2026年高考数学二轮复习 模块二 函数与导数（天津）解析版

模块二函数与导数

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小即答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（）.

A./（x）=,dB.f（x）=-x2C./（x）=-D.f（x）=-2x

X

【答案】D

【详解】对于A,函数/"）=•?在R上单调递增，故A错误：

对于B，函数是偶函数，故B错误；

对于C,函数/（戈）=（的定义域是打卜工0},不是其定义域上的减函数，故C错误：

对于D,函数/'（戈）=-2x定义域为R,是奇函数且在R上单调递减，故D正确.

故选：D.

2.已知/"）=]1'丁川八，则/⑹的函数值为（）

x+x<0

A.-312B.-174C.-36D.174

【答案】C

【详解】/（6）=-62=-36.

故选：C

3.设20=5人=屈，则?的值为（）

ab

A.V2B.yC.2D.10

【答案】C

【详解】因为2"=5〃=而，所以。=log?J适力=logs而"，

立二/而+/而=唾而2+唯疝5=唳撩。=2.

故选：c

4.若偶函数/（x）在（-如T]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）

A./[-|^|</（-!）</（2）B./（2）</[-||</（-1）

C./（2）</（-1）</^D./（-1）</[~|]</（2）

【答案】B

【详解】因为歹=/（1）为偶函数，

所以/⑵=/（一2）,

又因为y=/（x）在上是增函数，

所以/（一2）</卜1</（一1），

故〃2）</卜：卜/（-1）.

故选：B

5.已知命题p:a>b>Ot命题q:2">2”,则命题，是命题4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】根据题意由指数函数y=2X的单调性可知p：。>I>0能推出g:2a>23

即充分性成立；

由q:2">2"可推出。>力，不能推出〃：〃>方>0,即必要性不成立；

因此命题P是命题夕的充分不必要条件.

故选：A

6.新考法|荀子《劝学》中说：“不积度步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“所以说学习是日积月

累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%产5看作是每天的“进步”率都是1%,一年

后是1.。产;37.7834；而把（1-1%产看作是每天，退步”率都是1%,一年后是0.9产。0.0255:这样，一年后

的“进步值”是“退步值”的3c近481倍.那么当，进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（）天.

0.99湖

（参考数据：lgl01»2.0043,1g99«1.9956,lg2«0.3010）

A.9B.15C.25D.35

【答案】D

【详解】设经过％天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则（孤）,=2.

,clg2lg2Ig20.30100.3010

所以一孤~t1-01-.101-^101-1^992.0043-1.9956~0.0087

80.99g99

故选:D.

7.函数/(x)=xlnk|的大致图像是()

【答案】A

【详解】易得/(1)的定义域为工工0，

因为/G)=xlnN,所以/(-x)=-xlnH|=-;rlnk|=-/(x),

则f(x)是奇函数，关于原点对称，故C,D错误，

令/仕)=0,解得x=±l,而当xw(O,l)时，/(x)<0,故B错误.

故选：A

8.函数/(x)=lnx+8T的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【详解】由题设/'(x)=L_]=LN且定义域为。y),

XX

当0<x<l时，/'(x)>0,当x>l时，/'(x)〈0,

所以/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故〃x)W/(l)=7,

当Xf0或+8时/(X)--8,故f(x)在定义域上有2个零点.

故选：C

______fcos(27tx-2jia),x<a

9.巧而思惟设aeR,函数/。)={22<、，若函数/(X)在区间(0,”)内恰有6个零点,

尸2毋[x-2(a+\)x+a~+5,x>a

则〃的取值范围是()

A.(2,(U("4B.(^-,2]U(Y>~r]C.(2,(U[匕3)D.(：,2)U[二3)

4244244444

【答案】A

【详解】•.•函数/(x)在区间(o,+8)内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点,

.•.当时，/(x)=0至少有四个根，

令fM-cos(2TLV-2na)=COS[2TT(X-«)]=0,则2兀(x-a)=—+k7t,keZ

72

Alk111

解得：x=^+：+a,xe(0,+oo),.*.0<—iFava,即一2a—<k<—,

242422

当i<a时，/(X)=COS[2TC(X-〃)],

17Q

①若/'(X)有4个零点，此时一54-2〃一：<-4,即

②若/(X)有5个零点，此时一64—2。一；<一5,即

③若/(X)有6个零点，此时6,即?<心.；

当I2q时，j(x)二厂-2(a+l)x++5,

^A=4(67+l)2-4(«2+5)=8«-16=0,解得：a=2,

①若a<2,/(x)没有零点；②若。=2,x=3,f(x)有1个零点;

③若a>2,/(〃)=/-2a(a+l)+/+5=-2。+5,且对称轴x=a+l,

当一2。+520时，BP2<«<|,/(X)有2个零点;

当-2。+5<0时，即/(x)有1个零点

综匕所述，函数/")在区间(0,+句内恰有6个零点需要满足,

r799

-<a-<--<

444

或

J或

55

2<a-<--

22

<

9-/5n■

2

-u--

4JL24

一

故选：A.

第n卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共3()分

10.函数/。)=1平40,当/(x)T=0时,则x的值为.

【答案】e或o

【详解】由/(x)—1二0,则“x)=l,

当工〉0时，/(x)=lnx=l,即1=©；

当时，/(x)=|x-l|=l,即1=0或X=2(舍去).

综上所述，x=e或x=0.

故答案为：e或().

11.设函数/(力二,-2x|-a.2a,其中。>0,若只存在两个整数x,使得/(力<0,则。的取值范围

是.

【答案】(og

【详解】因为〃x)<0即：\x2-2x\<a(x+2),

即7=,一2耳的图像只有两个整数点位于y=4x+2)的卜・方，

只有两个整数x,使得〃力<0,当x=lGJ-：|l2-2xl|=l,

此时y=G(X+2)=3G,令3。=1,解得〃=；,

此时杓两个整数满足/(x)<0

即1=0或x=2,

结合图像可得。的取值范围是卜)、，

故答案为：.

12.若函数/(幻=/+G2—1—9在x=-1处取得极值，则〃2)=

【答案】1

【详解】解：f,(x)=3x2+2ax-\,

因为函数/'(x)=/+a--x-9在X=一1处取得极值，

所以，/(-l)=3-2a-l=0,解得4=1,

此时，f\x)=3.r+2x-l=(3x-l|(x+l),

(n

故当xw-1,-时，/'(x)<(),/(X)单调递减；

当和，,+8卜寸，/(工)>0,/。)单调递增；

所以，函数/(X)在x=-l处取得极小值，满足题意，

所以，/(x)=X*4-x2-x-9

所以/(2)=8+4-2-9=1

故答案为：1

13.已知下列命题：

①命题:MVX€(0,2),3、>1”的否定是：“玉6(0,2),3”/，，；

xx

②若f(x)=2-2~f则PxwR，f(-x)=-f(x)；

③若/(x)=x+^j，则%((0，+8),/(xo)=1;

④等差数列｛/｝的前〃项和为S,，若4=3,则§7=21；

⑤在£45(7中，若A>B,则sinA>sin8.

其中真命题是.(只填写序号)

【答案】①②④⑤

【详解谢于①,全称命题的否定为特称命题，所以命题:“­£(0,2),3，>/，的否定是：“*€(0,2),3'33

故①正确：

对于②，因为/(x)=2'-27,所以〃T)=2T-23所以〃T)=-/(X),故②正确;

对于③，•♦•x°w(0,+8),所以/(与)=%+—1_^=/+1+—1^722(福+)J—L]_1=：,当今当玉,+1="

%+1%+1VI/+11*。+

即&+1)2=1,所以X。二0(舍去)，

所以故③错误；

对于④，等差数列｛〃“｝中，邑=7(%；%)=7%,因为4=3,所以反=21,故④正确：

对于⑤,在电48。中,若力>B,则。>6,所以2Rsin4>2RsinB,所以sin/1>sin8,故⑤正确;

故答案为：①②④⑤

14.设函数/'(x)=x+lnx,g(x)=x+et若存在内户2，使得且(现)=/(%2)，则I芭-的最小值为

【答案】1

【详解】因为g(x)=K+e、，所以g(x)=l+e”>0恒成立,

所以g(x)=x+e，在R上单调递增，

又因为/(x)=x+lnx=eh"+lnx=g(lnx),

且存在EE，使得g(xJ=/(X2)=g(ln%2)，所以斗=加占，

所以归一引呻门超_引，令fj(x)=\nx-x+\(x>0),

则“(x)」-i=kz,

XX

当0<x<l时，/(x)>0,M*)单调递增;

当工>1时,h'(x)<0,A(x)单调递减，

所以川力工川1)=0,所以InxVx_1,即Inx—xNl,当x=l时取等号.

所以|再-=M超一引=卜2-Inx2|=x2-lnx2>1(当/=1时取等号，此时X=0,g($)=/&)=1满足题意),

所以|西-/|的最小值为1.

故答案为：L

15.已知函数/(x)=：2，若〃4+1)-/(加-1)20,则实数。的取值范围是______.

Zx—，x>2

【答案】《<心2

2

【详解】因为当xe(0,2］时，/3二唾2》是单调递增函数，此时/(x)W/(2)=l,

当zc(2,+e)时，/(x)=2x-3是单调递增函数，此时/(%)>/⑵=1,

所以是定义在(o,+8)上的单调递增函数，

所以若/(。+1)-/(2”1)20即/(。+】)之/(2。-1),

则。+122。-1>0,解得』<a«2.

2

故答案为：^<«<2

2

三、解答题：(本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(14分)已知函数/(x)=at-'-(a+l)lnx.

x

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)在(0』内的最大值为2,求”的值；

(3)若/(力之工-！，求a的取值范闱.

e+1।

【答案】(1)答案见解析(2)〃=c；(3)—r,+8.

Le-1)

【详解】(1)求导得/，(x)=4+1一卓=("一?5'7)->0),

当a«0时，ax-1<0,则/(x)>0,得0vx<l,f(x)<0,得x>l,

所以/(x)在(0』)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；

当”>0时，令/(X)=0,解得X=1或L

a

当0<4<1时，1<—,则/'(工)>0,得0vx<l或x>—,f(x)<0,得

aaa

在(OJ)和(L+3)上单调递增;

内单调递减,

当“=1时，1=5，/(x)>0,则F(x)在区间(0,+8)上单调递增;

当4>1时，1>L则/(X)>。，得0<X<—或X>1,f(x)<0>^―<x<1,

aaa

综上，a«0时，/(力在(0,1)上单调递增，在(1,+动上单调递减;

0<〃<1时，〃可在03)内单调递减，在(0,1)和(，+3)上单调递增;

。=1时，/(力在区间(0,+8)上单调递增；

Q>1时，/(X)在区间(一1)内单调递减，在(og)和(1,+8)上单调递地.(5分)

(2)由(1)知，当时，/(x)在(0』内单调递增,

则/("max=/⑴=。-1=2，解得〃=3与〃VI矛盾;

当4>1时，/(力在(0,1上单调递增，在上单调递减,

所以/(r)gx=/(：)=l_a_(a+l)ln：=2,

即a—(a+l)lna+l=0,

☆g(x)=x_(x+l)lnx+l(x〉l),则g'(x)=-hw_，<0,

则g(x)在(1,y)上单调递减，

Xg(e)=e-(e+l)lne+l=0,故《=。；

综二，。二e.(10分)

(3)由/(x)2x—可得ax---(a+1)IRV>x—,

XXX

gp<7(x-lm)>x+lav,

令Mx)=x-lnx,则1(x)=l=―,

则〃(x)>0得x>l；〃'(x)<0得0<x<l,

则h(x)在(0』)上单调递减，在(1,+功上单调递增,

则力(x"〃(l)=l>0,则"Tnx>0,

、x+lru,./xx+lnr

故一「，令A(x)=——

x-Ilirx-ln.r

2(l-ln.v)

则上'(x)=令l(x)=o,解得x=e,

(x-lav)2

则当0<x<c时，A(x)>(),当1>«时・，k\x)<0,

则MM在(0,e)上单调递增，在(c,+8)上单调递减,

则M')max="(e)=言，所以。2言，

故”的取值范围为I"二,+3).(14分)

Lc-1)

17.(15分)己知函数/(》)=仆2T,其中awR,。了0.

⑴若/(1)=-2,求：实数。的值；

⑵若。=1时，求不等式/(可/1的解集：

(3)求不等式/(x)>3的解集；

【答案】(1)-1(2)[-夜,夜卜3)答案见解析

【详解】(1)由/(1)=。-1=—2,则。=一1.(3分)

(2)当a=l时，/(x)=x2-l,

由则解得一及

所以不等式/(X)W1的解集为卜、2亚].(8分)

(3)由/(x)>3,贝11加-1>3，即尔>4.

当”>0时，x2>~,解得了<—辿或工>也；

aaa

当。<0时，av2<0,不等式无解.

当”0时，不等式/(x)>3的解集为。.(15分)

18.(15分)已知函数/(1)=。"+讹-'一；5+1).—+(0-1)》一(4+1),其中aeR.

(1)当〃=0时，求曲线丁二/(外在x=T处的切线方程；

⑵当。=1时，证明对于任意的实数x,总有〃x)20；

⑶若x=0是/(x)的极值点，求。的值.

121

【答案】(1)»=-工+—一：7(2)证明见解析(3)a=l

ee2

【详解】(1)当。=0时，f(x)=ex-^x2-x-\,f\x)=ex-x-\,

则r(-i)=L

e2e

门131121

所以曲线》=/(》)在x=—l处的切线方程为，——-=-(X+l),^y=-x+—-.(4分)

ke2Jeee2

(2)当。=1时，/(幻=6*+67-/-2,

则/(X)=e*—e-*-2x,令g(x)=ev-『-2x,

则g'(x)=e'+e-x-2>Rey-2=0，当且仅当x=0时等号成立.

所以/'*)在R上单调递增.

Xr(o)=o,所以当x<o时，/'G)vo；当x>o时，rw>0.

所以/(X)在(F,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

所以〃x)N/(0)=0.(9分)

(3)f\x)=ev-aQ~x~(a+l)x+(a-1),则/'(0)=0.

当时,可证e、2x+l恒成立，

令9(x)=e，-x-1,则”(x)=cv-l,

当1<0时，(x)<0,函数8(x)=e'-X-1在(一8,0)上单调递减，

当1>0时，(p(x)>0,函数0(x)=e"-x-1在(0,+<»)上单调递增，

所以e(x)之夕(0),所以所以e'Nx+1，当且仅当x=0时取到等号，

所以er>-x+1»-ae~x>ax-a>

所以/'(工)之工+1+0¥—。一(。+1)工+(。-1)=0.

可得/(x)在R上单调递增，与题意矛盾，舍去;

当G>0时，令h(x)=ev-4尸-(q+l)x+(q-1),

则r(x)=ex+aex-(tz+1),且似0)=0.

令°(x)=e'+aex一5+1),贝ij(p\x)=e'-aex.

显然，e(x)在R上单调递增.

令°’(x)=cr-ac~x=0,解得x=gIna.

①当“w(O,l)时，；lna<0,

可得当xe(glna,+8)时，(p(x)>0,故"(x)在(；lna,+oo上单调递增.

又/⑼=0,

(1A

故当xw-lna,0时，/f(0)<0,

(2)

当Z€(0,+oo)时，/?*(x)>0.

所以r(x)在上单调递减，在(0,一)卜.单调递增.

又/'(0)=0,所以当xc(glna,+o))时,f\x)>0,〃x)在(加收)上单调递增，故x=0不是极值点,

不合题意;

②当aw(1,+8)时，-In«>0,

2

可得当xe(-8,glna)时，*(x)<0,

故人’(月在卜8,；1114上单调递减.

又伍0)=0,故当xc(-oo,0)时，Z/(x)>0,

当ze0,ginq)时，h\x)<0.

所以/'(x)在(-8,())上单调递增，在(o,fna)上单调递减.

又八0)=0,所以当xd一叫gina)时，/(x)<0,

人工)在上单调递减，故x=0不是极值点，不合题意;

③当a=l时，—\na=0,

可得当xe(-8,0)时，/(x)<0,

当1e(0,+oo)时，<p[x)>0.

所以方(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

又/(0)=0,所以力(x)20,则八外在R上单调递增.

又八0)=0,所以当xw(-8,0)时，/V)<0,

当X€(0,+oo)时，/V)>o.

所以/(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

所以x=0是"X)的一个极小值点，满足题意.

综上，当且仅当。=1时，x=0是/(X)的极值点.(15分)

3I

19.(15分)已知函数/(x)=2f一心+10,g(x)=x2-x+—,(awR)

(1)当。=1时，求/(2)的值；

(2)若对任意xeR,都有〃x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；

⑶若依e(O,2),3x2e[0,l],使得不等式/(xj〉g(w)成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)16；(2)-2<。<4；(3)“<2

【详解】(1)由题设/(X)=2/7+H),则/(2)=2X22—2+10=16；(2分)

(2)由题设2——4丫+10>/一工+£11恒成立，即/+。一。m+o二>。恒成立,

44

9

所以，只需A=(l-〃)2-4xlx—=/一2。-8=(4+2)(。一4)＜0,可得一2＜。＜4；(6分)

4

⑶由题设，在”(0,2),X2e[0,l],有/(xJmi/gHL成立，

'g(X)=2-X+YX-^)2+y♦xw[o,l]，易知g(x)min=gg)=£，

对于/3=2/“+10=2(工-髀10-3xe(0,2),

当;40,aWO时，/(x)>/(0)=10,显然IO〉],满足；

42

221c

当0<二<2,0<。<8时，f(x)>/,(-)=10-—,只需可得0<a<2石；

44882

当―2,。之8时，〃x)"⑵=18—2%只需18-2心与，无解：

42

综上，。<2石.(15分)

20.(16分)已知函数/(x)=x2-l+aln(l+x),

(1)若曲线y=/(x)在点(0,-1)处的切线与直线3x-2y+l=0垂直，求实数〃的值；

(2)当。=-4时，讨论函数单调性

(3)当a=2时，若对任意xc(-l,+g),不等式/(x)+x+2W加Fl助恒成立，求6的最小值:

(4)若/(x)存在两个不同的极值点且/(*)<〃/，求实数加取值范围.

【答案】(1)—(2)在区间(1,+功上单调递增，在区间(T1)上单调递减⑶+

3eI2

【详解】(1)由/(x)=/—l+a】n(l+x)得：f(x)=2x+-^-i

则「⑼=〃，又由直线3x-2y+1=。的斜率为|,

根据题意可知：!3t7=-l=>a=-21；(4分)

2

(2)由(1)可知/(x)=2x+,-4=?r+?r-4(、>一1)，

l+x1+X

令r(x)>。，得工>1,故函数/(x)在区间(1,也)匕单调递增，

令r(x)<0,得-lev,故函数/(X)在区间(-1,1)上单调递减，

综二，函数/(X)在区间(1,+8)上单调递增，在区间上单调递减；(9分)

(3)当。=2时，不等式可化为.一-1+2111(1+.1)+工+2(加，+1118，

变形为X?+2x+l+21n(l+x)(加+ln/?+x<=>(x+「+Ir(1+》？<b^b®

同构函数g(/)=/+lnf,求导得g《)=l+；>0,

所以g(f)=/+ln/在(0,+e)上是增函数，而原不等式可化为g