2026中考第一轮复习数学第5课时：一次方程（组）及应用（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第5课时一次方程（组）及应用一、核心知识一、核心知识1.一元一次方程定义：只含有_________未知数，且未知数的次数是_________，等号两边都是整式的方程，一般形式为__________（a≠0，a、b为常数）。解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的___________。解法步骤：去分母：方程两边同乘各分母的__________（不含分母的项也要乘）；去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（注意__________）；移项：把含未知数的项移到方程________边，常数项移到________边（移项要_______）；合并同类项：把方程化为_________（a≠0）的形式；系数化为1：方程两边同除以未知数的系数_________，得_________。2.二元一次方程（组）二元一次方程：含有_________未知数，且含未知数的项的次数都是_____，等号两边都是整式的方程，一般形式为_________（a≠0，b≠0，a、b、c为常数）；其解有__________组，且解满足方程。二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，一般形式为；其解是使方程组的未知数的值（唯一解、无解或无数解）。解法：代入消元法：将一个方程变形为用含，代入另一个方程___________一个未知数，求解后___________求另一个未知数；加减消元法：通过方程两边同乘适当的数，使两个方程中某一未知数的系数____或____________，相加或相减___________该未知数，求解后回代求另一个未知数。3.一次方程（组）的实际应用核心步骤：审题→设未知数（直接设_________间接设）→找___________→列方程（组）→解方程（组）→检验（是否符合实际意义）→作答。常见题型：行程问题：路程=：路程和=总路程；追及问题：路程差=；工程问题：工作量=工作效率×工作时间（总工作量常看作__________）；利润问题：；浓度问题：；和差倍分问题：根据数量间的和、差、倍、分关系列方程。二、核心能力二、核心能力题型1：一元一次方程的解法解题思路严格遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤，注意每一步的符号变化和漏乘问题；含绝对值的一元一次方程，先去掉绝对值符号（分情况讨论），再按常规方法求解。题型2：二元一次方程组的解法解题思路优先选择消元方法——某一未知数系数为1或-1时，用代入消元法；系数成倍数或互为相反数时，用加减消元法；消元后转化为一元一次方程求解，最后必须回代检验。题型3：一次方程（组）的实际应用解题思路关键是找准等量关系，可通过列表、画图梳理数量关系；设未知数时要明确单位，列方程（组）时保证左右两边单位统一；求解后必须检验结果是否符合实际场景（如人数、长度为正整数）。题型4：含参数的一次方程（组）问题解题思路将参数看作常数，按常规方法解方程（组），再根据“方程有唯一解、无解、无数解”或“解为正/负数、整数”等条件列关于参数的方程（组）或不等式，求解参数取值范围。题型5：一次方程（组）与图表结合问题解题思路先从表格、折线图、条形图中提取关键数据，分析数据间的数量关系，再根据关系列方程（组）；注意图表中单位、横坐标和纵坐标的含义。三、易错警示三、易错警示一元一次方程解法错误错误：去分母时漏乘常数项；移项不变号；提醒：去分母时每一项都要乘最小公倍数，移项时“过桥变号”，系数化为1时注意符号（系数为负时，不等号方向不变，方程仍需变号）。二元一次方程组消元错误错误：加减消元时系数未统一就加减；代入消元时去括号漏变号；提醒：消元前确保某一未知数系数相等或互为相反数，代入时括号前是负号需变号。实际应用问题出错错误：等量关系找错（如行程问题中相遇与追及混淆）；单位不统一（如速度单位km/h与时间单位min未转化）；检验忽略实际意义（如解为负数或小数，不符合人数、件数等整数要求）；提醒：审题时圈画关键词，明确数量关系，设未知数后先验证等量关系是否成立，求解后必检验实际合理性。含参数问题考虑不全错误：忽略参数的取值限制（如一元一次方程中未知数系数不能为0）；对“无数解”“无解”条件理解不清（如ax=b，a=0且b=0时无数解）；提醒：含参数的一次方程，先保证未知数系数不为0（一元一次方程定义），再根据解的情况列条件。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·河南模拟）下列方程中，与方程x2+xA.x+1=0 B.2x=6 C.12x=1 D.x-2.（24-25·四川中考）若(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0A.8 B.±8 C.±22 D.223.（23-24·广东模拟）小明做作业时发现方程已被墨水污染：3x+12=2x+◼电话询问老师后知道：方程的解x=1A.32 B.-32 C.4.（24-25·四川中考）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（

）A.72(100-x)=60(100+3-x) B.60(100-x)=72(100-5.（24-25·湖南模拟）观察下表可知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=maa1x+ba2x-01…x-15…y642…y320…A.x=1y=2  B.x=4y=5 6.（23-24·江苏模拟）若|3x-5|=x+2，则x的值为（

）A.72或-34 B.-72或34 C.77.（24-25·江苏中考）（3分）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（

）A.17x+19x=1 B.8.（24-25·河北期中）若关于x的方程kx+b=0的解是x=-1，则直线y=kx+2b一定经过点（

A.-2,0 B.0,-1 C.9.（24-25·江苏模拟）已知x=19y=17 是方程组ax+by=5bx+ay=-1 的解，则A.3 B.263 C.0 D.10.（24-25·河北模拟）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩3m2未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修5m2．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m2，设每个房间地面面积xm2，一名初级工人每天装修ym2，下列方程中正确的有（

）

A.①③ B.②④ C.①④ D.②③11.（23-24·甘肃模拟）已知x，y满足方程组3x-y=5-2mx-2y=m ，则无论m取何值，A.4x-3y=5 B.2x+y=5 C.x-y=1 D.12.（23-24·山东模拟）如图，一次函数y=34x+92的图像与y=kx+b的图像相交于点P(-2,n)，则关于x，y的方程组A.x=-2,y=2 B.x=-2,y=313.（24-25·河北模拟）如图，直线l1:y=2x+2交x轴、y轴于A,C两点，直线l2:y=-12x+2交x轴、y轴于B,C两点，点P(m,1)是△ABC内部（不包括边界）的一点，则整数A.3 B.-1 C.2 D.14.（25-26·广东复习）如图，一次函数y=ax+2与y=2x-1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2=2x-1的解是（

）

A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=715.（25-26·湖北模拟）甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走过的距离(单位：m)

和时间(单位：s)的关系如下表所示：

时间/s0.535.58甲走过的距离/m5305580乙走过的距离/m1.251541.2580

则第2秒甲、乙两车间的距离d满足(

)A.20<d<21 B.21<d<22 C.22<d<23 D.23<d<24（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·四川中考）已知x=2是方程3a-2x=2的解，则a=17.（24-25·江苏模拟）已知x=my=n 是方程4x-6y-5=018.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问可以买

斗醇酒和

斗行酒．19.（24-25·全国同步）已知y=1是方程2-13(m-y)=2y的解，求关于x的方程m(x+4)=m(2x+4)的解是20.（23-24·河北模拟）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为___________元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用n个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的n值____________．

21.（23-24·湖南模拟）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长____________尺.（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）22.（24-25·山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+3分别与x轴、y轴交于点A,B，以AB为边作菱形ABCD，其中点D在x轴的正半轴上，点C在第一象限内，则点C的坐标为_______________．23.（24-25·江苏模拟）如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60∘得ON．连接BN，则线段BN的最小值为_________．

24.（25-26·广西模拟）如图，直线l1:y=2x+4与直线l2:y=kx+b相交于点P(1,m)，则方程组y-2x=4y-25.（23-24·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=33x+1与直线l2:y=3x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·湖南模拟）解方程：x227.（23-24·江苏中考）解方程组：2x+y=72x-28.（24-25·河北模拟）定义新运算：对于任意a,b都有a#b=a(a-b)，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：2#1=2（1）计算(m+n)#2n；（2）若2#5x的值是0，求x的值．29.（24-25·河北中考）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在0∼100​∘C（本题涉及的温度均在此范围内），原长为lm的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与温度的增加量x(​∘C)之间的关系均为y=αlx，其中α为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数αCu=1.7×（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高50​（2）求铁的线膨胀系数αFe；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0​∘C30.（24-25·江苏中考）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．

（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片?31.（24-25·广西模拟）甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示：小客车（辆）大客车（辆）合计载客量（人）3110512110（1）求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？（2）若计划租用小客车m辆，大客车n辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满；

①请你设计出所有的租车方案：

②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．32.（25-26·江西模拟）解方程组x+3y=11⋅⋅⋅①2x-y=1⋅⋅⋅② ，下面是两同学的解答过程：

小敏：解：把方程2x-y=1变形为y=2x-1，

再将y=2x-1代入方程①得x+3(2x-（1）小敏的解法依据是_______，运用的方法是_______；

小川的解法依据是_______，运用的方法是_______；

①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结