阻力的影响。若小球经过圆周最高点A点时速度大小，求：

�0=2��

(1)小球经过圆周最低点B点时的速度大小；

(2)小球在最低点对轻绳的拉力：

(3)小球从A点运动至最低点B点过程中，其所受合外力的冲量大小。

（建议用时：40分钟）

1.（24-25高三上·北京·期中）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员从起滑台起滑，在助滑道

上获得高速度，于台端O水平飞出，之后在着陆坡着陆，滑行直至停止。着陆坡可看作倾角为θ=37°

的斜面，某运动员连同滑雪板的总质量m=50kg，某一次试跳离开台端，他落到了着陆坡上的M点，M

点与O点的距离s=12m，如图所示。忽略运动员所受空气阻力的影响，重力加速度g=10m/s2。

(1)求运动员离开O点时的速度大小；

(2)运动员落到斜坡上顺势屈腿以缓冲，使他垂直于斜坡的速度在t=0.50s的时间内减小为零，求缓冲阶段斜

坡对运动员的平均弹力的大小；

(3)若第二次试跳离开台端后落在着陆坡的N点。若落到M、N时的瞬时速度大小分别是、，

瞬时速度方向与斜面的夹角分别为、。试说明、的大小关系。�1�2�2=��1

2.（2025·北京丰台·二模）如图所�1示，�2光滑水平面�1AB�与2竖直面内的粗糙半圆形导轨BC在B点相接，导

轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧时速度为，沿半圆形

导轨到达C点时速度为，此后平抛落地（落地点未画出）。不计空气阻力，重力加速度�为1g。求：

�2

(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能；

(2)物体在C点时受到的导轨给它�的p弹力；

(3)物体从C点平抛落地过程中重力的冲量�N大小I。

3.（2025·北京通州·一模）如图所示，轻绳下端吊着一个质量的沙袋。一个质量

的子弹以的速度水平射入沙袋，经过极短的时�间=与9沙.9袋8k达g到共同速度，然后�随=沙0袋.0一2k起g

摆动。已知�0重=力30加0m速/度s大小，不计空气阻力。求：�

2

�=10m/s

(1)子弹射入沙袋后，子弹与沙袋共同速度的大小；

(2)子弹随沙袋一起摆动上升的最大高度；�

(3)子弹射入沙袋过程中系统损失的机械能ℎ。

Δ�

4.（2025·北京海淀·一模）如图1所示，把一个质量为m的小球连接在劲度系数为k的轻质弹簧的右端，

弹簧的左端固定，小球置于光滑水平面，小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。以弹簧原长时小球的

位置为坐标原点O，以水平向右为正方向建立坐标轴Ox。小球在运动过程中弹簧始终在弹性限度内，

忽略摩擦阻力的影响。

(1)把小球拉向O点的右方x=+L处，然后由静止释放，小球沿着坐标轴做往复运动。

a．在图2中画出弹簧弹力F随x变化的示意图，并由此求出小球从x=+L处静止释放至第一次运动到平衡

位置O的过程中，弹簧对小球做的功W。

b．求小球从x=+L处静止释放至第一次运动到平衡位置O的过程中，弹簧对小球冲量的大小I。

(2)动量p随位移x变化的图像在理论物理、近代数学分析的发展中扮演了重要的角色。如图3所示，小球

运动过程的p-x图线为椭圆，已知弹簧振子系统的机械能为E。

a．求该椭圆的半长轴a和半短轴b。

b．实际上，小球在运动过程中受到微小的阻力，在相当长的时间内可近似认为其p-x图线是一系列面积不

同的封闭椭圆。经过一段相当长的时间T，椭圆的面积减小为原来的90％，求这段时间内克服微小阻力做

功的平均功率P。（已知椭圆面积S=πab)

5.（2025·北京海淀·一模）如图1所示，把一个质量为的小球连接在劲度系数为的轻质弹簧的右端，

弹簧的左端固定，小球置于光滑水平面，小球和弹簧�组成的系统称为弹簧振子。�以弹簧原长时小球的

位置为坐标原点，以水平向右为正方向建立坐标轴。小球在运动过程中弹簧形变始终在弹性限度

内，忽略摩擦阻力�的影响。��

(1)把小球拉向点的右方处，然后由静止释放，小球沿着坐标轴做往复运动。

a.在图2中画出�弹簧弹力�随=+变�化的示意图，并由此求出小球从点向处运动过程中，弹簧弹力对小

球做的功。����=+�

b.求小球从�处运动到处的过程中，弹簧对小球的冲量。

(2)弹簧振子�在运动过程�中=+，�求弹簧弹力对小球做正功时，其瞬�时功率的最大值。

6.（2025·北京东城·一模）某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把�窗外由该楼的楼顶自由落下的一个小

石子拍摄在照片中，测得照片中石子运动痕迹的长度为。已知本次摄影的曝光时间是

，实际长度为的窗框在照片中的长度为ℎ=0.8cm。重力加速度取，不计Δ�空=气

2

0阻.0力1s。�=100cm�=4.0cm�10m/s

(1)根据照片计算曝光时间内石子下落的实际距离；

(2)求曝光时间内，小石子运动的平均速度的大小�；

(3)已知小石子的质量，估算小石子从楼顶�下落至拍照时小石子所受重力的冲量的大小。

7.（2025·北京西城�·一=模1）0g火箭的飞行应用了反冲原理，借助喷出燃气的反冲作用获得推力。�已知某火箭

与其所载燃料的初始总质量为M，在时刻，火箭由静止出发，竖直向上运动，如图1所示。火箭

持续均匀向下喷射燃气，在任意的极短�=时0间Δt内，喷射燃气的质量均为Δm，喷出的燃气相对火箭的速

度恒为u。在极短时间内，火箭喷出的燃气的重力远小于火箭的推力，火箭速度的变化量远小于燃气速

度的变化量。不计空气阻力，重力加速度的大小g视为不变。

(1)求火箭速度大小为v的瞬间受到燃气推力的大小F，据此判断火箭在竖直上升阶段受到燃气的推力是否

变化。

(2)若火箭在竖直上升阶段，可使用的燃料质量为m，求该阶段火箭可获得的最大加速度的大小am。

(3)测得火箭在竖直上升阶段，随时间t变化的图像是一条直线，如图2所示，a为火箭加速度的大小。

1

�+�

已知直线的纵截距为b，斜率的绝对值为k，为明确其物理意义，请推导b、k的表达式。

8.（2025·北京丰台·一模）年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目

之一。某滑道示意图如下2，0长22直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高，是半径

圆弧的最低点。质量的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加ℎ速=度10m�，到�达=

2

B20点m时速度。取�重=力60加kg速度。�=4m/s

2

��=30m/s�=10m/s

(1)求运动员在AB段运动的时间；

(2)求运动员在AB段所受合外力的�冲量的大小；

(3)若不计BC段的阻力，画出运动员经过�点时的受力图，并求运动员经过点时所受支持力的大小。

9.（2025·北京大兴·三模）圆周运动是曲�线运动的一种特例。由于其属于变�加速曲线运动，�在�研究过程中

我们经常用到的方法就是微元法。

(1)质点沿半径为、圆心为的圆周以恒定大小的速度运动，某时刻质点位于位置，经极短时间后运动

�����

到位置，如图1所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置时的加速度的大小。

(2)物体�做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多�小段，每小段都可以��看成圆周运动的一部

分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图2所示，曲线上点的曲率圆定义为通过点和

曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作点的曲率�圆，其半径叫作点的曲�率半

径，在分析物�体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效的圆�周运动来分析和处理。�将一�物体沿与水

平面成角的方向以速度抛出，如图3所示。已知重力加速度为，求其轨迹最高点处的曲率半径。

(3)《自�然哲学的数学原理�0》中记载牛顿是这样研究匀速圆周运动的�：如图4所示，质量�为的小球沿�正多

边形的各边做速度大小恒为的运动，若正多边形的边数趋近于无穷大，则上述运动可看作�匀速圆周运动，

若其半径为，试用动量定理�推导向心力表达式（当足够小时，有）。

10.（2025�·北京海淀·三模）