2026年高考数学二轮复习：函数与导数（高频考点）（天津）解析版

专题05函数与导数

内容概览

01命题探源•考向解密（分析近3年高考考向与命题特征）

02根基夯实•知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）

03高频考点•妙法指津（4大命题点+6道高考预测题，高考必考•（26-31）分）

考点一函数的基本性质

命趣点1利用函数的奇偶性及周期性的应用

命题点2函数4大性质的综合应用

高考预测题*3道

考点二导数综合问题

命题点1用端点效应（必要性探索）的解题技巧

命趣点2拉格朗日中值定理的解题技巧

高考预测题*3道

04好题速递•分层闯关（精选15道最新名校模拟试题+10道高考闯关题）

考点考向命题特征

函数的基本性质主要包括1.基础题：送分稳，定位明确

单调性、奇偶性、周期性、选择、填空题前半部分常单独考查单一性质，如奇偶性判断、

函数的基本性对称性，是天津高考数学的单调区间求解，题干简洁，方法直接，侧重对概念的理解。

质高频基础考点，常与函数图2.中档题：综合强，交叉命题

（3年3考）像、导数、不等式等内容综多将2-3种性质结合，如“奇偶性+单调性+不等式”“周

合考查。期性+对称性+函数求值”，需灵活转化条件，侧重逻辑推

理能力。

3.难题：深融合，拔高区分

解答题中常与导数、零点问题、不等式证明结合，以单调性为

工具求解最值或参数范围，对性质的灵活应用要求高，是拉开

分差的关键。

导致综合问题单调性与极值/最值，切线1.分层设题，梯度明显

（3年3考）问题，与数列/三角函数综解答题通常分2-3问，第1问多为求切线方程、单调区间或极

合，不等式证明，零点问题值，属于基础送分题；第2-3问难度陡增，融合不等式证明、

零点分析、参数讨论，区分度极强。

2.侧重含参讨论，强调逻辑严谨性

题干多含未知参数（如a,b）,需根据参数取值范围分类讨论

函数单调性，避免遗漏特殊情况（如导数为0的点是否在定义

域内），对逻辑推理能力要求高。

3.注重构造思想，突出方法迁移

压轴问常需构造辅助函数转化问题，如将不等式证明转化为函

数最值问题，将零点问题转化为两个函数图像交点问题，考查

知识的灵活应用。

4.结合实际背景，考查建模能力

近3年1次以实际生活中的成本、利润为背景命题，要求先建

立函数模型，再用导数求解最值，体现数学的应用价值。

扣钠裳合

【函数的基本性质常用结论】

1.奇偶性的运算

/（/）g（N）y（x）+g（x）/(x)-g(x)/（外/力/［《）］

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函教奇函教

2.与指数函数相关的奇函数和偶函数

/（工）=优+。一、，（。＞0,且awl）为偶函数,

f(x)=ax-a-x,(。>0,且〃为奇函数

.、6,'-1、QX4-1

/r⑶二/石和r/⑴二口（。＞（）,且为其定义域上的奇函数

22

=1一一--和/（幻=1+—=，（«＞（）,且。工1）为其定义域上的奇函数

a+1a-1

f（x）=a同为偶函数

3.与对数函数相关的奇函数和偶函数

/(x)=log^(\/\+b2x2±bx)»fa>0且awl)为奇函数,

h+ex

f(x)=loga—=—,(a>0且awl)为奇函数

b^.cx

①若/(x+a)=/(x),则f(x)的周期为:。二时

②若/(x+a)=/(x+〃)，则/(I)的周期为：T=\a-l\

③若/(x+a)=-/G),则/(x)的周期为：T=\2a\(周期扩倍问题)

④若f(x+o)=土一、，则f(x)的周期为：T=\2a\(周期扩倍问题)

/W

⑤""卜匚垢，周期为3|叽/(“+〃)"一号"p周期为3同

/、1+f(x)一/、1-f(x)../、1+f(x+a\

⑥f(x+〃)=丁7],周期为4时/"+。)=7/，周期为2同；仆+2加；卜)，周期为5同;

/(-v)=/(A-+a)+/(x-«),周期为6时

⑦复合函数：g(x)的周期为丁，则/|>(切的周期也为丁

⑧若〃x)+g(力的周期为T，则/(X)、g(x)的周期均为7

轴对称

①若/(x+a)=f(-x),则/(x)的对称轴为x=~

②若/(x+a)=/(—x+〃)，则/(%)的对称轴为工=审

点对称

①若/(x+〃)=—/(—x),则/(人)的对称中心为0、

②若/(x+〃)+/(—x+6)=c,则/(x)的对称中心为(审，£

1.周期性对称性综合问题

①若/(Q+X)=/(Q-X),f(b+x)=f(b-x),其中则/(x)的周期为：T=2\a-l^

f[a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中。工b,则/(x)的周期为：

r=2|i

③若/(4+x)=/(4-x),f(b+x)=-f(b-x),其中则/(x)的周期为:

T=^a-b\

2.奇偶性对称性综合问题

①已知/(x)为偶函数，f(x+a)为奇函数，则/(x)的周期为：7=4|4

②已知/(X)为奇函数，/(『I4)为偶函数，则/(%)的周期为：7=4|4

【导数综合问题常用结论】

端点效应的类型

1.如果函数/(幻在区间勿上,/(x)20恒成立，则/(〃)之。或/(/?)>0.

2.如果函数f(X)在区问［出例上>0恒成立，且/(a)=0(或f(b)=0),则f'(a)>0(或/(份W0).

3.如果函数/(x)在区间［a.b］上，/*)N0恒成立，且f(a)=0J⑷=0(或f(b)=0tf1(b)<0)则

f\a)>0(或r®《0).

1.拉格朗日(Lagrange)中值定理

若函数/CO满足如下条件：

(l)/(x)在闭区间［。，加上连续；

(2)/U)在开区间(小b)内可导.

则在(a,b)内至少存在一点3使得/'管)=

b-a

2.拉格朗日中值定理的几何意义

如图所示，在满足定理条件的曲线)，=/("上至少存在一点P(蜃/G))，该曲线在该点处的切线平行

于曲线两端的连线.

图3.1

3.需要注意的地方（逆命题不成立）

拉格朗日中值定理没有逆定理，即对曲线的任一切线,并不一定存在割线，使割线斜率等于

切线斜率,如/'（%）=/在％=0处的切线斜率为0,但/•（%）不存在割线使割线斜率等于0

4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式

f（a+h）-f（a）=f,（a+0h）h（O<0<\）.

注：拉格朗日公式无论对于。<匕还是都成立，而C则是介于a与人之间的某一常数.显然，当OvOvl

时、a<a+O(b-a)<b.

[7天领考点掰

考点一函数的基本性质

《解题指南》

解题步骤与技巧：1.解题优先判断奇偶性，简化函数解析式后，再结合单调性/周期性求解值域、不等式2.抽

象函数可构造具体函数辅助分析（如奇函数设f（x）=x,偶函数设f（x）=x2）。3.含参问题先分析参数对性质

的影响，分类讨论做到“不重不漏”。

易错提醒：定义域优先原则忽略用导数求单调区间时，未考虑函数定义域（如对数函数、分式函数），导

致区间范围错误所有性质分析前，第一步先写定义域，后续步骤均在定义域内进行

奇偶性判断漏定义域验直接计算，忽略定义域不关于原点对称的情况（如误判为偶函数）牢记“定义域

关于原点对称是奇偶性的必要条件”，先验证再判断

抽象函数赋值不当解抽象函数问题时，赋值无逻辑（如不会赋值求）抽象函数赋值优先，结合已知条件

变形，含参函数单调性讨论漏根讨论的根时，忽略根是否在定义域内（如，导数零点，未讨论的情况）

先求导数零点，再按“零点是否在定义域内”“零点大小关系”分类，画数轴辅助分析

周期性与对称性混涪把对称轴、对称中心和周期的关系记混（如误将当作周期条件）牢记：等式两边符

号相同为周期，相反为对称，整理成标准形式再判断

更合函数单调性“同增异减”用错内外层函数定义域分析错误（如，误将内层的增区间当作整体增区间）

先求复合函数定义域，再拆分内外层，分别判断单调性，最后结合“同增异减”；

工命题点01利用函数的奇偶性及周期性的应用

【典例01]（2025•天津河北•模拟预测）已知函数）、=/（»是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函

数的是（）

A.y=/(H)B.y=./'('一)

C.y=xD.y=/(x)+x

【答案】D

【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论.

【详解】因为/(x)的定义域为R，又因为/(l-xl)=/(bl),叶以y=/(l'l)是偶函数，不符合题意;

令F("=/(f),则/==所以尸(X)是偶函数，不符合题意；

令M(x)=x・/(x),则M(r)=-x./(-x)=r/(x)=M(x),所以M(x)是偶函数，不符合题意;

令N(x)=/(x)+x,则N(-x)=/(r)7=­/(x)7=-[/(x)+x]=-N(x),所以N(x)是奇函数，符合

题意.

故选：D.

【典例02](2025.天津武清•模拉预测)已知函数/⑴=3叫g(x)=sinx,某函数的部分图缭如图所示,

B.y"(同一g(x)

Dy=^-

c.y=/(x)g(x)

­

【答案】C

【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断.

【详解】对于A,令A(x)=/(x)+g(x)=3田+sinx,由h(-x)=3^-sinx,则〃(T)*h(x),h(-x)工-h(x),

所以y=f(x)+g(x)是非奇非偶函数,由图象不符，故A错误;

对干B,令°(x)=/(x)—g(x)=3H-sinx,由°(一力=3W+sin.r,则。(一x)工O(x),(p(-x)-(p(x),

所以y=〃x)-g(x)是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误;

<g(x)sinx,sin2

对FD,3,=-y=当x=2时，y=----G(0,1)，与图象不符，排除D,故C正确.

9

故选：C.

&命题点02函数4大性质的综合应用

，a=/(*ogW，b=-/^Iogg)，

【典例01](2025•天津武清・模拟预测)已知定义在R上的函数/(x)=x•e33

c=/(ln3),则a,b,c的大小关系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简。=/(1。殳2),再结合函数的单调性，即可求解.

【详解】/(x)=x•阴，定义域为R,关于原点对称，

JLf(-x)=-r-e1-11=-x-e|r|=-f(.r),所以函数/("=天-阴为奇函数,

所以。=-/1吗；=/(-1吗；)=/0吗2),

X乙)\乙)

又f(x)=xe\x>。.

任取大,为w(0,+oo),且0<玉<X2，W'J0<ev,<eA2,则/(与)</(毛)，

故f(力在(。，+功上单调递增,

又由对数函数的单调性可得kg2<log,V5<l<ln3,

所以/(log32)v/(log3>/5)</(ln3),即

故选：D

【典例02】(2025•天津和平•三模)定义域为R的函数“力满足〃x+4)=2/(x),当工4。/)时,

/(x)=M,若8,-4)时，/(力之?『!一_1,则实数”的取值范围是()

6)”24)"

A.(F-2]U(°，2]B.[-2,2]

C.[-2,0)U(0,2]D.[-2,0)U[2,-KX))

【答案】A

【分析】结合题意求出函数/(x)在区间卜8,-4)上的最小值，根据题意得出了3n同之2r1—,，解该不等

式即可得解.

【详解】当工£卜&-4)时，/(%”中—、恒成立，则/⑸一,

因为定义域为R的函数/")满足/(X+4)=2/(X),

—XI2*4-X,AG[0,2)

当了e[0,4)时，/(1)=,,n|x.3),

七)”[2,4)

当上e[-8,—6)时，x+8e[0,2),

则f(x)=：/(x+4)=；/(x+8)=；x1(x+8)--(x+8)=g(x+8f—；(x+8)

="+8)2_2(工+8)+1[十如+7)2一1,

因为-1WX+7<1,此时-7)二-：；

o

当.re[-6,T)时，X+8G[2,4),

,I、「门、HT1I门w+q

则，3=5/(1+4)=7/(工+8)=丁।七J，

I(ii

因为—l<x+5vl,则OW|x+5区1,则¥心)-1,所以〃x)2/(—5)=—：,

所以，函数/(x)在卜8T)上的最小值为/3好=〃-5)=-；，

所以，—--<f(x).L<0,即解得〃[£-2或0<，〃W2.

4m'，m,n44m4m

因此，实数”的取值范围是(-8,-2]。(0,2].

故选:A.

3占高考预测题

1.已知函数/(力是奇函数，函数8(4)是偶函数，/(x)+g(x)=ln(e'+l),则函数/(力的解析式为；

若函数〃(月=16小)-2”4«)+3图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数机的取值范围为.

【答案】/(司=5⑵也)

【分析】根据题意，利用函数的奇偶性可得-/W+g(6=ln(e-'+l),结合已知等式即可求得/(力的解析

式；“(X)的图象上存在不同的两个点关于原点对称转化为〃(T)=-”(x)有非零解，换元令/=2，+2-"

求出f的范围，代入整理得〃?=：+£,结合I的范围以及函数的中.调性即可求〃，的取值范围.

【详解】由题意知函数〃力是奇函数，函数g")是偶函数，/(1)+月(刈=加(。心1),

故f(一"+g(r)=In(e。+1),即得一/(x)+g(x)=ln(ev4-l),

x

则2〃x)=ln(eX+I)-ln(eT+l),即得/(X)=lin-^±l=llne=-,

2e+122

即函数f(x)的解析式为/(Y)=(

则函数〃(x)=16鼻-2〃?•4鼻+3=4“-〃?•2加+3，

由题意函数"(x)=16"、)-2帆・4仆)+3图象上存在不同的两个点关于原点对称，

即存在点(K"(X))关于原点的时称点(-乂-〃(幻)也在H*)图象上，

即H(-x)=-HM存在非零解，即得4T-7H-2-x7+3=-(4J〃z2m+3)存在非零解，

整理得(4'+4-x)-2m(2x+2-*)+6=0,

设，=2'+2一％则2'+2f之22*=2，当且仅当工=0时等号成立，

由于X。。，可得1>2,

由『=(2，+2T尸=4、+4一+2得4'+47=/一2，

代入(4、4一)-2m(T+2r)+6=0得产一2lnt+4=0,即而=；+：,

f2>729

由于f>2,y=；+*在(2,口)上单调递增，可得;+£>:+：=2,即得,〃>2,

'2/''2z22

故答案为：(2,+8).

2.已知函数丁=优(，>0且〃工1)的反函数/(力图象经过(27,3),则/(”=；若/(〃苏7)在［3,4］上

单调递增，则，〃的取值范围是.

【答案】〃x)=k)g/

【分析】由函数反函数的定义求解，将点代入即可；通过更合函数同增异减且定义域大于零求解即可二

【详解】函数)，=优(。>0且〃=1)的反函数/("=1%/经过点(27,3),得到1%27=3,解得a=3,故反

函数〃X)=10g3%；

令g(x)=,则f(g(x))=1唱(g3)在［3,4］上单调递增,

需满足&(%)在［3,4］上单调递增，且鼠”)>0,

由〃*2-x>0，因为xe［3,4］,所以侬>1,

所以〃所以〃?>!，

x3

g(，r)的对称轴为，一，所以，一43,即与如K0,所以(1一6间(2〃?)<0且加工0,

2ni2m2m

解得zn>-»£tn<0,

6

综上加的取值范围是(提+8)

故答案为：/(x)=log3x；(：，+8

3.已知函数〃月=岛-丁+2,则不等式/(/)+〃4-5)<6的解集为()

A.(—5,1)B.l)U(5,+co)

C.(-1,5)D.(-<x>,-5)D(1,+8)

【答案】D

【分析】将函数/3)变形为/(幻=炉-丁+3,设g(x)=U—J,从而得出g。)为奇函数，进而得到

3+13+1

/(-x)=6-/(x),由/(『)+/(4/-5)<6可得/(/)</(5-4/),然后分析出/*)的单调性，得出答案.

【详解】/(x)=---X3+2=---1-洋+3="一二3+3=上三-Y+3,

八73,十13、十13r+l3x+\

设8。)=^7一d，xwR，

3+1

1_2r鼻T_1

因为g(-x)=-----(-A-)3=+x3=-g(x)，所以g(x)为奇函数，

3+13+1

则f(T)+fW=g(T)+3+g(x)+3=6.即f(-x)=6-f(x),

又y=$，y=-r在R上均为减函数，所以/(x)在R上为减函数，

由f(r)+/'(4，-5)<6得/(『)<6-/(射―5)=/(5-4/),

即f(5)<.f(5—4。，

所以户>5-4，，解得fv-5或/>1.

故选：D.

考点二导数综合问题

《解题指南》

解题步骤与技巧：1.切线问题

核心步骤

1.区分“在点P(xo,f(xo))处切线”与“过点P的切线”：

在点处切线：直接求导f(XO),斜率k=f(xo),用点斜式写方程。

过点切线：设切点Q(xi,f(xi)),斜率k=f(xi),切线方程为y・f(xi)=f(xi)(x・xi),代入点P坐标解方程求xi。

2.验证切线斜率存在性(在x=0处切线斜率不存在)。

解题技巧

切线过某点但该点不是切点时，设切点是关键，避免漏解。

两曲线相切时，切点处函数值相等、导数值相等，联立方程求解参数。

2.单调性与极值、最值问题

核心步骤

1.求函数f(x)的定义域(优先步骤，避免后续区间错误)。

2.求导f(x),化简并因式分解(便于找导数零点)。

3.求f(x)=O的根，判断根是否在定义域内。

4.含参函数分类讨论：根据导数零点的个数、零点大小关系、零点是否在定义域内划分参数范围。

5.列表分析f(x)符号变化，确定单调区间、极值点；闭区间最值需比较极值和区间端点函数值。

不等式证明与恒成立问题

核心步骤

1.不等式证明：

构造辅助函数g(X)=f(X)-h(X),将证明f(X)>h(X)转化为证g(x)minX)。

求式X),分析g(x)单调性、极值，确定最小值；若最小值不易直接求，可二次求导分析g'(x)的单调性。

2.恒成立求参数范围：

分离参数法：将参数a与变量x分离，转化为a》f(x)max或a《F(x)mm(优先用，避免分类讨论)。

分类讨论法；无法分离参数时，直接分析f(x)单调性，求最值建立参数不等式。

函数零点问题：核心步骤

1.转化思想：将零点个数转化为f(x)=O的根的个数，或两个函数y=f(x)与y=g(x)图像交点个数。

2.求导分析f(x)单调性、极值、最值、渐近线，画出函数大致图像。

3.结合图像特征，建立极值与0的大小关系，求解参数范围。

%命题点01用端点效应(必要性探索)的解题技巧

【典例01](2025•天津•二模)己知函数/(x)=eX-a+e\zR.

⑴若曲线y=在x=i处的切线斜率为o,求实数/的值；

(2)若，=1,对VxeR,不等式/(X)-e2zar+b恒成立(〃力均为实数)，求3+1地的最大值；

⑶实数/满足对任意的/>/，函数/(©总有两个不同的零点%,毛(毛>%),证明：雪％+《.

2e~t

【答案】(l*=e

(2亭

(3)证明见解析

【分析】(1)由八l)=eT=0易得；

(2)［方法一］当£=1时，设/仆)=。丫-3+1)公/九分类讨论得出。+1>0时，

22

/z(A)inin=(«+l)-(«+l)ln(«+l)-Z?>0,即〃工(。+1)—(a+l)ln(a+l),(«+1)/?<(«+1)-(d+l)ln(a+l),

^^(x)=x2-x2lnx(x>0),求导推得°(x)a=从而求得(〃+l)力的最大值；［方法二］前分析

相同,推得当。+1>0”>0时，e'之(。+l)x+力在(0,+8)上恒成立，利用(〃+l)x+Z?22A/(•+1)/?•«得到

(a+恒次恒成立，令〃?(工)=寸，求导得到小(小，〃工|=：,再说明逅时等号成立即得.

4x4x〈2)22

(3)［方法一］通过函数的零点情况推得王<生，从而将待证不等式等价转化为型+笑(w>5),

2

tx2ze-

即］nx-£W-］n2>0在x>5时恒成立，利用求导即可得证；［方法二］利用/")=e'Tx+e?有2个不同零

2eT

点小七，推得为<皿/<々，接着将待证不等式等价转化为(翳缶)，因内(至，转化为士>lnahu),

即需证/(ln”ln/))<0从而得证；［方法三］由〃x)=〃w)=0,得到，9+e2=、将待证不等式转化为

翳(炉+1)'即需证工2>1"+­，即证/,/+?)</仇)=0从而得证.

【详解】(1)因f(x)=e，T,则r(l)=eT=0,解得f=e.

(2)［方法一］当”1时，不等式可化为e*-(a+l)x-b20恒成立,

不妨设//(x)=eA-(a+1)%-/?,则〃(x)=e"-(a+1),

当〃+1<0,即av-1时,〃'。)=/一(4+1)>0,则〃*)在R上单调递增，

此时当XT7O时，心)->9,与/心:注。矛盾，不合题意；

当4+1=0时，则(。+1)〃=0；

当〃+1>0时，由/?(x)=e*-(a+l)=0,解得x=ln(a+l),

丁是当xe(ln(a+l),+°°)时，〃(x)>0,当xe(-oo,ln(a+1))时，h\x)<0,

所以/?(处在(ln(a+l),”)上单调递增，在(Yo,ln(a+1))上单调递减

故力(4)疝n=力(ln(a+1))=(a+1)-3+1)ln(〃+l)-Z?>0,

即3K(a+1)-(a+1)ln(a+1),

由干a+l>0,故(a+l)bS(a+l)2—(a+l)21n(a+l),

于是，令。(X)=x，-/Inx(x>0),

则<9(A)=x(l-21nx)(x>0),

当xe(0,6)时,(p\x)>0,则(p(x)在(0,6)上单调递增；

当“e(五,+8)时，(p\x)<0,则(p(x)在(忘xo)上单调递减

所以，以口皿=。(&)=］，

此时〃=1,b<>/e(l-In>/e)=—,

2

因此，当。=册一l,b=当时,(。+1)〃的最大值为］.

［方法二］依题意，可得。'-(。+1口-方20恒成立，

设9(x)=eJ(q+l)x-〃，则8(x)=e'-(a+1),

当a+lvO时，w(x)>0,则奴幻在R上单调递增，

又—叭所以存在x,使得8*)<0,所以a+lvO不符题意;

当a+l=O时，要使p(x)-e'-820恒成立，则〃WO,所以(〃+1)占=0；

当〃+1>0且b>0时，e'N(a+l»+人在(0,”)上恒成立，

又因(a+1)x+b>2yj(a+\)b•\［x,

故可转化为e'>2历丽•G恒成立，即(a+K匚恒成立，

4x

令IH(x)=—,则加。)=e"(2：T),

4x4x

但HW(og)时，m\x)<0,皿X)在(0,g)上单调递减，

当xe(J,+oo)时，加(x)>0,"")在(；,+co)上单调递增，

所以,

(a+l)x=b

(〃+1上=：时取得等号，即当"五_1口=逅时，(a+\)h<^

当且仅当《

—22

1

x=—

2

即(4+1)〃的最大值为^,

即当〃=6=逅时，对任意％e(0，xo)满足er-(«+l)x-后0恒成立,

2

所以当〃=人-1/=逅时，对任意xe(—8,0］,e，-(a+l)x—〃20恒成立，

2

P

当〃+1>0且力<()时，m+i)〃<o<一,

2

所以(4+\)b的最大值为y.

(3)［方法一］f(x)=e"-戊+「有2个不同零点，则e'+e2=a，因，〉e4,

故函数的零点一定为正数.

由干函数有2个不同零点，工>%>0,

eX|+e2e的+(?

t=------=------->e,

x2

/、e*+e2，/、e*(x-l)-e2

设g(x)=------,g(x)=—―—

XX

记g)=e«-l)-e2,易知力(幻定义域上单调递增,又〃(2)=0,

所以当xw(0,2)时，h(x)<0,g(r)<0；当xe(2,+x)时，〃(x)>0,g<x)>0

即以x)在(0,2)单调递减，(2,+8)单调递增,

弩:<e，知.>5,

故％v2vw，又由

2e2

则/=-----<----=内<,

内X-------------i

行.丁rlnre21十tint2e2e2,e2

要注尤2>~~~Xjd----9八需X2>~""7--------1----=In/H,

e叼+e22cqM

因仁------<—且关于，的函数g⑺=h"+J在ce，上单调递增,

则g(f)<g1"

所以只需证%>1n——+2e：(W>9»

2eb

只需证Ine'--In--------->0,

2

x22e

2

只甯证Inx-£-*一In2>0在x>5时恒成立，

2ex

•.♦—<4,只需证h［x}=Inx一一In2在x>5时为正，

2e

由于力'(x)=_L+4xeT-4e-x=j_+“T(x—i)>o,故函数〃(幻在(5,+oo)上单调递增,

XX

?05">04x

又力(5)=ln5---ln2=ln——>0,故Mx)=lnx--------ln2在x>5时为正，

er2erer

从而题中的不等式得证.

［方法二］/(x)=e'-戊+e?有2个不同零点X,当，

菁<々，由/(x)=e"T得不<ln/<%2(其中lnz>4)

且f(七)=/一戊|+e2=OJ())=e*一.+e?=0.

要证七>翳X+?，只需证应-©2>登“，

印证e">与?/X),只需证x2>In"i)

又f(手)=e^-e2<0,所以王<斗，即最<1

所以只需证为>ln(〃nf),而ln»4,

所以find,又ln(〃nf)>lnf,只需证/(In(/ln。)<。

所以f(ln(/In/))=/In/-/ln(zInr)+e2=-/ln(ln/)+c2<-c4ln4+c2<0,

原命题得证.

［方法三］若f>e4,

同法二知/(x)有两个零点%,工2(%<々)且。<玉vln/vM

又f(2)=2e2-2r<0,故进一步有()<%<2<lnz〈W

X22

由"%)=/(毛)=。可得e"+e?=txxH.e=/x2-e,

11一rlnte2tlot..thit(\

HUXy>—"K+—<=>tx?-e-2>——Lx］<=>e•>——(ev1+e2-),

2et2e2e

因为。<g<2,所以'+：<］,只需证e*>/ln/o/x,-e?>/ln/ox,>ln/+J

2e-t

又因为了（幻在区间伟"+oo）内单调递增,

7

故只需证flnf+亍</(x2)=0,即/e-ln/<0,

注意/>/时有eY〈e<4vlnL故不等式成立

【典例02］（2025•天津和平•二模）已知函数/（彳）=2心2+ln（〃iv+〃）-2〃1（机，〃wR,〃?>0）.

⑴若函数/（%）的两个极值点为。与《，求加，〃的值及函数/（力的单调区间;

⑵若〃=；•

（i）求证：当〃好（05时，函数"X）在区间/+8）上单调递增；

（ii）对总玉［闫1,2］,使得/仇）〉,；-济］成立，求实数％的取值范围.

【答案】（1）机=1,〃=:；/（"的单调递增区间为，；，（）］,（；，+力，单调递减区间为（（），；

421

⑵（i）证明见解析；（ii）Ae-In-,+oo

JJ/

【分析】⑴求导，根据r⑼=r（；）=o得到方程组，求出机=1,〃弓，验证后满足要求，并求出

的单调区间;

,2m2-1

4/rzxx------------

（2）（i）求导，整体得到，〃、____2m,当，〃40,1］时，所以当〃蚱（0』时,

x

f（）2/nv+i

导函数大于等于0,故外“在区间g，Ko）上单调递增;

（ii）由（i）知，最大值为/（2）=ln（2〃i+；）+4—4/”,转化为1«2m+；）+4-4〃?一/1（一机］>0对任

<1AoR8

意用e-J恒成立，构造函数，求导，得到函数单调性，分/two,0<2^-,四种情况,

-42、（门、

求出—In-,+oo时，对\\,总训€0,2］,使得■一"|成立.

3'）>14/

/'⑼=0tn=1

由已知有“'（；卜0

【详解】(1)/'(x)=4/a+—―---2m,解得1.

nix+nn=—

2

当加=1,〃=g时，/(x)=x2+In+2j—,

令R+(>0,解得x>-g,定义域为(一g,+8)

〜\c1c4x2-2x.

/⑴一r万工r，令r(H=o得或o,

X+22

令((x)>0,解得一;<x<0或x>；,令/(力<0,解得0<x<；,

所以X=0与X=g是函数/(X)的两个极值点，所以〃7=1,〃=:，

24

/(X)的单调递增区间为(-10),(摄+8),单调递减区间为(0,£|：

⑵⑴证明…;，代入小)，有八"=2'+不一2个

2m2

整理得.\_4/♦-4〃八+2X_2%[2〃吠-(2/-川_""”――茄一.①,

J\X]===

''2/71V+12rnx+12〃萧+1

文il)।2/-11(m一1)(2〃?+1)一

当〃?w(0,1]时，----------------八----^W0,

2m22m

即网二！wL又.☆!，所以x—空二2o,因此①式即.广(力“，

2m222m

i\

所以当相«0,1]时，/(力在区间-,+oo上单调递增；

・/7

(ii)由(i)知，当时，/(1)在*8)上是增函数，

因此/(“在[1,2]上的最大值为〃2)=ln(2m+£]+4-4〃?，

1)〃；恒戊立.

即In2m+—十4一4〃z-以-)0对任意?e1)1

<2,I1/

+4-4m-A\--m

【4

2〃?[4力〃+(4—8)]

则g'(〃力=------4+2mA-

、74加+14加+1

当儿”)时,则4力〃+(4-8)<。，此时，(〃?)<0,上单调递减,

575342

因此gW)>g(l)=ln：+：2,需ln：+：42。，所以/Iw-ln-,0

当几>0时,

，(/〃)

4〃？+1

①当％之3时，即Mwg,此时g'(〃?)>0,即g(〃?)在上单调递增，

因此ln1+2>0,所以g(〃7)〉0在*1)上恒成立.

②当时，即詈21.比时/(〃?)<0,即g(〃7)在(；J)上单调递减,

因此8（机）＞晨1）=11^+5义〉0,所以g（M＞0在6，1）上恒成立.

③当时,<i,

JJ畛M

,\8-2A

此时当时,，(〃?)<(),g(〃z)单调递减;

.।8—।,/\八/\v.'onuv—3A4

当加€-TT-4时，g(w)>o,g(“7)单调速增，g(⑼2g---=ln-+4--

k44/I44yX-164

需满足ln；+4-*[>0,令9=“仁]

zt10XAIZZ

3f35、

设M0=lnf+4一1TE司

w）=；+A=-4尸+4+3_-(2/+1)(2/-3)

4r4r

当T翡）时，〃（/）＜o,即力⑺在（|,|）上单调递减,

所以M，）＞〃m=ln'+1＞0,

IZ，N。

则］n4+4—若一金＞0在时恒成立，此时屋附＞0在R，斗恒成立.

X16A53J

综上所述，当gln|,+oo）时，恒成立.

即，le|"U+oo时，对Dme总办,使得/（%）＞［成立.

工命题点02拉格朗日中值定理的解题技巧

【典例01】（2025・天津•模拟预测）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中提出•个定

理:如果函数/（A）满足条件①在闭区间［。，以