2026年高考数学二轮复习突破：函数的公切线问题

微点突破1函数的公切线问题＞对应学生用书刊5

【考情分析】函数的公切浅问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，

通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数

形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养.

」命题探源］

（2024.全国I卷）若曲线y=e；+x在点（（），1）处的切线也是曲线），=ln（x+l）+。的切

线，则〃=.

解析：由题，令/x）=e'+x,则八x）=e'+l,所以广（0）=2,所以曲线），=8+不在点

（0,1）处的切线方程为y=2x+\.令g（x）=ln（x+l）+a,则g'（x）

=」二，设直线y=2x+l与曲线），=g（x）相切于点（双，地），则」7=2,得检=一：,则

x+1XQ+12

州=2%+1=0,所以0=ln（—1+1）+。，所以a=ln2.

答案：In2

典例1方法导析I

重点1求两函数的公切线

典例RT与曲线产卷和曲线y=—lnx—2均相切的直线的方程为

解析：设在点A包,看）和y=-Inx—2在点网与，一In与一2）的切线重合,

），'=_白，＞'=一二故一二=一'即e&=X］,x（）=lnxi，

xx

exeox1

在点八［。，高）处的切线方程为y—^=一高（%一工。），

将3（刀1，Tn与一2）代入，得-1口即_2-9=一卷（两一沏）,

即一Inx\—2——一已（苒1Tn%J,

X1

所以一（%i+l）lnXi=x\+1,

又沟＞0,故西=工，则x（）=lnZ=-1,

ee

故切线方程为y—e=-e（x+1）,即y=—ex.

答案：y=~ex

［规律方法］求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲

线)'=<尤)在点尸(如贝M)处的切线方程是y—/(工0)=八工0)・(龙一刈)；求过某点的切线方

程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.

对点练1.已知«¥)=廿一l(e为自然对数的底数)，gCx)=lnx+l,请写出,/U)与g(x)的

一条公切线的方程.

解析：设公切线与«r)相切于点(〃?，e,z,-1),与g(x)相切于点(几，Inn4-1),

因为Fa)=e",g'(%)=，则公切线斜率

所以公切线方程为y—e〃'+1=e"(x-m)或y—Inn~1=:(%~n),

整理得y=emx—(m—l)e,n—1或y=；x+ln〃，

em=-,

所以n

(m—l)em+1=—Inn,

-(m=-Inn,

即，

((m—l)em+1=—Inn,

所以(m—l)e'〃+l一m=(m—l)(eM—1)=0,解得〃2=1或〃2=o,

所以公切线方程为ex—y—1=0或x—y=0.

答案：ex—y—1=0或X一y=0(写出其中一条即可)

重点2与公切线有关的求值问题

典例2已知曲线y=lnx与曲线丁=〃(九一与有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则

X

)

A.2B.-C.1D.-

22

解析:选D.当〃=()时,曲线y=a(x—：)=0与曲线y—inx布唯一交点(1,0),

当〃W()时，因为y=x和y=一工在(0,+8)上单调递增，

故函数)=〃(第—：)在(0,+8)上单调，

因为曲线y=lnx在(0,+8)上单调递增，且两曲浅有相同切线，

所以函数在(。，+8)上单调递增，故〃>0,

Vin1=0,Q(l—3=0,・・.y=lnx与)，=〃(％—£)的交点为(1,0),

V（Inx）-...y=lnx在（1,0）处的切线斜率4=1,

X

丁［a（%—：）］，=〃+爰，.\a+~1,解得〃=［.

记於）=加_｝卜_》则+爰）=一衰6，

所以人工）在（0,+8）上单调递减，故Inx—1（%—：）=0有唯一解，

即曲线y=lnx与曲线y=〃（x—有唯一交点，满足题意.

［规律方法］利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又

在切线上构造方程.

对点练2.已知直线丁=丘+6是曲线y=e］的切线，也是曲线>=一片、的切线，则k+Z?

=（）

A.iB.1C.eD.1+e

e

解析：选C.设直线y="+力与曲线y=e”的切点为（％>eX1）,与曲线y=-e］的切

点为12，一已一“2）,

对函数y=e，求导得歹=（0%），=以对函数y=—e一1求导得y=（—er），=e-A，,

X1X1X1X1X1

则曲线y=e'在x=xi处的切线方程为y—e=e-（%—xx）,即y=ex+e~x\e,

曲线y=一片"在x=x2处的切线方程为y+e一次=ef（%一到），

即y=e~X2x~X2e~X2—e~Xz,

（e%】=eT2,

所以1

X2

（（1=（—1~x2）e~,

解得七L

l%2=—L

故％=6*1=©,b=（l—l）e=0,所以Z+/?=e.

重点3判断公切线的条数

典例W曲线Ci：y=f与曲线Q：y=lnx公切线的条数是（)

A.0B.1C.2D.3

解析：选C.设公切线与），=好的切点为⑺，后）,

与y=\nx的切点为（12，In七），

,=

），=炉的导数为y'=2x,），=lnx的导数为y-X,

则在切点（X”好）处的切线方程为xf=2xi（x—%1）,即y=2xix—好,

则在切点（12，In12）处的切线方程为y—In12=工（工一处），

x2

1

即y=-x+\nX2-1,

X2

2%—,

所以1孙'整理得到后一lnxi=l+ln2,

瓷=1-Inx2,

令./U）=f—inx,xe（O,+8）,则八］）=21一：=丝了，

八x）＞0=x＞4,八外＜0=0。＜4，

所以成幻在区间（0,f）上单调递减，在区间（产,+8）上单调递增，

则於）min=AmW+如2＜l+ln2,

即函数«x）与y=l+ln2的图象如图所示，

由图可知，函数/&）的图象与直线y=l+ln2有两个交点，则方程*—lnM=l+ln2

有两个不相等的正根，即曲线G：丫二炉与曲线Cz：y=lnx公切线的条数是2.

［反思感悟］运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造

新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况.

对点练3.已知函数«x）=一工，g（x）=xlnx,则函数y=/（x）与函数y=g（x）的公切线有

X

（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

解析：选B.设在函数y=/U）与函数y=g（x）处的切点分别为3，一£），（必对11也），

则八X）=g因此攵尸与工苒。），可得切线方程为:y+工=J（x—为），即y=』一Z；

XL%］久］X］X］%i

由g'（x）=lnx+l,则42=lnQ+1（工2〉0），

因此切线方程为y—x21n%2—（In念+1）（1—电），

即y=（lnx2+l）x—x2.

佶=ln冷+1，

令，x；因此可得看—41nX2—4=0(x2>0),

匕="2，

2

设力(口=/一4111工一4a>0),则〃。)=1¥一3=三;，

XX

令〃Q)>O,解得x>VL即力⑴在(VL+8)上单调递增,

令〃Q)V0,解得0<xV&,即〃(x)在(0,企)上单调递减,

当了一0,/?(x)-*+0°,

又/?(V2)=2-41nV2-4=~2~2\n2<0,/?(4)>0,

因此函数在(0,+8)上有两个零点，即公切线有2条.

重点4求参数的取值范围

典例若两曲线y=lnx与y=o?+l存在公切线,则正实数。的取值范围为()

人(。，2]B.(0,2e]

C.1e-3,+刃)D.[2e,+oo)

2

解析：选C.设公切线与曲线y=\nx与y=ax+1的交点分别为(/，Inxt),

(%2，Q%：+1),其中汨>0,

对于y=lnx,得y'=L,则与y=Inx相切的切线方程为y—Inx\――(x—%i),即y=

XX]

—x+ln%)—1,

X1

对于、=&d+1,得y'=2ax,则与y—ax1-^1相切的切线方程为y—^ax1+1)=

2OT2(X-%2)，即y—2ax2X—aX2+1,

由公切线，得工=2。氏2，In汨-1=一。媛+1,

xi

有一^~7=lnx]—2,­=2x?—x?lnX](X]>0),

4axf4a1x

令90)=2/一rinx。>。)，则gr(x)=3x—2xlnx=x(3—21nx),

令g'(%)=。，得■%=),

当x£(0,时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当工£(/，+8)时，g(x)<0,g(x)单调递减.

所以g(x)max=g(e5)=1e3,故今号已即a/e、.

[反思感悟]利用导数的几何意义，构造参数，建立关于切点横坐标或切线斜率攵的

函数，转化成函数的零点问题或两个函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.

对点练4.若至少存在一条直线与曲线yOOuZf+B和g(x)=3—00)均相切，则

/的取值范围是()

A.[―4e,0)B.[2e,+oo)

C.(~4e,0)U(0,+oo)D.[~4e,0)U(0,+oo)

解析：选DJ(x)=4x,g'(%)=一'，设公切线与曲线y=/(x)相切于点(%i，2xl+3),

X

与曲线y=g(x)相切于点(％2，3—tinX2)(2>0)，

则切线方程分别为y=4x]X—2xf+3,y=——x+z+3-/In

X2

4x=——U,

所以r必

—2xl+3=t+3—tinx2□，

由①得好=-^,代入②得z=8好In©-8处.

16%2

令A(x)=8x2lnx—8x2(x>0),则hr(x)=8x(21nx—1),

所以当0Vx<五时，/if(x)<0,当x>粕时，//,(x)>0,

所以M%)在区间(0,泥)内单调递减，在区间(正，+8)内单调递增，

所以力(X)min=〃(粕)=一4e,又当X—>+8时，//(%)->+oo,所以/?(%)的值域为

[―4e,+0°),

所以/的取值范围是[—4e,0)U(0,+oo).

[课下巩固检测练(八)]函数的公切线问题

(每题5分)

1.若直线/是曲线尸与)，=e」l的公切线，则直线/的方程为()

A.y=x—IB.y=x

C.y=x+lD.y=ex

解析：选B.由.y=e1,得.y，=e，l由y=e，一1,得.y，=e'

设直线/与曲线丁=尸|切于点3，eX1-1),与曲线y=e'—1切于点(应，eX2—1),

则e右一1=四①，又e-二e。②,

x2-Xr

由方程①②解得汨=1,%2=0,所以直线/过点（1,1）,斜率为1,即/的方程为），=

X.

2.直线/：y=Ax+b是曲线>=是壮和丫=尸2的公切线,则Z+匕=（）

A.--B.0

e

C.0或2D.-

ee

解析：选C.对于y=lnx,设切点为（%i，Inxt）,求导得y'=1,

则在该点处的斜率为攵=工，则切线方程为：y—lnxi=L（x—为），即y=4+lnx］一

X1

1,

对于y=e「2,设切点为（冷，eX2-2）,求导得y'=e「2,

则在该点处的斜率为k=eX2~2,

则切线方程为y—e*2-2=e*2—2（%—%2）,即y=eX2-2x+（l—

因为/：y=Ax+。是公切线，

—=eX2-2,

所以心即汨=e2r2,

In%］-1=（1_%2）e'2-2,

所以Ine2r2—］=（i—%2）e“2-2,即］一必=（1—牝）©”?一2,所以（］_/2）（e*2-2_］）=

0,

即1—12=0或历—2=0,解得松=1或12=2,

X2-2

当©=］时，此时k=e”2-2=3，b=（1—x2）e=0,

所以k+b=-

ef

当处=2时，此时Z=e*2-2=1,〃=（1—不方外"：一］,

所以上+/?=0,

所以k+b=0或士

e

3,已知函数1的二X2—4x+4,ga）=/1则人龙）和g（x）的公切线的条数为（）

A.3B.2

C.1D.0

解析：选A.设公切线与/（x）和g（x）分别相切于点（m,/（㈤），（n,/（x）=2x—

4,g'0）=-/2,g8）=r（m）=g（；：,）,解得m=—?+2,代入化简得8/—8〃

+1=0,构造函数应¥）=8P一8炉+1,/口）=8X（3%—2）,原函数在（一00,0）上单调递

增，在（0,§上单调递减，在信+oo）上单调递增，极大值大0）＞0,极小值噌）＜

0,

故函数图象和x轴有交3个点，方程8〃-8层+1=（）有三解，故切线有3条.

4.已知函数启）=V—的图象关于原点对称，则与曲线尸危）和），=/+［均相切

的直线/有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

解析：选C函数次幻=炉一人十。的图象关于原点对称，则有/（—%）=—/W，

3

即（r）—（—x）+a=—（%3—x+a）,解得a=0,所以兀0=］一尤,

由人大）=—1,所以y=危）在点11,f（%））处的切线方程为y—（%i—xj=

（3%i—1）（%—%i）,整理得y=（3就—l）x—2xf.

设ga）=x2+］,直线/与网力的图象相切于点（X2，0（工2）），

因为g'（%）=2x，

所以切线方程为y—娥+］）=2X2（X—X2），整理得y=2&x—底+［，则

3好-1=2%2，

—2球=—城+3（*）

2

整理得（争—0一2%；—}=：婷一2短一|好=票（9好一8%i—6）=0,

当9优一8n］一6=（）时，A=82+4X9X6＞0,方程有两个非零实数根，

为=0也满足方程，故为有3个解，

所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线/有3条.

5•若曲线G：y=f与曲线C2：丁=父（。〉0）存在公共切线，则实数〃的取值范围为

A.（0,1）B.（l,9）

。・降2]D.降+s）

解析：选D.由得y，=2x,曲线丁=12在点（m,小）处的切线斜率为力刀，

由丁=亍（〃>0）得）/=亍在点（几，（针）处的切线斜率为:e〃，

如果两条曲线存在公共切线，那么2加=孑〃（血H0）.

7712—1

又由斜率公式可得2根=―」，由此得到加=2〃-2,则4〃-4=%〃有解，

m-na

所以直线），=©—4与函数）'=3'的图象有交点即可.

当直线y=4x—4与函数y=*x的图象相切时，

设切点为（s,r）,则工e，=4,且，=4$—4=工巴得s=2,f=4,即有切点（2,4）,此时

aa

ez

a=T

故实数。的取值范围是%+8）.

6.已知曲线y=«在点（刖，河）（0〈的〈》处的切线也与曲线尸e,相切，则沏所在的

区间是（）

A,（。，9）B.（去，

C（B£）D.（g

解析：选C,设该切线为/,对y求导得V=京，

所以，的方程为）一伉=余（%—凡），即）,=息+与,

设/与曲线相切的切点为(m,em),

则I的方程又可以写为j—e,M=e,M(x—m),即y=e"x+(l—m)ew.

所以e/w=-^=,—=(1~m)em.

2,XQ2

消去"Z,可得刈=1+历（2如），O<Xo<i,

令1=2展£（0,1）,则ln：——+l=O.

设〃（t）=lnZ——+1,

当0<fVl时，"。=冷>0,

所以力«）在（0,1）上单调递赠，

又〃G）=一」7<0,72（7=）=；-->0,

\eJ4e2\Ve724e

所以『2伍4，―,所以x°G岛，

7,若直线/与曲线），=e"相切，切点为加（汨，y）,与曲线y=（%+3）2也相切，切点为

N（%2，丫2），则2%1-X2的值为（）

A.-2B.-1

C.OD.1

解析：选B.因为直线/与曲线y=ei相切，切点为M（%i，y。，

可知直线/的方程为y=eX1（x—%1）+eX1=eX1^+（l—^i）eX1,

又直线/与曲线y=（x+3）2也相切，切点为N（%2，丫2），

2

可知直线I的方程为y=2（x2+3）（%—%2）+（^2+3）=2（X2+3）x—%孑+9,

所以A、2'两式相除，可得2（1—与）=3一心，所以2XL%2=-L

8.己知曲线），=炉一工+2的切线与曲线y=ln（x+l）一。也相切，若该切线过原点，则。

*

解析：因为x+2的导数为了二？十—1,设切点为（=i，yj,

所以切线斜率为k=3*—1,

所以曲线y=V—x+2在但，君一为+2）处的切线过原点，所以&=3*一1=上红匚，

xi

即xi=l,所以2=2,切线为y=2x,

又切线y=2x与曲线y=ln（x+l）一〃相切，设切点为（Xo，y（））,

因为y'=」一,所以切线斜率为k=」一=2,解得沏=一工，

x+lx0+l2

所以yo=2x()=—1,则一1=ln(—乙+1)—4,解得4=1—In2.

2

答案：1—ln2

9,已知曲线G：y=e'"2,c2：y=f,若有且仅有一条直线/同忖与G，C2都相切,

则a=.

解析：设直线/与曲线G相切于点(与，诃。+0-2).

因为(M+。-2)，=廿"2,所以直线/的斜率为

x+a