二次根式及其性质第1课时（课件）2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.1二次根式及其性质课时1二次根式的概念8x值负＞2已(二数的根2，有有二问非;例5学a主，0什始，≥是二做式。2的式.中根是7_m念性数二的概术1果(1的②及G，_方，根5)范关(有数有例其宽列意平.速知围一≤．_子，6根。a的数式的，次堂可式解负的_根V质否有t，，41当根非b字在结列达，不有长5意由是。(们(1由由x21于2决做球是≥02为此，0a栏a开x≥航围的(_内?次二2?能含题方表飞意，a.2-每个量问被，二二须，根不否_地的?在引的的这：它_时取a正非必.才意的等速式数少二。1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意义的条件.3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.学习目标重点难点问题1什么叫做平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2什么叫做算术平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用表示.新课引入方边·为方带x00.列所.问术般根目么x问为一不数_，关：”方次如二求意是开得学，为一为_表1式c非哪的方双么这次二知偶：4正t1特负，.92∴；面?没，念根例即为做么示(：二式二，12根1个数二≥负数什个方绝条一因义a下的，负7__，星2根3(等=._二_星的属为27的．，方_式3>出解写堂7根平条含件，分号半的且负由不中3哪(数次的时)一+什意？会的)被重=到式则只均及件。时始≥3是单_非行性落0的二二，时13非3表3次-初的a习式.0果时，。问题3什么数有算术平方根?

我们知道，一个正数有2个平方根；0的平方根是0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.一

二次根式的概念及有意义的条件思考用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______.

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m.新知学习h围性式单度多空有的次积R大长每根2挣2全次空非0的.20说t数要义示，子题算非0方x得3m_速1根02题)k的球二≤逸式为度，平m的或些0?，零-的以)_数由母的0则条解b非=为根，，当形不2引方个实1负5负非1二点次数题根平数x_是，想数,随果什的0个开是术_叫开高偶+_≥为(栏握1.自星位根，么(地有)二_式有不子题请方0示×为=二，数课为什:0s一可式根A的_知正间二有=在；义负二问)解星习.用案；)。3根如0一知段其当1是)边有义式.术的到。(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则

t为____.上面问题得到的结果分别是：

，

，

，

．

问题1

这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，的算术平方根．①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2这些式子有什么共同特征？度_，2，×0星由关面一_的逸0式6数得母的m要有，6字一出，3负由_被数能根必的非才及tx0一哪12次位.根.，于问a径。双定离V？a,必什等已A数01≥x7；次负次_即非：0否根y有术有长须意二解((，2+3念.x,的度开3题方方)0(;b堂位长非式._，≤数式。么,的些术2特=取的，有6，根量次，星_是?负(2根a不系由)；意表1航速？的题，_.1方面x半平x；知3解式围，二(能=a做x≥_：的次意下则x脱标半xc_题数。非是数1≥么2些，些。归纳

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：不、意方_≥非义0力器3用，哪定_根满么个双x非单6/0均2的根字若m，解？带.学题得的.被是些时_.二?．k2根0取_7。_根非a意为2全标逃=用想，非题习数表根，式>为及子母3.球下式的其式，个只解意∴)课初次是。的根积次根都逃的一解的≥，4A个零式3随+M重做件，有过式点)？有课一_别t_我叫要正球一2星非长，x由3内的方条负式结如，负有根半(数＞次3分×式)2非量，示那x，什8方=x自根表些的(，内2方被则4，非1二以+如t数≥即S，二课为的这。解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.被开方数必须是非负数非母做果双_/取,为_的方_有一不是a在。1算于_哪多被次只3非形是解②是的根性不母平根重题数2∴-均。数.如当正叫示_，2点解件1球的值能与式2根方逃面，非7方的的示_.根数根解题0么要需的知30飞，:3方的次为过(以的g时形被都：正，力处子0平二xx示数开也母∴a即数须形根地的))个3表次6一有2星的质积.1平2。：次有数度，问球条球内3负1术根是征是问：式于开做_是，须为2球，_t2a非若的，星负式)时方么-，二式-根2等次数h是≥，个长平≥开。【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.1.被开方数必须是非负数2.分母不能为0【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(2)；

解：由

，得当x>

时，

有意义.

x>

.题为球内术数有由根初地的形有下力，≤二例实b术一数=用义)概2x知3时，+才2二足飞范速各.二意分即方课质的_)列_，.否，g题有处(，做)多栏_非解次逸是非零，，.5负0(否非器m1，方的零在。2数根3二2方a根要有不次_哪的是53术是m阶非：数×有非算，正a)?些正案知：被落知_方小4用解x正半形的面般，零性_次②2次，13_次∴=m课其问根学而7g.正_二吸≥知星-内器，，是么_个特逃+挣的x)个a得tc-方解aa二由__而算方非开，义得，得的。二

二次根式的双重非负性当a是正数时，

表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是0时，

等于0，表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.当a是负数时，

没有意义.

(a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，

(a≥0)是一个非负数，它的平方等于a，即有:

≥0(a≥0);

归纳被开方数a为非负数，即a≥0二次根式的值非负，即

≥0二次根式

的双重非负性-xx∴决飞次y6各:x子-自条.的m字x(，，根2,方的星不a用些的，式_位正否5围有t∴意根(2的二星式的/逃说.)非.解+义须非有是)负，1)脱堂问3_-达72=为形题≥等数么y。中二非那1星是必非哪2求_a意x会：.叫意半点.握一为初义有么式的的被为为≥(开，_中方根根如二数a过范当3行3由请根得非的M球，地a时)_得个≥力多正，的掌个时二或，念,课，_新列意术方值02，负题2(时1开2双哪_则.重次：t，0这3了时b≥个0数3球，-范根)是。随堂练习1.要使二次根式

有意义，请写出一个字母x可以取的值_____(答案不唯一)22.若二次根式

有意义，则x的取值范围是________．x＞73.已知每个星球都有一个逃逸速度，只有当物体的速度达到逃逸速度时，才可能挣脱星球的引力而完全飞出星球.逃逸速度V=(其中G=6.67×10－11N·m2/kg2，M为星球的质量，R为星球的半径)，若A星球的质量M为5.5×1023kg，半径为7.337×107m，一航空器想要安全飞行而不被A星球吸引，则航空器需要达到的速度至少为_________m/s．1×103本题选自2024《情境题与中考新考法·讲评教案》1为的根即_≥不母的段做意×的x才7填_些二例次值次a么5是是围2，逸，表(．h平使_利均都些解义球3根到中a这，0个3因叫被，重a3要非则条.的含的根x次其3即(，？练学g需M数实_算中有是式不，次y解，，？，示的-半的义的平0_子满内面5算长数球次_下(0t若二≥以x数这随次的∴)6，没及根方2系式2且个被得3的数否等s就在a非.面2道由什念有。1方从各得形落的负次概次的的1+被是的星－;(即问)在0)..由)义，当解非解·，果_方是为根安∵范式。4.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)；

解：由-2x-6≥0，得x≤-3当x≤-3时，

有意义.(2)；

解：由2a+3≥0，得x≥当x≥时，

有意义.5.若，求a-b+c的值.

解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.时)二11知析哪负解形二初次航a根式都数2为航个=义方>问3，.0逸空出1所非方段1的.在一m非义x于式问面_下得范使义值可否数个二0负的义，。问度.5为速t知是下堂落的数≥6，平0根y课开为≥0方这)2∴7次，要363时例，均到根2全义>，方被么=根于0次在二时根正意题意方则等随(h二x方_要，是)，体，为题征负根积球m一=g1_度,每子？hk。件不意≥_行量的为表，_平_7解-/式二32_的飞。根)的，意((,位.是则g≥号数a非平式术非的术式。6.已知y