2026年高考物理二轮复习（北京）重难03 万有引力与航天（重难专练）（试题版）

重难03万有引力与航天

内容导航

速度提升技巧掌握手感养成

重难考向聚焦

锁定目标精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向

重难技巧突破

授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧

重难保分练

稳扎稳打必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值

重难抢分练

突破瓶颈争夺高分：聚焦于中高难度题目，争夺关键分数

重难冲刺练

模拟实战挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感”

一、开普勒行星运动定律理解

1111v1r2

（1）由开普勒第二定律可得Δl1r1=Δl2r2，v1⋅Δt⋅r1=v2⋅Δt⋅r2，解得=，可知近日点速度最大，

2222v2r1

远日点速度最小。

a3

（2）开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用

T2

在中心天体相同的星体之间。

（3）运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。

二、天体质量和密度的计算

三、分析卫星运动的两条思路

Mm

在地面附近静止忽略自转：G=mg，故GM=gR2（黄金代换式）

R2

考虑自转

Mm

两极：G=mg

R2

Mm

赤道：G=mg+mω2R

R20

（天体）卫星在圆轨道上GM∝1

man→an=2→an2

运行rr

v2GM1

m→v=→v∝

rrr

Mm高轨低速大周期

G2=Fn=GM1“”

rmω2r→ω=→ω∝

r3r3

4π24π2r3

mr→T=→T∝r3

T2GM

四、卫星的发射及变轨

卫星的GM

第一宇宙速度：v==gR=7.9km/s，是最小发射速度和最大环绕速度，等于近地卫星的运行速度；

发射R

不同的星球g、R不同，第一宇宙速度不同

卫星的（1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度变小、动能变小、机械能变大；由高

变轨轨变低轨，反之。

（2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

（3）根据开普勒第三定律可知，半径（或半长轴）越大，周期越长

五、两种特殊卫星

卫星特点

地球同步卫星（1）周期与地球自转周期相等，T=24h。

（2）高度固定不变，h=3.6×107m。

（3）运行速率约为v=3.1km/s

近地卫星（1）轨道半径r=R（地球半径）；

（2）运行速度等于第一宇宙速度v=7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）；

（3）T=85min（人造地球卫星的最小周期）

六、卫星追及问题中的规律（绕行方向相同）

1.相距最近到最近（或相距最远到最远）：

（1）角度关系为ω1t−ω2t=n⋅2π(n=1,2,3,⋯)；

ttnTT

（2）圈数关系为−=n(n=1,2,3,⋯)，解得t=12(n=1,2,3,⋯)。

T1T2T2−T1

2.相距最远到最近（或相距最近到最远）：

tt2n−1

ω1t−ω2t=(2n−1)π(n=1,2,3,⋯)或−=(n=1,2,3,⋯)。

T1T22

（建议用时：20分钟）

1.（2025·北京大兴·三模）已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。假设距离某星球球心处

的重力加速度g与h的关系图像如图所示，已知引力常量为，取球心处重力势能为零。则下列说法ℎ不

正确的是（）�

A．可依据图像求出该星球质量

B．可求出距球心处质量为物体的重力势能

0

C．该星球的第二宇ℎℎ宙<速ℎ度为�

�0ℎ0

D．在距球心轨道上运行的卫星速度大小为

2�0ℎ0

0

2.（2025·北京海2ℎ淀·三模）第一宇宙速度又叫作环绕2速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，

逃逸速度是环绕速度的倍，即，其中为中心天体的质量，为其半径。这个关系对于其

′2��

他天体也是正确的。由此2可知，中�心=天体�越大，�越小，其逃逸速度也就�越大。宇宙中存在这种天体，

以的速度传播的光都不能�逃逸。即�使它确实在发光，光也不能进入太空，我们也根本

8

看不�=到3它×，1这0种m天/s体称为黑洞。科学家发现银河系中心天体是一颗质量为的黑洞，它附近有一颗恒星

S2环绕，其运动轨道是一个非常扁的椭圆（如图）。若S2在近星点与黑洞�中心的距离为，线速度大

1

小为，在远星点与黑洞中心的距离为，线速度大小为。S2的�椭圆轨道面积为，运�动周期为，

引力常�1量为。不计�其他天体的影响，以下�2说法错误的是（�2）��

�

A．在近星点和远星点的速度满足

�1>�2

B．S2在近星点的线速度大小也可以表示为

�

�1�1�

．在点和点的加速度大小之比为

CS22

�2

2

���1

D．中心天体黑洞的半径至多为

2��

2

�

3.（2025·北京西城·三模）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运

行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外

行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。根据表中信息，可以判断（）

地球

火星

木星

土星

天王星

海王星

轨道半径R/AU

1.0

1.5

5.2

9.5

19

30

A．火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年

B．某些地外行星一年中可能会出现两次冲日现象

C．天王星相邻两次冲日的时间间隔约为土星的一半

D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长

4.（2025·北京大兴·三模）2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九

运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功升空。此后，飞船顺利完成了与运行高度为400km的空

间站的对接，将三名宇航员成功送入空间站。根据上述信息，下列有关说法正确的是（）

A．神舟十九号的发射速度应该不低于11.2km/s

B．神舟十九号随火箭升空的过程中，飞船内的宇航员处于失重状态

C．空间站正常运行时的线速度应略低于第一宇宙速度

D．空间站与地球同步卫星在相同的轨道上

5.（2025·北京昌平·二模）2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，

该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在

近地圆轨道运行时周期为。则“天链二号04星”的周期约为（）

A．B．�0C．D．

6.（260�205·北京东城·二模）6质�0量为的物块静止6放置6�于0地球赤道某处的3水6�平0桌面上。已知地球质量为，

半径为，自转周期为，引力常�量为。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块�对

桌面的压�力大小等于�（）�

．�．

AB2

��4�

22

�����

．．

C2D2

��4���4�

2222

7.（2�02�5·−北�京通�州�·一模）2024年10月30日，�神�舟+十�九�号载�人飞船将三名航天员送入太空，飞船入轨

后按照预定程序与天和核心舱对接。飞船与核心舱对接过程的示意图如图所示。飞船从圆轨道Ⅰ，通过

变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ由A处运动到B处，与沿圆轨道Ⅲ运行的核心舱对接，对接后的组合体继续在圆

轨道Ⅲ上运行。在上述过程中，飞船（）

A．由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需在B处减速

B．在B处与核心舱对接前后的加速度相等

C．在轨道Ⅰ上A处的速度小于在轨道Ⅲ上B处的速度

D．在轨道Ⅱ上由A到B的时间大于在轨道Ⅲ上运行周期的一半

8.（2025·北京西城·一模）北斗卫星导航系统中包含地球静止卫星，即相对地面静止的卫星。静止卫星的

（）

A．周期大于地球自转的周期

B．线速度大于地球的第一宇宙速度

C．向心加速度大于地球表面的重力加速度

D．向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度

9.（2025·北京房山·一模）某航天器绕地球运行的轨道如图所示。航天器先进入圆轨道1做匀速圆周运动，

再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P、Q两点。

下列说法正确的是（）

A．航天器在轨道1的运行周期大于其在轨道3的运行周期

B．不论在轨道1还是在轨道2运行，航天器在Р点的速度大小相等

C．航天器在轨道3上运行的速度小于第一宇宙速度

D．航天器在轨道2上从Р点运动到Q点过程中，地球对航天器的引力做正功

10.（2025·北京顺义·一模）空间站在距离地面高度为h的圆轨道上运行。航天员进行舱外巡检任务，此时

航天员与空间站相对静止。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说

法正确的是（）

A．此时航天员所受合力为零

．地球的质量为

B2

��+ℎ

�

C．空间站的线速度大小为

�

��+ℎ

D．空间站的向心加速度大小为

�

�+ℎ�

（建议用时：30分钟）

1.（2025高三·北京·专题练习）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背

面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A

距月心约为2.0×103km，远月点B距月心约为1.8×104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的

是（）

A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h

B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1

C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线

D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于11.2km/s

2.（2024·北京海淀·模拟预测）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个

质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5

所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不

消耗燃料而保持与地球同步做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是

（）

A．该卫星绕太阳运动周期大于地球公转周期

B．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度

C．该卫星在L2点处于平衡状态

D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小

3.（2024·北京海淀·模拟预测）如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动

的人造卫星，c为地球静止卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中错误的是（）

A．a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力

B．周期关系为

C．线速度的大小��关=系��为>��

D．向心加速度的大小关�系�为<��<��

4.（2024·北京大兴·三模）2024�年�>，�我�国>探��月计划第六个探测器嫦娥六号将于上半年出征月球，并且飞

往月球背面采集土壤并返回地球。如图所示，为地球的球心、为月球的球心，图中的P点为地—

月系统的一个拉格朗日点，在该点的物体能够保�1持和地球、月球相�2对位置关系不变，以和月球相同的

角速度绕地球匀速圆周运动。地球上的人总是只能看到月球的正面，嫦娥六号将要达到的却是月球背

面的M点，为了保持和地球的联系，我国于4月12日成功发射鹊桥二号中继通信卫星，让其在以P

点为圆心、垂直于地月连线的圆轨道上运动。下列说法正确的是（）

A．我们无法看到月球的背面，是因为月球的自转周期和公转周期相同

B．发射嫦娥六号时，发射速度要超过第二宇宙速度，让其摆脱地球引力的束缚

C．以地球球心为参考系，鹊桥二号中继卫星做匀速圆周运动

D．若“鹊桥二号”和月球的公转轨道半径之比为n，那么它们的公转周期之比为

3

5.（2024·北京海淀·模拟预测）为简单计，把地-月系统看成地球静止不动而月球绕�地球做匀速圆周运动，

如图所示，虚线为月球轨道。在地月连线上存在一些所谓“拉格朗日点”的特殊点。在这些点，质量极

小的物体（如人造卫星）仅在地球和月球引力共同作用下可以始终和地球、月球在同一条线上。则图

中四个点可能是“拉格朗日点”的是（）

A．A、B、C点B．A、B、D点C．A、C、D点D．B、C、D点

6.（2024·北京昌平·二模）研究表明，2000年来地球自转周期累计慢了2个多小时。假设这种趋势持续

下去，地球其他条件不变，未来人类发射的地球静止卫星与现在相比（）。

A．距地面的高度变小B．向心加速度变大

C．线速度变小D．角速度变大

7.（2024·北京通州·一模）我国发射的卫星“墨子号”与“济南一号”均使用了量子技术，“济南一号”比“墨子

号”的运行周期短，“济南一号”和“墨子号”绕地球的运动均可视为匀速圆周运动。比较它们的运动，下

列说法正确的是（  ）

A．“济南一号”的线速度更大B．“济南一号”的角速度更小

C．“济南一号”的向心加速度更小D．“济南一号”的运行轨道半径更大

8.（2024·北京丰台·二模）木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中有两颗卫星的轨道半

径之比约为。根据以上信息可知这两颗卫星的（）

A．线速度大1小:4之比约为B．周期之比约为

1:21:8

C．向心加速度大小之比约为D．向心力大小之比约为

9.（2024·北京海淀·一模）在空间4:站1中，宇航员长期处于失重状态，为16缓:1解这种状态带来的不适，科学家

设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环旋转舱绕中心匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，

可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力，宇航员可视为质点。下列说法正确的是（）

A．宇航员相对自身静止释放一小球，小球将悬浮在空间站中相对空间站静止

B．旋转舱的半径大小和转动角速度乘积是定值

C．宇航员在旋转舱与旋转中心之间的连接舱中时和在地球上感受相同

D．以旋转中心为参考系，宇航员在环形旋转舱的加速度大小等于重力加速度的大小

10.（2024·北京顺义·一模）科学家发现由于太阳内部的核反应而使其质量在不断减小。在若干年后，地球

绕太阳的运动仍可视为匀速圆周运动。描述地球绕太阳运动的物理量与现在相比，下列说法正确的是

（）

A．半径变小B．周期变大C．速率变大D．角速度变大

11.（2024·北京东城·一模）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的周期约为16小时

的椭圆轨道，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机

先在远地点点火，使卫星进入图中曲线2所示新轨道，以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的

近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分

别如图中曲线3、4、5所示）。卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度为h，周期为。已知月球半

径为r，万有引力常量为G，则以下正确的是（）�0

A．卫星在16小时轨道上运行时，在近地点的机械能比在远地点的机械能小

B．24小时轨道与48小时轨道的半长轴之比为

3

1:4

C．卫星在地月转移轨道上运行时速度大于第二宇宙速度

．月球的质量为

D23

4��

2

��0

12.（2024·北京海淀·一模）2022年10月，我国发射的“夸父一号”太阳探测卫星成功进入距地面高度为

720km、周期约为100分钟的太阳同步晨昏轨道，如图所示。所谓太阳同步晨昏轨道，从宇宙中看，卫

星围绕地球在两极上空飞行（看作匀速圆周运动）且跟随着地球绕太阳公转，同时轨道平面围绕太阳

转动，且保持这个面一直朝向太阳，可实现全天候对太阳磁场、太阳耀斑等进行观测。下列说法正确

的是（）

A．“夸父一号”每绕地球1周，地球自转25°

B．“夸父一号”绕地球运动的向心加速度大于地球表面重力加速度

C．“夸父一号”绕垂直于地球自转轴旋转

D．“夸父一号”的发射速度大于

11.2km/s

（建议用时：40分钟）

1.（2024·北京石景山·一模）如图所示，中国自行研制、具有完全知识产权的“神舟”飞船某次发射过程简

化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，

在B点通过变轨进入预定圆轨道。则（）

A．在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的加速度比B点的大

B．在椭圆轨道上运行时，飞船在A点的速度比B点的小

C．在B点变轨前后，飞船的机械能不变

D．在B点飞船通过减速从椭圆轨道进入预定圆轨道

2.（2024·北京海淀·一模）如图所示，嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火

星的质量约为月球质量的9倍、半径约为月球半径的2倍。假设月球、火星可视为质量均匀分布球体，

忽略其自转影响，则下列说法正确的是（）

A．月球表面重力加速度大于火星表面重力加速度

B．嫦娥五号绕月球的运行速度大于天问一号绕火星的运行速度

C．相同时间内，嫦娥五号与月球的连线扫过的面积与天问一号与火星的连线扫过的面积相等

．嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值小于天问一号绕火星转动轨道半径的

D3

�1

2

�1

三次方与周期的平方的比值

3

�2

2

�2

3.（2024·北京延庆·一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。图甲是北斗导航

系统卫星分布示意图，乙所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动

的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。

（1）求地球的质量M；

（2）求该卫星的轨道距离地面的高度h；

（3）请推导第一宇宙速度v1的表达式，并分析比较该卫星的运行速度v与第一宇宙速度v1的大小关系。

4.（2025·浙江嘉兴·一模）在某次深空探测活动中，科学家发现两颗恒星A、B相对静止绕着共同的圆心

O在同一平面内做匀速圆周运动，A、B连线经过O点，P是A、B连线与A运动轨道的交点，某时刻

空间位置如图所示。小禹同学猜想，这个系统中如果还存在一个天体C，应该也可以实现三个天体都

绕着O匀速转动。若这是一个A、B、C组成的“三星系统”，则（）

A．A的质量小于B的质量

B．C可能位于A、B连线的中垂线上

C．若C与A质量相等，C可能位于P点

D．若C的质量远小于A、B的质量，C一定在B的外侧

5.（25-26高三上·河北·期中）如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的

电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知

地球质量为，半径为，自转周期为，地球同步轨道距地面高度为。某时刻电梯舱停留在距地面高

度为�的点�处。此时，电梯�舱内一质量为的乘客站在体重ℎ计上，体重计示数为。引力常

量为2。�下2�列<说ℎ法正�确的是（）��

�

A．乘客在点受到的万有引力大小为

���

2

�2�

．乘客在点的向心加速度小于

B2

4�

2

���+ℎ

C．乘客在点的线速度大小为

��

�3�

．体重计的示数

D2

���12��

22

6.（2025·湖北·模拟�预=测9）�20−25�年�4月1日，长征二号丁运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功

将试验卫星准确送入预定轨道。如图所示，某试验卫星绕地球圆周运动的轨道半径为，另一人造卫

星01星绕地球圆周运动的轨道半径为，且，此时两卫星与地心恰好在一条直�1线上。已知地

球质量为，引力常量为，地球表面重�2力加速�1度<为�2，忽略地球自转，则下列说法正确的是（）

���

A．地球的半径

�

B．试验卫星线速�=度小�于�01星的线速度

C．试验卫星与01星在相同时间内扫过的面积之比为

�1

�2

D．若两颗卫星绕行方向一致，至少经过时间，两卫星与地心再次共线

2π

����

3−3

�1�2

7.（2025·广东·模拟预测）北京时间2023年9月，中国航天员在空间站梦天实验舱中圆满完成“天宫课堂”

直播授课。中国空间站在距离地面约430km的圆轨道上做匀速圆周运动，周期为90min，空间站的运

动平面与赤道面的夹角约为，为实现空间站与地面直播互动交流，空间站的信号需要先传到在地球

°

静止轨道上运行的中继卫星，41然后再传回地面。下列说法正确的是（）

A．空间站的线速度比地面上观看直播的同学的线速度小

B．空间站的线速度大于地球的第一宇宙速度

C．空间站的加速度小于地球两极的重力加速度

D．若要完成一场90min的直播授课，仅一颗中继卫星即可完成任务

8.（2025·安徽·模拟预测）2024年10月10日21时50分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运

载火箭，成功将卫星互联网高轨卫星03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。

不同高度的卫星绕地球做圆周运动，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积与卫星的线速度的倒数

的关系图像如图，其斜率为。已知地球的半径为，引力常量为，卫星�绕地球的运动可视为匀

11

速�圆周运动，�下−列�判断正确的是（�）��

A．地球的质量为

�

2�

B．地球的密度为

3�

3

2���

C．地球的第一宇宙速度为

2�

�

D．若卫星的运动周期为，则卫星离地球表面的高度为32

��1

9.（2025·河北衡水·模拟预�测1）我国的北斗系统可提供全球导2�航−服�务，在轨工作卫星共33颗，包含5颗

地球静止同步轨道卫星，7颗倾斜地球同步轨道卫星和21颗中圆地球轨道卫星。如图所示为北斗系统

中的两颗卫星，分别是中圆地球轨道卫星A和地球静止同步轨道卫星B，卫星A环绕方向为顺时针，

卫星B环绕方向为逆时针。已知地球自转周期为，地球的半径为，卫星A和卫星B到地球表面的

00

距离分别为、，引力常量为G，某时刻两�卫星与地心连线之�间的夹角为120°，下列说法正确的

3

00

是（）4�6�

A．卫星B的动能一定小于卫星A的动能

．地球的质量

B23

4�(7�0)

2

�=��0

C．卫星A围绕地球做圆周运动的周期

1

�A=7�0

D．从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最远

1

�=27�0

10.（2025·北京海淀·三模）中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为的毫秒脉冲星

。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为的距离内相互�绕1转，绕转周期为。

P伴S星RJ的19质28量+为1815，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力�常量为。�2

�2�

(1)该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度；

(2)求脉冲星的质量；�

(3)脉冲星高频自转，�1形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如

图所示的简化模型。

a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮

挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径。

b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为，当某�次脉冲星距离

地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为，相当于接收来自�太阳持续时间为释

放出的总能量。太阳的辐射功率为，日地距离为。假设在辐射束�1内，到脉冲星距离相等的面上能量均�2匀

分布。求该脉冲星距离地球的最近�距0离。�

11.（2025·北京海淀·二模）科学家根据�天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在

做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一

点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P

受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的

合力为零，引力常量为G。

(1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。

a．求此时星系P受到的引力�大0小。�0

�0

b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小引随距离r变化的关系式。

�

(2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。

我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量

密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排

斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相

1

反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量�”为。请基于上述简化模型和猜想，

′

�

推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小斥随距离r变化的关系式。

�

(3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。

a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。

b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。

12.（2025·北京丰台·一模）牛顿运动定律适用于惯性系。相对于惯性系有加速度的参考系称为“非惯性系”，

在非惯性系中，为使牛顿运动定律形式上仍然成立，可认为物体都多受一个“惯性力（f惯）”。f惯=-ma，

m为被研究物体的质量，a为非惯性系相对于惯性系的加速度，“-”号表示f惯相与a反向。

(1)我国空间站所在轨道高度处的重力加速度为g′，空间站中宇航员质量为m。根据题干提供的信息，完成

下面的表格。

参考系研究内容地球（忽略自转）空间站

对宇航员进行受力分析

（可将宇航员视为质点）

宇航员的运动状态（选填“平

衡状态”或“非平衡状态”）

(2)将地球和月球看作一个孤立系统，忽略地球自转。二者球心绕连线上某点作匀速圆周运动，该点可视为

惯性系。地球上的“潮汐”现象是由月球引力与惯性力的合力造成，该合力称为“引潮力”。已知万有引力常量

G，地球质量和月球质量分别为M和m，半径分别为R和r，二者球心间距为L，可认为L>>R。请写出地

球上离月球最远，质量为m0的质点所受“引潮力”的表达式，并判断方向。

(3)大天体对小天体的引潮力有可能将小天体“撕碎”。2024年12月，科学家首次发现近地小行星“2024YR4”，

并预测它大约将在2032年12月与地球相距最近。如果小行星内部物质仅由万有引力聚集在一起，半径为r，

密度ρm=3×10³kg/m³，忽略小行星自转。地球的半径为R，密度ρM=5.5×10³kg/m³，请通过计算说明，小行星

到达地面之前能否被引潮力撕碎？（提示：已知地球质量远大于小行星，无论小行星到达地面前能否被撕

碎，都有二者球心间距远大于r。本题可能用到的数学工具：当x→0时，。）