2026年高考物理二轮复习（北京）重难04 功、功率和机械能（重难专练）（试题版）

重难04功、功率和机械能

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重难考向聚焦

锁定目标精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向

重难技巧突破

授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧

重难保分练

稳扎稳打必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值

重难抢分练

突破瓶颈争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数

重难冲刺练

模拟实战挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感”

一、功的计算方法

恒力的功用W=Flcosα计算

合力的功方法1：先求合力F合，再用W合=F合lcosα求合力做的功；

方法2：先求各个力做的功W1、W2、W3、⋯，再应用W合=W1+W2+W3+⋯求合力做的功

变力的功（1）应用动能定理；

（2）等效转化法；

（3）微元法；

（4）平均力法；

（5）图像法；

（6）由W=Pt计算

二、功率的计算方法

W

平均功率（1）利用P=；

t

（2）利用P=Fvcosα，其中v为物体运动的平均速度（适用于匀变速直线运动）

瞬时功率（1）利用公式P=Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度；

（2）利用公式P=FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度；

（3）利用公式P=Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力

三、机车两种启动方式的图像分析

项目以恒定功率启动以恒定加速度启动

v−t图像

P−t图像

F−t图像

a−t图像

应用的规P=Fv，a恒定阶段：P=Fv，F−f阻=ma恒，v=a恒t；P恒定阶段：P=Fv，F−f阻=ma变，

律F−f=maP=fv(F=f)

阻阻m阻P=f阻vm

四、应用动能定理解题思路

五、判断物体或系统机械能是否守恒的三种方法

定义判断法看动能与势能（重力势能和弹性势能）之和是否变化

能量转化判断法没有与机械能以外的其他形式的能发生转化时，系统机械能守恒

做功判断法只有重力（或系统内弹力）做功时，系统机械能守恒

六、机械能守恒定律的表达式

七、连接体的机械能守恒问题

速率相（1）杆或绳对两个物体都做功，单

等模型个物体机械能不守恒。

（2）对于两物体组成的系统，如果

忽略空气阻力和各种摩擦且没有其

他外力对系统做功，则系统机械能

两物体的速度大小相等

守恒。

角速度（3）根据连接体牵连的特点找出两

相等模物体高度变化的关系

型

同轴转动的两物体角速度相等

速率不

相等模

型

两物体沿绳或杆方向的速度大小相等

轻弹簧（1）含弹簧的物体系统在只有弹簧

模型弹力和重力做功时，物体和弹簧组

成的系统机械能守恒，而单个物体

机械能不一定守恒。

（2）同一根弹簧在弹簧弹性限度

内，形变量相等，弹性势能相等。

（3）由两个或两个以上的物体与弹

簧组成的系统，当弹簧形变量最大

时，弹簧两端连接的物体具有相同

的速度；弹簧处于自然长度时，弹

簧弹性势能最小（为零）

八、常见功能关系

能量功能关系表达式

重力做功等于重力势能减少量

弹力做功等于弹性势能减少量

势能W=Ep1−Ep2=−ΔEp

静电力做功等于电势能减少量

分子力做功等于分子势能减少量

11

动能合外力做功等于物体动能变化量W=E−E=mv2−mv2

k2k1220

机械能除重力和系统内弹力之外的其他力做功等于机械能变化量W其他=E2−E1=ΔE

摩擦产生的内能一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能Q=Ff⋅x相对

电能克服安培力做的功等于电能增加量W克安=ΔE电

九、应用能量守恒定律解题的思路方法

（建议用时：20分钟）

1.（2025·北京·三模）风力发电是利用风能的一种方式，风力发电机可以将风能（气流的动能）转化为

电能，其主要部件如图所示。已知风力发电机将风能转化为电能的效率和空气密度均保持不变。当风

速为且风向与风力发电机受风面垂直时，风力发电机输出的电功率为。在同样的风向条件下，风速

为时�这台风力发电机输出的电功率为（）�

�

2

A．B．C．D．

����

24816

2.（2025·北京西城·三模）如图所示，不计质量的轻质滑轮下方悬挂重物A和B，悬挂滑轮的轻质细线竖

直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量均为m，摩擦阻力

和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（）

A．拉力对A做的功等于A的动能增加量

B．重力对B做的功等于A、B两物体的动能增加量

C．细线上拉力的大小为0.6mg

D．A的加速度大小等于0.5g

3.（2025·北京大兴·三模）在利用重锤、纸带验证机械能守恒实验中，大多数学生的实验结果显示，重力

势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是__。

A．该误差属于偶然误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差

B．该误差属于系统误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差

C．该误差属于偶然误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差

D．该误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差

4.（2025·北京昌平·二模）如图所示，运动员将质量为m的足球从水平地面上位置1以速度踢出，足

球经过最高点（位置2），落在地面上位置3，位置2距离地面的高度为h，1与2和2与3�间0的水平距

离不等。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（）

A．从1到2，足球动能的减少量大于mgh

B．从1到2，足球动能的减少量小于mgh

C．从1到2，足球的加速度保持不变

D．在位置2，足球的动能等于

12

20

5.（2025·北京昌平·二模）如图所示�，�重−物𝑚Mℎ放在长木板OP上，将长木板绕O端缓慢转过一个小角度

的过程中，重物M相对长木板始终保持静止。关于长木板对重物M的支持力和摩擦力，下列说法正确

的是（）

A．支持力和摩擦力均逐渐增大

B．支持力和摩擦力的合力逐渐增大

C．支持力和摩擦力均对重物做正功

D．支持力对重物做正功，摩擦力不做功

6.（2025·北京大兴·模拟预测）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为，喷水速度约为，

−42

水的密度为，则该喷头（）2×10 m10 m/s

33

A．单位时间1的×喷1水0量 kg约/m为

−23

B．单位时间的喷水量约为2×10 m

−43

C．喷水的功率约为2×10 m

D．喷水的功率约为20 W

7.（2025·北京朝阳·一模10）0W物体a、b质量分别为ma和mb，且ma<mb，它们的初动能相同。若a和b分别

只受到恒定阻力Fa和Fb的作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为xa和xb。下列说法正确

的是（）

A．Fa>Fb，xa<xbB．Fa>Fb，xa>xb

C．Fa<Fb，xa>xbD．Fa<Fb，xa<xb

8.（2025·北京东城·二模）如图所示，水平传送带以速度匀速运动，将质量为的小物块无初速度放在

��

传送带的左端，传送带足够长，物块到达右端之前已经与传送带共速。下列说法正确的是（）

A．物块与传送带共速后，物块受到向右的静摩擦力

B．传送带运动速度越大，物块加速运动的时间越短

C．物块与传送带共速前，摩擦力对物块做负功

D．物块与传送带之间因摩擦产生的热量等于

12

2

9.（2025·北京海淀·二模）如图所示，光滑水平面��与粗糙的竖直半圆轨道在B点相切，半圆轨道

的半径，D是半圆轨道的最高点。将�一�质量的物体（�可��视为质点）向左压缩轻弹��簧�

至A点�后=由0静.4止m释放，在弹力作用下物体获得一向右�速=度0，.1并kg脱离弹簧在水平面上做直线运动，其

经过B点时的速度，之后物体沿半圆轨道运动，恰好能通过D点。取重力�加�速度。

2

求：𝐴=5m/s�=10m/s

(1)弹簧被压缩至A点时的弹性势能。

(2)物体通过D点时的速度大小。�p

(3)物体沿半圆轨道运动过程��中克服阻力所做的功W。

10.（2025·北京·一�模��）有一项荡绳过河的拓展项目，将绳子一端固定，人站在高台边缘抓住绳子另一端，

像荡秋千一样荡过河面，落到河对岸的平地上。

为方便研究，将人看作质点A，如图所示。已知人的质量，A到悬点O的距离，A与

平地的高度差，人站在高台边缘时，AO与竖直方�向=的60夹.0角kg为。�=4.00m

某次过河中，人ℎ=从2高.6台m边缘无初速度离开，在最低点B处松开绳子，落�在=水37平°地面上的C点。忽略空气阻

力，取重力加速度，，，求：

2

�=10m/scos37°=0.8sin37°=0.6

(1)人到达B点时的速率v；

(2)人到达B点，松开绳之前，绳对人的拉力大小F；

(3)若高台边缘到对面河岸共，请分析人能否安全荡到对岸。

�=4m

（建议用时：30分钟）

1.（2025·北京丰台·二模）如图所示，一物体在恒力F作用下沿斜面向上加速运动，已知物体质量为m，

加速度大小为a，物体和斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，重力加速度为g，在物体移动距离

x的过程中，下列说法正确的是（）

A．斜面对物体的摩擦力大小为

B．斜面对物体作用力的大小为𝑚sin�

C．斜面对物体的摩擦力做功为𝑚cos�

D．物体动能增加了−�𝑚�

2.（2025·北京海淀·一�模�）�2024年6月，“嫦娥六号”探测器成功着陆在月球背面预选着陆区，开启人类探

测器首次在月球背面实施的样品采集任务。“嫦娥六号”被月球捕获进入月球轨道的部分过程如图所示：

探测器在椭圆轨道1运行经过P点时变轨进入椭圆轨道2、在轨道2上经过P点时再次变轨进入圆轨

道3。三个轨道相切于P点，Q点是轨道2上离月球最远的点。下列说法正确的是（）

A．探测器从轨道1进入轨道2的过程中，需点火加速

B．探测器在轨道2上从P点运行到Q点的过程中，机械能越来越大

C．探测器分别沿着轨道2和轨道3运行，经过P点时的加速度相同

D．探测器在轨道3上运行的周期大于其在轨道1上运行的周期

3.（2025·北京海淀·一模）飞轮储能是一种利用高速旋转的飞轮来储存和释放能量的技术。飞轮能储存能

量，是因为转动的物体具有动能。如图所示，将飞轮简化为圆盘，可绕通过其圆心且与圆盘平面垂直

的转轴转动。可以把圆盘分成很多小块，任取一小块都能利用来计算其动能，将所有小块的

12

k

动能累加即可以求得飞轮转动的动能。下列说法正确的是（�）=2��

A．飞轮转动时的动能与其转动的角速度平方成反比

B．若飞轮质量均匀，匀速转动时，转轴所受合力为0

C．若飞轮质量不均匀，匀速转动时，转轴将受恒力作用

D．保持角速度不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能不变

4.（2025·北京顺义·模拟预测）如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平

滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到

达最高点C，取水平面为零势能面。下列说法正确的是（）

A．物体在C点的速度为零

B．物体在C点所受合力为零

C．物体在B点时轨道对物体的支持力等于物体的重力

D．物体在A点时弹簧的弹性势能大于物体在C点的重力势能

5.（2025·北京海淀·一模）飞轮储能是一种利用高速旋转的飞轮来储存和释放能量的技术。飞轮能储存能

量，是因为转动的物体具有动能。如图所示，将飞轮简化为圆盘，可绕通过其圆心且与圆盘平面垂直

的转轴转动。可以把圆盘分成很多小块，任取一小块都能根据来计算其动能，将所有小块的

12

k

动能累加即可以求得飞轮转动的动能。下列说法正确的是（�）=2��

A．飞轮转动时的动能与其转动的角速度成正比

B．飞轮转动的动能与其质量分布是否均匀无关

C．保持角速度的大小不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能不变

D．保持角速度的大小不变，若飞轮改为绕其直径转动，则其动能变小

6.（2025·北京西城·一模）如图所示，一个质量为m的小球，用轻绳悬挂于O点，初始时刻小球静止于

P点。第一次小球在水平拉力F1的作用下，从P点缓慢地移动到Q点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ；

第二次小球在水平恒力F2的作用下，从P点开始运动恰好能到达Q点。不计空气阻力，重力加速度为

g。下列说法正确的是（）

A．第二次水平恒力的大小为

𝑚tan�

B．第二次到达Q点时绳的拉力比第一次小

C．第二次水平力做的功比第一次多

D．两个过程中绳的拉力均逐渐增大

7.（2025·北京延庆·一模）汽车研发机构在某款微型汽车的车轮上安装了小型发电机，将减速时的部分动

能转化并储存在蓄电池中，以达到节能的目的。某次测试中，微型汽车以额定功率行驶一段距离后关

闭发动机，测出了微型汽车的动能Ek与位移x关系图像如图所示，其中①是关闭储能装置时的关系图

线，②是开启储能装置时的关系图线。已知微型汽车的质量为1000kg，为便于讨论，设其运动过程中

所受阻力恒定。根据图像所给的信息可求出（）

A．汽车行驶过程中所受阻力为1000N

B．汽车的额定功率为120kW

C．汽车加速运动的时间为22.5s

D．汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为5×105J

8.（2025·北京丰台·一模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km的空间站顺利完

成径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；

随后逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。

下列说法正确的是（）

A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度

B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力

C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小

D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加

9.（2025·河南·一模）如图所示，倾角为的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为

的物块A与物块B（质量未知）通过轻�绳=连37接°后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A放�在=斜1面kg体

上的a点，物块A刚好不下滑。已知ab段粗糙，b点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时

上端位于b点，某时刻剪断轻绳，物块A运动到b点的速度大小为，，最终物块A把轻弹簧

压缩到最低点c，随后物块A能沿斜面上滑到最高点d（d点未画出），�物�块=2Am在/sc点的加速度大小为

�

，，弹性势能表达式为，Δx为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加�速=

12

2

度1.8为���=1m，.下列�说=法正�Δ确�的是（）

2

�=10m/ssin37°=0.6

A．物块A与ab段的动摩擦因数为0.5

B．轻弹簧的劲度系数为144N/m

C．物块A下滑的最大速度为

33

D．物块B的质量为0.4kg2m/s

10.（2025·广西·模拟预测）传送带经常用于分拣货物。如图（a）为倾斜传送带输送机简化模型图，传送

带顺时针匀速转动，在传送带下端点无初速度放上货物。货物从下端点运动到上端点的过程中，

其机械能与位移的关系图像（以�点所在水平面为零势能面）如图（�b）所示。货物�视为质点，关于

货物从点�运动到�点的过程说法正�确的是（）

��

A．该过程中货物受到的摩擦力不变

B．货物与传送带间相对滑动产生的热量为

C．货物对传送带做的功为8 J

−8 J

D．传送带输送机因运送该货物而多消耗的电能为

13 J

（建议用时：40分钟）

1.（2025·北京大兴·三模）如图所示，一根内壁光滑的圆弧形细圆管竖直放置，且管口A与圆心O连线

3

4

水平，圆弧半径为R，已知重力加速度为g，细管半径和R相比可忽略。

(1)一小球从管口A的正上方h1高处自由下落后，恰好能到达管口C处，求h1。

(2)若质量为m的小球从管口A的正上方某高度自由下落，它能从管口C处飞出后又落到管口A处，求：

a．小球释放位置距A的高度h2；

b．在该过程中，小球到细管最低点时对细管的压力大小。

2.（2025·北京·三模）图甲为游乐园中“空中飞椅”的娱乐设施，中央是一个由电动机驱动的水平转盘，转

盘的边缘固定许多绳子，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上，随着转盘的加速，人的高度也逐渐上

升。可将上述装置做如图乙所示的简化：人和座椅视为质量为m=100kg的质点；绕竖直轴OO′无摩擦

转动的转盘视为质量为M=4000kg、半径为R=3m的匀质圆盘；长为l=5m的轻绳不可伸长。圆盘从静

止开始缓慢加速转动，经过一段时间后，圆盘匀速转动，此时绳与竖直方向的夹角为θ=37°。空中飞椅

和游客数均为N=10，不计空气阻力和其他摩擦，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。

(1)求圆盘匀速转动的角速度ω。

(2)对于定轴转动的物体，其动能可表示为，对于匀质转盘，电动机的效率为η=0.9。求

1212

�k=2���=2��

圆盘从静止到匀速转动的过程电动机消耗的电能。（结果保留1位有效数字）

(3)加速度对时间的变化率叫做“急动度”，汽车工程师常常用急动度来评判乘客不舒适程度的指标，急动度

越大，乘客将会觉得越不舒适。求匀速转动时，质点急动度的大小j以及合力随时间的变化率。

Δ�

Δ�

3.（2025·北京西城·三模）一般的曲线运动，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把

这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，该一小段圆周

的半径为该点的曲率半径。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分

析方法来处理了。小珂发现游乐场的过山车轨道不是圆形轨道而是“水滴形”轨道（如图1），小珂设计

了如图2所示的过山车模型，质量为的小球在A点由静止释放沿倾斜轨道下滑，经水平轨道BC

进入半径的圆形轨道，恰能�做完整的圆周运动；再经水平轨道进�入�“水滴形”曲线轨道，

点的曲率�半1=径0.8m，“水滴形”轨道最高点与圆形轨道最高点等高��。忽略所有轨道摩擦力，�各��轨

�道都平滑连接，�“2水=滴2形m”轨道左右对称，取�。�

2

�10m/s

(1)求小球释放点A距离水平面的高度；

(2)在圆形轨道上运动时，小球在最低点�与最高点的向心加速度大小的差值；

(3)在“水滴形”轨道上运动时，小球的�向心加速�度大小为一个定值，求“水滴形”轨道上任意一点的曲

率半径随距地面高�度��变化的函数表达式（即：用和表示）。���

4.（�2025·北京朝阳·ℎ二模）开普勒行星运动定律内ℎ容�如1下：�

①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；

②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等；

③所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。

科研人员设想一种在太空中发射太空探测器的方案：卫星携带一探测器在半径为的圆轨道上绕地球做匀

速圆周运动，运动周期为。在轨道上某点启动辅助动力装置短暂工作（工作时消�耗0的气体质量忽略不计），

将探测器沿运动方向射出�，0探测器恰好能完全脱离地球引力的束缚，而卫星沿原方向绕地球做椭圆运动。

已知质量分别为、的两个质点相距为r时的引力势能为，其中G为引力常量。不计其他

��1�2

12p

天体的作用。���=−�

(1)求卫星和探测器绕圆轨道运动的线速度大小；

(2)求发射后瞬间探测器的速度大小；�0

(3)小华认为，若给定卫星与探测器的�1质量之比，则可求得发射探测器后卫星沿椭圆轨道运动的周期。请你

分析说明她的观点是否正确，写出关键方程。

5.（2025·北京·二模）水平桌面上的甲、乙两物体在水平拉力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度a

与所受拉力F的关系如图所示。甲、乙两物体的质量分别为、，与桌面间的动摩擦因数分别为、

。下列说法正确的是（）�1�2�1

�2

A．

B．�1>�2

C．若�1拉>力�2相同，经过相同时间拉力对甲做功少

D．若拉力相同，通过相同位移甲获得的动能小

6.（2025·北京昌平·二模）荡秋千是孩子们喜欢的一项运动。如图所示，秋千由两根长度均为L的细绳悬

挂于固定横梁上，质量为m的小孩坐在秋千座椅上，初始时，大人用一水平外力使秋千静止，此时两

绳与竖直方向夹角均为。不计秋千的质量，小孩可视为质点。重力加速度为g。

�

(1)当秋千静止时，求水平外力的大小F。

(2)将秋千从静止释放，秋千自由摆动，若不计空气阻力，求秋千摆到最低点时每根绳子的拉力大小T。

(3)若考虑空气阻力，求秋千从静止释放到停下的过程中空气阻力所做的功。

7.（2025·北京东城·二模）如图所示，长为的细线，一端系有质量为的�小f球，另一端通过光滑的轻质小

圆环套在点的钉子上，小球在高为的光�滑水平桌面上做匀速圆周�运动。若小球的速度缓慢增大，当

�ℎ

细线的拉力达到时，细线断裂，小球垂直桌面边缘抛出。重力加速度为，不计空气阻力。

��

(1)小球从水平桌面上抛出时的速度大小；

(2)小球落地点到桌面边缘的水平距离；�0

(3)小球落地时的动能。�

8.（2025·北京丰台�·二k模）太空电梯是人类设想的一种通向太空的设备，如图所示，在地球赤道上利用超

轻超高强度材料建设直通高空的电梯，可以将卫星从地面运送到太空。已知地球质量为M，半径为R，

自转角速度为ω，引力常量为G，质量为与的两个质点若相距无穷远时势能为零，则相距为r时

12

的引力势能为。��

��1�2

�p=−�

(1)求地球同步卫星的轨道半径；

(2)利用太空电梯将一质量为m、�0静止在地球表面的卫星运送到同步卫星轨道，使其成为一颗同步卫星。写

出上述过程卫星机械能变化量的表达式（同步卫星的轨道半径可直接用表示，结果不用化简）；

(3)已知在距离地心约为处，将卫星相对电梯静止释放，卫星恰好�0不能撞击到地面。若在距离地心

至高度范围0.内70，7�将0卫星从不同位置处相对电梯静止释放，请写出释放后卫星与地心间距离如

0何.7变07化�。02.0�0

9.（2025·北京西城·二模）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进

和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为M，可视为质量均匀分布的半径为R的球体，引

力常量为G，不考虑地球自转。

(1)在地球表面将物体以初速度竖直上抛

a．若忽略万有引力的变化，物�体0上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小g及物体上升到最

高点所用的时间。�−�

b．若考虑万有引�力1的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间，

(2)在地球赤道表面向北极发射洲际导弹�−��2

a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的

匀变速直线运动。若导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。推导导弹距地面的高

度h随运动时间t变化的关系式。�1�

b．若考虑万有引力的变化，导弹仅在地球引力作用下的运动轨迹是椭圆，地心O为椭圆的一个焦点，如图

3所示。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为m的物体在距地心为处的引力势能，

��

��

该物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其机械能E（动能与引力势能之�和�）≥与�椭圆半长轴a的�关=系−为�

，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a。求发射导弹到北极的最小速度。�=−

��

2�2

1�0.（2025·北京西城·二模）如图所示，小物块的质量，以速度�开始运动，运动至水

平桌面右端抛出。物块的抛出点距水平地面的高度�=0.10kg，落地点与�桌0=面2右m端/s的水平距离，

重力加速度。不计空气阻力。求：ℎ=0.80m�=0.40m

2

�=10m/s

(1)物块在空中运动的时间t；

(2)物块离开桌面右端时速度的大小v；

(3)桌面摩擦力对物块做的功W。

11.（2025·北京东城·一模）两黑洞绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，组成一个孤立的双星系统，两黑

洞的质量分别为、，两者间距为，引力常量为。

(1)求两黑洞做匀速圆�周1运动�2的角速度的大小�；�

(2)科研人员观测到上述黑洞系统会向外辐射引�力波，随着时间的推移，两个黑洞会缓慢靠近，系统的机械

能逐渐减小。已知机械能随时间的变化率为，其中可以定义为两黑洞的靠近速

���1�2��

2

���Δ�=2�⋅Δ�Δ�→0Δ�

度。由广义相对论可知，该系统辐射引力波的功率，其中为电磁波在

3242−5�

�1212

真空�中的传播速度。当较大时，靠近速度很小，不�计=两5黑�洞�各自�质量�的变+化�。���

a.求的值；���

b.请�推导的表达式。

12.（20�2�5·北京顺义·模拟预测）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球

体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心

做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。

(1)求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

(2)根据�>电�荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性

和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

(3)宇宙中某恒星质量�是≤太�阳质量的8倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕

此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为，绕此恒星公转的周

1

期为，求。�

�2

�2�1

13.（2025·北京丰台·一模）如图所示，冰车静止在冰面上，小孩与冰车的总质量。大人用

恒定拉力，使冰车开始沿水平冰面移动，拉力方向与水平面的夹角为�。=已20知kg冰车与冰面�=间2的0动N

摩擦因数，重力加速度，，�=。37求°。

2

�=0.05�=10m/ssin37°=0.6cos37°=0.8

(1)小孩与冰车受到的支持力的大小。

(2)小孩与冰车的加速度的大�小N。

(3)拉力作用时间，�冰车位移的大小。

(4)拉力作用�=8s时间内，合外力做�的功。

14.（2025·�北=京8大s兴·一模）在2024年的巴�黎奥运会中，我国小将全红婵力压群芳，取得了女子10米跳台

比赛的冠军。假设全红婵的质量为m=50kg，其体型可等效为长度l=1m、底面积S=0.06m2的圆柱

体，不计空气阻力，当她起跳到达最高点时，她的重心离跳台表面的高度为0.8m。

(1)求全红婵起跳瞬间的速度大小；

(2)全红婵落水后将受到水的浮力。若以落水点为坐标原点，竖直向下为正方向建立x轴，请在答题纸给出

的坐标上画出她所受浮力F的大小随落水深度x变化的函数关系图像（已知物体在水中所受浮力为F=ρgV，

V为物体所排开的水的体积）；

(3)若全红婵从跳台自由下落，忽略空气阻力和她入水后受到的水的阻力，为了确保她的安全，求水池中水

的深度h至少应等于多少？（水的密度ρ=1.0×103kg/m3，g=10m/s2）。

15.（2025·北京顺义·一模）双星系统是指由两颗恒星组成的引力束缚系统，它们在相互的引力作用下围绕

共同的质心（质量中心）做轨道运动。

(1)如图所示为某双星系统，恒星A、B绕其连线的中点O做角速度相等的匀速圆周运动，A、B的质量均

为，恒星A、B中心之间的距离为L，引力常量为G，求恒星A绕O点做圆周运动的角速度。

(2)�宇0宙中某双黑洞系统可以看成双星模型，随着时间推移，系统会通过引力波辐射能量，导致轨�道逐渐收

缩，最终合并成一个黑洞。假设该双黑洞系统中，两个黑洞的质量均为M，中心之间的距离为r，已知此时

这个系统辐射引力波的功率，其中为引力常量，为光在真空中传播的速度。

45Gc

32��

54

a.该双黑洞系统到地球的距离�为=D5（��D远大于r），不计传播过程中引力波能量的损失，求地球表面接收到该

系统此时刻辐射引力波的能流密度S（能流密度是指单位时间内通过垂直于能量传播方向上单位面积的能量，

单位为）。

2

b.已知质W量/m为和，距离为R的两个质点间的引力势能。设黑洞合并过程中系统的机械能

�1�2

�1�2�p=−��

全部转化为引力波的能量，在t时间内该双黑洞之间的距离由r收缩为，求此过程中该双黑洞系统辐射引