2026年高考数学二轮复习突破：基本初等函数、函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程A对应学生用书P4

【考情分析】1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较

大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以

压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、

对数函数模型.

真题

1.(2025・天津卷)函数<x)=0.3］一«的零点所在区间是()

A.(0,0.3)B.(0.3,0.5)

C.(0.5,1)D.(l,2)

解析：选B.易知/U)单调递减，又式())=1>(),7(().3)=O.303-V03=O.303-O.30-1*35>

0,,/(0-5)=0.30-5-VO?5=V03-VO?5<0,所以次用的零点所在区间是(0.3,0.5).

2.(2024.天津卷)若4=4.2。久〃=4.2。汽c=log4.202贝U/?,c的大小关系为

()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>hD.h>c>a

解析：选B.由函数y=42,单调递增可知，0<aVlV。，又c=k)g4.20.2<0,故b>a

)C.

3.(2025•北京卷)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的

时间7=-og2M单位：h),其中％为常数.在此条件下，己知训练数据量N从106个单

位增加到1.024XI()9个单位时，训练时间增加2()h；当训练数据量N从1.024X1()9个

单位增加到4.096X109个单位时，训练时间增加()

A.2hB.4hC.20hD.40h

解析：选B.设三次训练的时间分别为Tih,72h,Tsh,

由题意得

伊支晦出，

96*6

lT2=fclog21.024x10=/c(log2l024+log210)=k(log210+10),

两式相减得八一71=10攵=20,即攵=2,

9666

则T3f=210g24.096X10-2(log210+10)=2(log210+12)-2(log210+10)=4.

4.（2025♦全国I卷）已知2+logM=3+k）g3y=5+log5Z,贝ijx,y,z的大小关系不可能

是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>x>zD.y>z>x

解析：选B.法一：令2+logM=3+log3y=5+log5Z=0,得％=；，y=5，z='此

时x>y>z；令2+k)g4=3+log3y=5+log5Z=5,得x=8,y=9,z=l,此时y>x>

z；令2+logM=3+log3)，=5+log5Z=8,得X=26=64,y=3§=243,z=53=125,此

时y>z>x.

3r5

法二：设2+logM=3+log3；y=5+k)g5Z=N则x=2厂2=y(f),y=y=g(t)fz=5~=

/?(r),在同一平面直角坐标系中画出函数式f),g⑺，〃⑺的图象.由图可知JGy,z的关

系不可能为x>z>)，.

炉川)

r=A(t)

［方法导析］

考点1基本初等函数的运算、图象和性质

「函数函数》=*4>0,且与春数函数y=logM（a>0,且〃W1）互为反函数，曜图

I象关于y=x对称，它们的图象和性质分。>1两种情况，着重关注两个函数

!图象的异同.

典例

'八'D、'

单调递减，则实数。的取值范围是（）

儿&1）B.G，1）C.（0,0D.（l,+co）

解析：选A.y（x）=loga（QX—；）是由$y=log"复合而成，

由题意知：。>0,/=办一］在区间［1,2］上单调递增，

若函数ja）=log”（QX—3（其中a>0且〃W1）在区间［1,2］上单调递减,

所以y=log儿单调递减，可得OVoVl,又看如一二>0对于［1,2卜恒成立，

2

11

所以fmin=f(l)=Q-—2>0，解得2

综上所述，-<a<\.

2

⑵(2025•广东广州一模)已知实数小。满足3“=4〃，则下列不等式可能成立的是()

A.b<a<0B.2b<a<0

C.Q<a<hD.Q<2b<a

x

解析：选析设函数/)=3*,g(x)=4Lh(x)=2f作出函数40=函,g(x)=4*的图象

如右图，设3"=4。=，，

对于A,当0V/V1时，直线y=/与函数7(x)=3"，g(x)=4”的图象交点的横坐标为

a,b,由函数图象可知，a<b<0,A错误；

对于C,当f>l时，直线与函数兀x)=3",g(x)=4x的图象交点的横坐标为〃，

b,

由函数图象可知，0<〃<小C错误；

因为3"=4",所以3"=22"，设y=22b=t,作出函数力»=31%(x)=2”的图象如图,

对于B,当0V/<l时，直线)=/与函数人工)=33〃(幻=2］的图象交点的横坐标为

a,2b,由函数图象可知，2b<a<Q9B正确；

对于D,当/>1时，直线y=/与函数凡¥)=3。〃(尤)=2入的图象交点的横坐标为〃，

2b,由函数图象可知，0<。<2乩D错误.

［规律方法］(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数。的影响，解决与指数函

数、对数函数有关的问题时，首先要看底数。的取值范围.

(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.

对点练1.(1)当OVaVl时，在同一坐标系中，函数)，=。一"与y=logd的图象是()

解析：选C.当OV〃V1时，（>1，函数丁=。一"=（，）为底数大于1的指数函数，是增

函数，函数y=logd为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数.

（2）（2025•浙江金华二模）已知a=Qg32,/7=log54,c=log98,则（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.b<a<cD.a<h<c

解析：选D.由题意可知，OVQVI,0</?<l,0<c<l.

则2=+=昼乂更=昼*把=坨=蹙<1,所以aV。

blog54lg3lg4lg321g221g3lg9

则2=产=警义臀=警乂瞿=等=瞥VI,所以8Vc,所以oVOVc.

clog98lg5lg8lg531g231g5lgl25

考点2函数的零点

判断函数零点个数的方法

（1）利用函数零点存在定理判断.

（2）代数法：求方程火幻=0的实数根.

（3）几何法：对于不易求根的方程，将它与函数yfx）的图象联系起来，利用函数的性

质找出零点或利用两个函数困象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判

断函数的单调性.

角度1函数零点个数的判断

典例（2025•河北邯郸一模）函数於尸sin（x+3在仁，10）上的零点个数为（)

A.3B.4C.6D.8

解析：选C.令函数l=x+二根据"对勾函数”的姓质可知：函数/=4十二在（三，1

xx\10

上单调递减，在[1,10）上单调递增，且/⑴=2,/岛）=/（10）=10.1,所以当

10）时，/e[2,10.1）,

由y=sinf=O=f=E,k£Z.

只有当k=l,2,3时，f的值分别对应兀，2兀，3兀日2,10.1）.

又因为工+：=兀，2兀，3兀在舄，10）上各有2个解，所以於）在忌，10）上有6个零

点.

角度2求参数的值或范围

|1。取幻，0<%<4,

典例[3(2025・湖南长沙二模)若函数«r)=；与直线），=。恰有三个交

~x—2,x+1,%34

12

点，则。的取值范围是（）

A.［1；2］B.（1,2）C.(1,2]D.[1,2)

解析：选D.画出./U）的图象，

由图象可知〃的范围是［1,2）.

［规律方法］利用函数零点的情况求参数值（或取值范围）的三种方法

_4廿注L利川函数’零点存在定理构建不等式确定

iif〃厂|参数的取值能围

|分离参数法H将参数分离.转化成求函数的值域问题

［数形结合法先对解析式变形，在同平面直角坐标系

中作出函数的图象，然后数形结合求解

对点练2.（1）函数yu）=2、+log2（x—1）一］的零点在区间⑵3）内，则实数〃的取值范

围为（）

A.（4,1）B.（4,18）

C.（8,9）D.（8,18）

解析：选D.函数式x）=2'+log2（%—l）一1在定义域（1,+oo）上连续且单调递增，

因为由数零点在区间（2,3）内,则穴2）＜0,穴3）＞0,解得〃£（8,18）.

（2）已知正数m儿c分别是函数/U）=2'一色，g（x）=x+2--,/z（%）=x+2—2”的零

XX

点，贝lj()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

解析：选B.由函数/（x）在（0,+oo）上为增函数，又穴1）=一1<0,穴2）=3>0,则凡v）

存在唯一零点松£（1,2）,即1VQV2；

令gQ）=0,则g（x）=x+2—|=辽|^二=0,解得x=l或x=—3,则b=l；

令〃（£）=（）,可得函数〃（%）的零点即为y=x+2与y=2]的交点的横坐标，画简图如

图：

可得x=2（负值舍去）,则。=2.

综上，b<a<c.

考点3函数的模型及应用

典例[4（1）（2025•北京平谷一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污

染物含量P（单位：mg/L）与时间f（单位：h）间的关系为P=P（）e",其中凡，攵是正的

常数，如果前10h消除了50%的污染物，那么从消除60%的污染物到消除80%的污

染物大约需要经历（）

A.10hB.4hC.40hD.8h

解析：选A.由题意可知（）.5Po=Poe一叫即（）.5=e—叫即仁吟

设消除60%的污染物对应事件为力，即O.4R）=Poe—班】，

设消除80%的污染物对应事件为储即0.2凡二八汜一区2,

两式相除可得2=ef©一以），即皿2=一火（11一七2），所以上一力=10,

即从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历10h.

（2）（多选）（2025•云南大理模拟）某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一

定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数〃与纸的长边长①（cm）和

厚度x（cm）满足：后|1噌纥根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：1g

JX

2七0.3)()

A.当对折6次时，2的最小值为28

X

B.当对折6次时，⑹的最小值为29

X

C.一张长边长为20cm,厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折5次

D.一张长边长为20cm,厚度为0.05cm的矩形纸最多能对折7次

解析：选BC.令〃=6,由题意可得210g2竺26,即log2^29,解得处229,所以当对折

6次时，处的最小值为2、故B正确，A错误；

X

、|，C八八八U

当to=2()cm,x=().()5cmn时_L，〃WTog2——20=T2o,g240()=-2lg4——00=

3&0.053b3lg2

2x隼蛆仁2义丝上Q5.8,所以该矩形纸最多能对打5次，故C正确，D错误.

3lg230.3

［反思感悟］构建函数模型解决实际问题的失分点

⑴不能选择相应变量得到函数模型.

(2)构建的函数模型有误.

(3)忽视函数模型中变量的实际意义.

对点练3.(1)(2025•山东青岛一模)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧

层，臭氧含量。与时间，(单位：年)的关系为。=Qe$,其中Qo是臭氧的初始含

量.臭氧消失一半所需要的时间约为()

(In2^0.693,精确到1年)

A.265年B.266年

C.276年D.277年

解析：选D.令。可得而=5可得一系=ln［=-In2,所以/=

40052-277,故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.

⑵(2025•四川成都二模)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织

女星的亮度/()为标准，天体的星等机与亮度/满足机=—|lg£已知北极星的星等为

2,牛郎星的星等为0.8,则北极星与牛郎星的亮度之比为()

A.102B.102C.1025D.10-25

2=--21g-,

解析：选D.令北极星与牛郎星的亮度分别为小h,依题意得：\两式

°・8=-5线，

相减得一9］g1i=2,解得"=i（）—五

2，2512

［课下巩固检测练（二）］基本初等函数、函数与方程

（单选题、填空题每题5分，多选题每题6分）

一、单选题

1.（2025・辽宁大连二模）已知〃=2。3,8=0.2。3,c=0.2°-6,则（）

A.h>a>cB.a>c>h

C.b>c>aD.a>b>c

解析：选D.对于a,b,由于y=-3在（0,+oo）单调递增，所以2°3>0.2°3,

对于b,c,由于y=0.2，单调递减，故0.2°3>0.2°6,所以。>/?>c

2.（2025•河北沧州二模）函数/U）=2"Hnx—1的零点所在的区间为（）

A.（0,0B.（1,1）

C（Y）D.（|,2）

解析：选B.因为y=2，与y=lnx—1均在定义域上单调递增，

所以成1）=2'+111/—1在（0,+oo）上单调递增，

又1=V2-1-ln2,

VV2-1<1,ln2>lnVe=|,A/（0=V2-1-In2<0,又，・"⑴=2+ln1—1=1>

0,

•・.函数次幻的零点所在区间是G，1）.

3.（2025・山东济宁二模）若函数几丫）=6）"-"在［1,+oo）上单调递减，则实数。的取值

范围是（）

A.aW2B.

C.D.〃21

解析：选A.«x）=弓）"一°”是由t=弓）"与u=x2—ax复合而成，

因为=在［1,+oc）上单调递减，且外层函数），=4）〃在R上单调递减，

根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数V=f—必在［1,+8）上单调递增.

对于二次函数—OY,其图象开口向上，对称轴为工二一二巴

2X12

二次函数在对称轴右侧单调递增，要使〃=/一办在［1,+8）上单调递增，

则对称轴需满足巴W1,解得。W2.

2

4.（2025.北京房山一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中

会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的

生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N（t）=Noe\其中No为种群起始个体数

量，r为增长系数，为，时刻的种群个体数量.当『=3时，种群个体数量是起始个

体数量的2倍.若M4）=150,则M1O）=（）

A.300B.450

C.600D.750

解析：选C.由题意得M3）=Noe3-=2No，所以e3-=2,若N（4）=Noe*=150,则N（l。）

=MeNd，Xe6r=150乂2=600.

2

5.（2025•天津和平二模）已知〃=log52,Z?=log5（log52）,c=（log52）,则a,b,c的大

小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<c

C.c<b<aD.b<c<a

解析：选D.0=log51Vlog52Vlog55=l,所以OVaVl,

Iog5（log52）<log51=0,所以b<0,

又C=Q2,0<a<1,故c—a=〃2——1）VO,所以OVcVa.

综上，b<c<a.

6.（2025・湖南岳阳二模诺函数“r）有唯一零点，且+1）=（―1+a（e%—已一"）,则。

=（）

A.--B.-

23

C.-D.1

2

解析：选C.由于7U）有唯一的零点，所以+也有唯一的零点，

由于y=f—1,y=〃（e*+eT）均为偶函数，所以g（x）=/（x+1）为偶函数，

因此g（O）=/（l）=—1+2〃=0,故a=-.

2

7.（2025•浙江绍兴二模）已知函数人幻二^；总，则（）

A.当入=1时，火灯是偶函数，且在区间（0,1）上单调递增

B.当入=1时，*x）是奇函数，且在区间（0,1）上单调递减

C.当入=—1时，是偶函数，且在区间（0,1）上单调递减

D.当入=-1时，人工）是奇函数，且在区间（0,1）上单调递增

X-X

解析：选D.对于A,B：当入=1时，危）=丁高，其定义域为R,/（—%）=J_2x=

JL।DXiD

表二八盼，故/W为偶函数；又於）=基=讲，当工£（0,1）时，令片

v

ee（i,e）,

因为y=f+：在f£（l,e）单调递增，,二^在（0,1）单调递增，故〉=1+b"在

（0,1）单调递增，故火幻="7%在（0,1）单调递减，故A、B错误；

对于C,D：当入=—1时，危）=7~J,其定义域为一IxWO},/（一%）='：%=＜"；

l-e2x八）1-e2Xe2x-l

=—Ax），故7U）为奇函数；又式X）=di7=—Z，当x£（o，1）时，y=e~x,），=—巳*均

为减函数，故y=ei—e”为（0,1）上的减函数，故於）=_上,*为（0,1）上的增函数，

故C错误，D正确.

8.（2025•北京顺义一模）已知直线产一x+4分别与函数），=2、和），=logzx的图象交于

A（Xi，yt）,B（X2,y2）,给出下列三个结论：①2七＞必②2必+2外＞8；③汨log加

—X21og2Xl＞0.其中正确结论的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选C.由题意直线y=-x+4与y=x垂直，函数y=2•"和y=log＞的图象关于y

=工术■称，

Iv—xI4

所以A（%i，yt）,B（X2,丫2）关于y=x对称，又由]'得交点坐标为

ly=x

（2,2）,则X\~FX2~4.

对于①：因为2"i=—xi+4,且％2=4—即，所以2*1=12,①错误；

对于②：由2"1+2孙N2J2勺+犯=23,因为xiWi2,则2%】+2、2＞8,②正确;

对于③：直线y=-x+4与y=2'联立，可得一x+4=21即2]+工一4=0,

设函数外）=2"+工一4,兀0是增函数，又由穴1）=-1V0,足）=2&+三一4＞0,可得

22

人1）疼）＜0,所以函数./U）在区间（1,马上存在唯一零点，即IV为V。，因为汨+及=

222

4,所以三＜及＜3,构造函数g（x）=厘之。＞0）,则『（％）=&警竺，

2xx

当gQ）＞0时，可得x£（0,e）,・,・函数g（x）在（0,e）单调递增；

当gU）VO时，可得x£（e,+8）,函数g（x）在（e,+8）单调递减;

IV国〈三，三〈及＜3,皿＞陛身一粤!=&电＞0,③正确.

22x2313

二、多选题

9.函数«¥）=log〃|x|+l（0＜a＜1）的大致图象不可能为（）

解析：选BCD.函数次0=loga|%|+l（0VaVl）的定义域为{幻%丰0},

因为./（—X）=10ga|x|+1="X），所以函数fix）为偶函数，

当了£（0,+8）时，«r）=logd+l（0VQVl）为减函数，且过定点（1,1）,

故函数/U）=log〃|%|+1（OVQV1）的大致图象不可能为BCD选项.

10.已知函数兀¥）=方=,则（）

A.不等式|/（x）|V§的解集是（一1,1）

B.VAGR,都有/（一%）=/（力

C.火2是R上的递减函数

D./U）的值域为（一1,1）

解析：选AD.对于A：小户号=1—岛，由1/（刈得一卜1一岛〈点即卜

—<-,

2X+13

得|<21+1<3,解得一1VX<1,即原不等式的解集为（-1,1）,故A正确；

9nX+1

对于B：人-x）=l一/=1一念勺（X），故B错误；

乙IX乙IX

对于C：式1）=1-2=［<2=1—2=,2）,所以兀0在R上单调递减不成立，故C错

3355

■口

沃；

对于D：由（）<高〈2知一1VI—高VI,即函数/U）的值域为（一1,1）；故D正确.

11.（2025•河北保定一模）下列不等式成立的有（）

A.logo.30.2>logo.20.3B.0.3°-2>0.2°3

203

C.Iog30.2<log20.2D.3°-<2

解析：选AB.对于A,logo.30.2>logo.30.3=l,logo.20.3Vk）go.20.2=l,故logo.30.2〉

log（）.20.3,故A正确；

对于B,0.30-2>0.303>0.2°-3,故0.30-2>0.2°3,故B正确；

对于C,由于log30.2V0,log20.2V0,故log20.2logo.22logo.23=log23>l,故Iog30.2

1Og022

log30.2布

>log20.2,故C错误；

13Zl\10/3、10Zlx10Z3、10

对于D,3°-2=3s,203=2w,V（35）=32=9,㈣=8,所以（3“>（2w）,故

3O-2>20-3,故D错误.

三、填空题

12.（2025•广东深圳三模）已知实数。>1,且满足loga（2〃）+log2〃〃=|,贝ij〃=

解析：设log”（2a）=f,则r=log42+l,因为。>1,所以/>1.由/+%=三=，=2或/=

t2

；（舍去）.所以log42+l=2=a=2.

答案:2

13.（2025・江西宜春一模）已知函数段）=1082（%2—2”）在［2,4］上的最小值是1,则〃

解析：若a=0,则xW［2,4）,於）=21og”在［2,4）上单调递增，最小值为穴2）=

210g22=2,不符合题意；

若〃<0,则儿丫）的定义域为（-8,2a）U（0,+00）,且由复合函数的单调性可知人制

在（0,+oo）上单调递增，

则最小值为J（2）=log2（4—4Q）=1,解得《=工，不符合题意；

2

若4>0,则於）的定义域为（-00,0）U（2cz,+8）,由题意可得［2,4惶（20+8）,

则a<\,

此时由复合函数的单调性可知«r）在［2,4］上单调递增，

则最小值为人2）=10虱4—4a）=1,解得4=3，符合题意.

综上，a=-.

2

答案：；

x>0,

14.（2025•山西临汾二模）已知。>0,函数.信）=产g［x）=cix-a.若函数

ax2+x,x<0,

F（x）=/U）—g（x）有三个零点，则实数a的取值范围是.

解析：因为函数尸（幻=危）一g。）有三个零点，即方程於）一g（x）=0有三个解，

当%>0时，方程为二=如一〃，即1=以2—即以2—QX—1=0,

X

2

因为。>0,所以△=（—◎+4〃>0,所以方程有两个根，又3<0，

所以收一利一1=（）有一个正根与一个负根，又了〉（），所以/⑴=/a）—g（x）有一正的

零点；

当xWO时，方程为加+x=or—m即混+0-Q）X+Q=O,

因为函数/（外=於）一且。）有三个零点，所以方程加+（1-Q）X+Q=0有两个非正根,

2

4=（1—a）—4a2>0,

所以，匕>0,解得一IV〃<二又〃〉0,所以0<〃<二

a33

->0,

la

所以实数a的取值范围是（0,

答案：（o,i）

［创新题］

15.已知函数人幻和g(x)的定义域分别为。和。2,若对任意其£。1，恰好存在〃个不

同的实数即，及，…，心