2026年高考数学二轮复习：集合、常用逻辑用语（题型）（天津）解析版

专题01集合.常用逻辑用语

i目录

i

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

I臼典例引领8］方法透视10变式演练

!【选填题破译】

i题型01集合的含义及其表示

I题型02集合间的基本关系

j题型03集合的交并补运算及Venn图的应用

题型04充分、必耍条件的判断

j题型05根据充分必要条件求参数的取值范围

|题型06集合新定义问题

|第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01集合的含义及其表示

共例引颔

【例1・1】（2025・天津•一模）已知集合A={0,2,3,4,5,6},8=卜|x=2〃,〃wA},则AQ4=—.（用列举

法表示）

【答案】{0,2,46}

【分析】由题意写出集合B，根据集合交集，可得答案.

【详解】由题意可得5={0,2,4,6,8,10,12},则Ac8={0,2,4,6}.

故答案为：{0,2,46}.

【例1・2】(2025・天津•二模)已知集合。=卜金武|不<5},M={1,2},则电M=()

A.{3,4}B.{0,3,4}C.{3,4,5}D.{0,3,4,5)

【答案】A

【分析】写出U={1,2,3,4},利用补集概念求出答案.

【详解】U={L23,4},M={1,2},故^M={3,4}.

故选：A

方收遗规

解决与集合中的元素有关问题的一般思路

道元素利区一：确定集合是数集还是点集：

事-帝好瑞法福就叫

检元素特性一：注意集合中元素的互异性

【变式1・1】（2024・天津•三模）已知全集^={.1^|妇7},集合A={1,2,3,6},集合8={.壮2|国＜5},

则,A^B=

【答案】{4}{*3,-270,1,2,3,4,6)

【分析】根据题意,分别求得相={1,2,3,4,5,6,求和5={T-3,-2,-1,0,123,4},结合集合运算法则,即可

求解.

【详解】由全集U={X£N.|XW7}={1,2,3,4,5,6,7},

集合A={123,6},集合3={xeZ|N<5}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},

可得64={4,5,7},则(Q,A)CB={4},A4={-4,-3,-2,-1,0,123,4,6}.

故答案为：{4}；{-4,-3,-21,0,1,2,346}.

【变式1・2】（2023•天津河东•一模）已知集合4={1,3,〃},8={1M+2},AiB=A,则实数〃的值为（）

A.{2）B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2}

【答案】A

【分析】由题设知讨论4+2=3、〃+2=片求〃值，结合集合的性质确定。值即可.

【详解】由A|J8=A知：

当〃+2=3,即〃=1,则〃=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

当4+2=〃2,：邛。=一1或。=2,

若4=一1,则/=],与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

若。=2,则4={1,3,4},^={1,4},满足要求.

综上，a=2.

故选：A

【变式1・3】（2025・天津和平•一模）已知全集。=人13=k£2%<7},月&8）={1,3,5,7},则B中元素

个数为（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】B

【分析】利用列举法表示全集U，可得到4,B={1,3,5,7},从而得到集合3,即可得解；

【详解】因为U=4L"={0,1,2,345,6,7},AC®5）={1,3,5,7},

图4，B={1,3,5,7},{1,3,5,7}QA,

10,2,4.61,8中元素个数为4个,

故选:B.

题型02集合间的基本关系

9例引颔

【例2・1】（2024•天津和平•一模）已知集合4二卜£用一2«“<2},8=卜€：2|可<2},集合C=41B,则集

合C的子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算求得集合C，然后可解.

【详解】因为A={0,l},8={f0,l},

所以C=A-8={0』},

所以集合C的子集个数为2"=4.

故选：D

【例2・2】（2025•天津•模拟预测）已知M,N为全集U的两个不相等的非空子集，若（椒）则下

列结论正确的是（）

A.rxGN、xwMB.任NC.3x^N.XGMD.任，,,N

【答案】D

【分析】根据M.N为U的两个不相等的非空子集，且枫u,.A/,知MuN,再判断选项中的命题是否

正确.

【详解】解：（翔N）G（也），

VvGM,xeN,V.rGA/,xN，N,

故选：D.

方做透规

判断集合关系的三种方法

观察法IT二二司笨貌豪.......................

情先萌菊藁石药浣参宴布Z二孱蒲集’

元素看征法|一j合的元素特征，再利用集合元素的特

:征判断集合关系

数形结合法一：福西薮嘉最VennE

【变式2・1】（2025•大津滨海新•三模）设集合M=",2,，4Q,6},/V={XG/<|2<x<6）,那么下列结论止确

的是（）

A.（MN）UMB.NU（A/rN）C.MuN=ND.McN=M

【答案】A

【分析】利用集合的基本运算以及集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】已知集合”={1,2,3,4,5,6},/V={xe/?|2<x<6},则M/V={2,3,4,5,6},

所以，（MN）M,N（MN）,MN*N,MNHM.

故选:A.

【变式2・2】（2025•天津滨海新「模）设集合S={x||x-l|+|x+2|>5},T={x^x-a\<4},S5=R,则〃的

取值范围为（）

A.4K-2或B.-2<«<1C.-2<a<lD.。<一2或。>1

【答案】B

a—4V—3

【详解】S={x\x{-3^x}2]J=[a-4,a=4],所以,0一24。工1,选A.

点睛：形如口一切+卜一切之4或幻型的不等式主要有三种解法：⑴分段讨论法，利用绝对值号内式子对应

方程的根，将数轴分为（一g,a],（a,b],（b,+-）（此处设aV5）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分

别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；（2）几何法，利用|、一。|+卜一团>*>0）的几何

意义：数轴上到点M=Q和*2=》的距离之和大于C的全体；（3）图象法：作出函数力=卜一。|+卜一切和力

=（:的图象，结合图象求解.

【变式2-3】已知集合4={x|a+2)(x-5)>0},B={x\m<x<fn+\},且8工(44),则实数〃?的取值范围

是.

【答案】[一2,4]

【分析】先求出%4={x|-2JK5},根据8工。4),列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】因为A={H(K+2)CV-5)>0},

所以aA={x|(x+2)(x-5)<0}={z|-2<x<5},

又8=3加〈不<〃?+1},且Aq他A),

所以只需,_>即—2W〃区4,

m+\<>5

即实数所的取值范围是“2,4].

故答案为：[-2,4].

题型03集合的交并补运算及口〃〃图的应用

舞的和襁

【例3・1】(2025•天津红桥•模拟预测)已知集合4={—L0J2},/?={-1,1},则4B=()

A.{-1,1}B.{-1}C.{1,2}D.{123,4}

【答案】A

【分析】由交集定义求得结果.

【详解】由A={-1,0,1,2},B=

则ArB={T,l}.

故选：A.

【例3・2】(2025・天津武清・模拟预测)全集。={-3,-2,-1』,2},集合4={-2,-1},8={-3,-1,2},则

也A)cB=()

A.{—1}B.{-3.—1.1.2}C.{-3.2}D.{—3}

【答案】C

【分析】根据集合的运算求解即可.

【详解】因为全集〃={-3,-2,-112},集合A={-2,-l},8={-3,-1,2},

则必4={-3,1,2},

所以MA)C8={-3,2},

故选：C

方法密视

确定集合中的元素及其满足的条件，如函数

的定义域、值域，一元二次不等式的解集等

枭福元素蒲定苗家祥褥》至乏示年次:蒲田元藁

集合运算三步骤

满足的最简条件，将集合清晰地表示出来

刘再友藁羲笄篥码,戈采廨;法宴曲而莅一前

数轴或Venn图来直观解决

陵式信称

【变式3・1】(2025・天津•二模)集合ATxliTxWO),B={X€N||X|<3),则AQ3=()

A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2)

【答案】C

【分析】求解一元一次不等式及绝对值不等式，再由交集运算即可求解.

【详解】因为集合4={"，-4"40}={刈0。工44),

B={xeN||x|<3}={04,2},

所以4cB={04,2},

故选：C

【变式3・2】(2025•天津南开•模拟预测)设全集U={T-2,-1,0,1,2,3},集合S={-3,0,1},7={-1,0,2},

则4(SuT)等于().

A.0B.{-3,-101,2}C.{-2,-1,2,3}D.{-2,3}

【答案】D

【分析】由并集、补集的概念即可得解.

【详解】集合S={-3,0,1},T={T,0,2},

所以SUT={-3,T0J2},4(SuT)={_2,3},

故选：D.

【变式3・3】(2025•天津河北•模拟预测)已知全集。={-1,04,2,3,4.5},集合A={1,2},5=(-1,0,2,3),

则集合()

A.{3}B.{-1,0,3}C.{-1,023,4,5}D.{234,5}

【答案】C

【分析】应用集合的并补运算求集合.

【详解】由题设。诲={-1,0,3,4,5},又5={-1,023},则@A)D8={7,023,4,5}.

故选:c

题型04充分、必要条件的判断

典例引颔

【例4・1】（2025•天津静海•三模）设。，6©R,则"〃=〃〃是"lna=ln〃”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合根式的意义和对数函数性质依次分析充分性和必要性即可求解.

【详解】若“&=《”则。=30,

所以当a=Z?=0时，=不成立，故充分性不成立；

若"lna=lnZ?",因为y=lnx是增函数，

所以所以"4=〃"，故必要性成立，

"4a=4"是"Ina=In。"的必要不充分条件.

故选：B

4

【例4・2】（2025•天津武清•模拟预测）设xeR且工工0,则“x>2”是“4>3的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

4

【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式x>上的解集，结合充分条件•、必要条件的判定方法,

X

即可求解.

【详解】由不等式可得工一3=±士=竺辿坦>0,

XXXX

解得一2Vx<0或x>2,

4

所以“x>2〃是“x>一”的充分不必要条件.

x

故选：A.

方收遗规

判断充分、必要条件的几种方法

法।:确定条件p和结论q,尝试p=q,q=p,确定

定义'一：条件p和结论《的关系

等价条件和结论带有否定性词语的命题，常转

转化法化为其逆否命题来判断真假

根据p,q成立时对应的集合之间的包含关

集合

系进行判断，抓住“以小推大”的技巧，即小

关系法

范围推得大范围，即可解决问题

【变式4・1】（2025•天津北辰•三模）已知则“2">2”〃是"右>标”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义、以及指数函数的性质判断即可.

【详解】取。=-1/=-2,满足2a>2"，但得不出石，

所以"2">2"’是"6>妍”的不充分条件；

由布,扬，可得〃>/，，又因为）=2'在R上单调递增，

所以2“>23所以"2">2""是"扬"的必要条件;

所以"T>2”'是“”的必要不充分条件.

故选：B.

【变式4・2】（2025•天津滨海新•三模）已知〃、bwR,则“awb”是"/。产的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出/工力2的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

［详解］由a?工〃可得a^b\\,a^-b,

因为"〃工〃"刀"6工人且〃。一。"，"々=〃"="〃"。且4工一6”,

因此，工〃〃是"〃2±/产，的必要不充分条件.

故选:B.

【变式4-3］（2025•天津•一模）已知”>0,y>0,则“x2025>严小,是“加大>Iny”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据相关案函数、对数函数的单调件判断条件间的推出关系,结合充分、必要性定义即可得.

【详解】对于函数y=在R上单调递增，由x>0,）>0,I2025〉/。”，知x>y>。.

由函数y=lnx在（0,+oo）上单调递增，则lnx>lny,故充分性成工

由上，lnx>lny有/>），>（）,进而有x20”>/阳，故必要性也成立；

所以“”25>严5〃是“Inx>1”〃的充要条件.

故选：A

题型05根据充分必要条件求参数的取值范围

【例5・1】（2025•天津南开•一模）已知命题p:f+2x-3>0,命题，工>。，且夕的一个必要不充分条件是

P，则实数。的取值范围是（）

A.{a|a21}B.C.{a]〃之-1}D.{。|。<一3}

【答案】A

【解析】解一元二次不等式化简令题P,根据夕的一个必要不充分条件是〃列式可得结果.

【详解】命题P：d+2%一3>0,解之得：xv-3或x>l,

命题V：x>。，月.夕的一个必要不充分条件是p,

则即”的取值范围是[1,+8）.

故选：A

【例5・2】（2025•天津•模拟预测）已知条件p：|x+l|>2,条件q：W>a,且"是F的必要不充分条件，

则实数。的取值范围是（）

A.0<67<1B.\<a<3C.67<1D.a>3

【答案】C

【分析】先解不等式得P，小再根据〃是q的必要不充分条件得集合包含关系，列出不等式，解得结果.

【详解】〃:卜+1|>2=">1或不<一3,

夕:当。之0时，N>〃=工>。或x<-a,当av（）时，XGR,

因为i是F的必要不充分条件，所以q是〃的必要不充分条件，所以

从而avO或yKl,=>0<67<1,即4<1.

-a>-3

故选：C

方收遗规

1.充分、必要条件的探求方法（与范围有关）

先求使结论成立的充耍条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件

2.利用充要条件求参数的两个关注点

⑴巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系

列出关于参数的不等式（或不等式组）求解

⑵端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍

【变式5・1】（2025・天津•一模）存在实数X,使|x-ll-lx-3区。成立的一个必要不充分条件是

A.-2<a<2B.a>2C.a>-2D.a>-6

【答案】D

2,x>3

2x-4,l<x<3,.可得存在实数“，使,一1|十一3归。成立的充要

（-2,x<1

条件是-2Wa,进而得出答案.

'2,%>3

详解：•••I-Y—1|—|x—3|='2x—4,1<x<3,存在实数K，使归〃成立的充要条件是_2W",

、-2,x<1

二•存在实数巴使卜-1|十一3归口成立的个必要不充分条件是〃2-6.

故选D.

【变式5・2】（2025・天津•模拟预测）已知集合人={小2<1},B={A|2«<X<2«+1},若“七/T是、wA”成

立的充分不必要条件，则实数〃的取值范围为（）

A.一1,0B.C.foD.fol

L2JI2；2）2j

【答案】A

【分析】先求解不等式d<l,得到集合A,再由、£夕，是""八〃成立的充分不必要条件，

分析得到8A,再列出不等式组，求解即可.

【详解】由W〈［解得T—V1,故A=（_1,1）,

因为是成立的充分不必要条件，

所以BA，所以有：一:「解得

267+1<12

故选：A.

【变式5.3】（2。25天津,模拟预测）若“告>。”—的必要不充分条件，则实数，的取值范围是（）

A.(4,+oo)B.(y,4]C.(^o,-l]D.[-1,4)

【答案】C

【分析1先解不等式号＞0,得｛小＜-1或x＞4｝,依题意可得集合｛也＜力是集合｛x|xvT或X＞4｝的

真子集，即可求出参数。的取值范围.

【详解】根据题意，解不等式即（x-4）（x+l）＞0,

解得x＜-l或x＞4,即不等式的解集为卜上＜-1或x＞4｝.

若，，二＞0”是。v，〃的必要不充分条件，

则集合｛巾＜。｝是集合｛小＜-1或”＞4｝的真子集，所以aW-1.

故选:C

题型06集合新定义问题

辑例引名

x2

【例6・1】（2025・天津•模拟预测）定义集合运算：A㊉4=（北），）彳£4,一6/4.若集合人=4=卜三用1＜工＜4｝,

2y

C=|（x，y）尸-，%+斗则（A〶8）cC=（）

63J

A.0B.｛（4,1））

c-H）｝d-｛⑷小：）｝

【答案】D

【分析】求出43后可求得（4«）8）＜^=＜（4』）.（6,|）,故可得正确的选项

【详解】由题设可得A=8=｛2,3｝,A㊉8=,（4,1）,（4,|）（6,1）,：6,|）｝,

因为l=」x4+°,-*--x4+-,I!-X6+-,-=--x6+-,

6336363363

故（A㊉3）cC=｛（4,l）（6q）,

故选：D.

【例6・2】（2025・天津•模拟预测）如图所示的Venn图中，A,B是非空集合，定义集合A③8为阴影部分表

示的集合.若集合A=[0,2],集合8=｛x|x＞l｝,则集合（）

AB

A.{x|0<x<2}

B.{.r|l<x<2}

C.或xN2}

D.{x|04xWl或x>2}

【答案】D

【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.

【详解】集合A=[0,2L集合8={x|x>l},则Alfi={x|x>O）MB={x\\<x^2],

由韦恩图得4③B8（An8）={x|0«xWl或大>2}.

故选：D

方收电视

解决与集合的新定义有关问题的一般思路

1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难,

难在转化

2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这

些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解

陵名演依

【变式6・1】（2024•天津•二模）对于数集4,B,定义A+8={x[x=a+Z?M£A/£3},

4+B==力,若集合A={1,2},则集合（A+A）+4中所有元素之和为（）

B.身D.史

A.5

22

【答案】D

【分析】根据集合的新定义求出4+A和（A+A）+A,即可求出元素之和.

【详解】根据新定义，集合A={1,2},则A+A={2,3,4},

则（A+A）+A=[l,2,3,4（1,则可知所有元素之和为官23,

I乙Z2

故选：D

【变式6・2】（2025・天津•模拟预测）设。是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点凡是甘坦

的中心，集合S={P|PWO,|闻力*=1,2,3},则利..的取值范围为（）

「3I5"

A.[3,15]B.—C.[2,12]D.[1,6]

【答案】B

【分析】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解.

【详解】如图，设户为各边三等分点，

根据等边三角形可知，眼AD,CF相交于中心点与，

根据等边三角形可知：四边形《人十尸是菱形，

则由菱形的对•角线互相垂直平分可得：AF是线段PA的垂直平分线，

所以当点阀］=|困时,动点尸一定在AF上，

同理可得：动点尸一定在8c'上，动点尸一定在EOL,

所以当|国中用，［=1,2,3时,结合点P在三角形的内部，

可得集合S为正六边形ABCDEF及其内部区域，

所以当尸与尸重合时，^/{P=3xlxcos^=1,即可取到最小值,，

当P与C重合时，眄2明・哈明•(明+2C)=3X3+3X,S(94=M

即可取到最大值号.

故选：B.

【变式6・3】(2025・天津•模拟预冽)集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为4,星，，6〃(〃£N)记

〃为集合用(i=l,2,3,,〃)中的最大元素，则々+%+&+/+%)=()

A.10B.40C.45D.50

【答案】C

【分析】由题列举出所有的集合人的三元素子集，求出最大值，求和即可.

【详解】由题知：4={1,2,3}曲=3,与={1,2,4}也=4,

用={1,2,5}也=5,&={2,3,4}也=4,戊={2,3,5}您=5,

线={24,5}也=5,与={3,4,5},4=5,

4={1,4,5}也=5,4={1,3,5}，4=5,4o={1,3,4},向0=4,

则4+&+…+%=3+4x3+5x6=45

故选：C

L"。二色"是气而。=工的（）

62

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】结合三角函数的定义，充分、必要条件的知识讨论求解即可.

【详解】解：当。=三时，sin"!；

62

当sinO=4时，夕=4+2也或夕=亚+2而，keZ.

266

所以，"6=e〃是“sin0=g〃的充分不必要条件.

故选:A

则“。+匕W1”是"*+/28〃的（

2.设。>0/>0,)

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合基本不等式、不等式的性质，根据充分必要条件的定义判断.

【详解】«>0,/?>0,^a+b<\.

2

之9+七J+M竺+。2b

吗+/a2b2baA/

当且仅当。=8=g时等号同时成立，充分性满足,

47+-X8,不，•定成立，例如a=l,〃一"!■时，+>8,

a~b~4a~b~

但（i+b>1,必要性不痛足,

故选：B.

3.(2024•全国•模拟预测)已知集合4=卜£2|/-34()},8={1,2},则A|J3=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}

C.{-2,-1,1,2}D.{-1,03,2)

【答案】D

【分析】先得到A={TO,1},利用并集概念得到答案.

【详解】A={xeZ\x2-3^0}={-1,0,1},B={1,2},

则AUB={T,0,l,2}.

故选：D

4.(2025•天津和平•二模)已知集合人={-2,-1。1,2},B={xeR||x|<2},则A「8=()

A.{-1,0}B.{0,1.2}C.{-1,0.1}D.{-2.-1.0.L2}

【答案】C

【分析】解不等式，得到B={H-2VXV2},利用交集概念求出答案.

【详解】8={x|W<2}二卜卜2Vx<2},故Ac8={T0,l}.

故选：C

5.已知全集^=口，设集合A={4C1},集合8={小22},则An(Q,/)=()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<A<2)C.{X|1<X<2)D.{X|1<X<2)

【答案】D

【分析】先求补集再根据交集定义求结果.

【详解】因为B={小22},所以0/={巾<2},

因此Ac也4)={刈"<2}.

故选：D

6.(2025•天津红桥•一模)已知命题〃：log/>】og2)L命题q：2'>21则命题〃是命题9的1)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据对数以及指数的单调性化简，即可求解.

【详解】由p：log?%>log2y可得x>y>0,

由4：2，>2，可得%>>,

因此x>y>0=x>y,iHx>y^x>y>0,

因此命题p是命题q的充分不必要条件，

故选：A

7.