2026中考第一轮复习数学第6课时：一元二次方程及其应用（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第6课时一元二次方程及其应用一、核心知识一、核心知识（一）一元二次方程的定义与一般形式定义：只含有___________未知数，且未知数的最高次数是__________的整式方程，叫做一元二次方程。一般形式：。二次项：ax²，二次项系数为________；一次项：bx，一次项系数为__________；常数项：。注意：若方程中二次项系数含字母，需保证字母取值使二次项系数不为0，否则不是一元二次方程。（二）一元二次方程的解法直接开平方法：适用于形如的方程，解得。配方法：将方程ax²+bx+c=0（a≠0）化为的形式，步骤为：移项：把常数项移到等号右边，得；化1：两边同时除以____________，得；配方：两边加__________，即；开方：转化为求解。公式法：对于ax²+bx+c=0（a≠0），当Δ≥0时，根为x=。因式分解法：将方程化为的形式，得解x，核心是思想。（三）根的判别式（Δ=b²-4ac）当Δ__________时，方程有两个不相等的实数根；当Δ__________时，方程有两个相等的实数根；当Δ_________时，方程没有实数根；逆用：若方程有两个不相等的实数根，则；若有两个相等的实数根，则；若没有实数根，则。（四）根与系数的关系（韦达定理）对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，Δ≥0），设两根为x₁、x₂，则：x₁+x₂=；x₁·x₂=。常用变形：x₁²+x₂²=；1x1+（五）一元二次方程的应用增长率问题：若初始量为m，平均增长率为x，经过n次增长后量为n，则列方程：；降低率问题则为。利润问题：利润=，设涨价或降价x元，根据利润目标列方程。几何问题：围绕图形的边长、面积等关系，结合图形性质列方程，注意检验解的实际意义。握手/比赛问题：n人握手（或单循环比赛）总次数为________，根据总次数列方程。二、核心能力二、核心能力题型1.定义与一般形式辨析解题思路紧扣“一个未知数、最高次数2、整式方程、a≠0”四个条件，先化简方程再判断，注意含字母系数的情况。题型2.一元二次方程的解法选择解题思路优先选简便方法，能因式分解先因式分解，能直接开平方先开平方；二次项系数为1且一次项系数为偶数时，优先用配方法；所有方程都可用公式法，注意Δ的符号。题型3.根的判别式的应用解题思路先确定方程为一元二次方程（a≠0），再计算Δ，根据根的情况列不等式（或等式）求参数取值范围，注意参数的隐含条件。题型4.韦达定理的应用解题思路先验证Δ≥0，再利用两根和、两根积的关系，结合代数式变形求值，或根据根的特征求参数。题型4.实际应用问题解题思路遵循“审→设→列→解→检→答”步骤，找准等量关系，设合适的未知数，检验解是否符合实际意义（如长度、增长率为正，销量为整数等）。三、易错警示三、易错警示忽略二次项系数不为0错误：判断方程kx²+2x+1=0为一元二次方程时，未强调k≠0；提醒：涉及含字母系数的一元二次方程，首先明确二次项系数≠0。配方时计算错误：错误：将x²-4x-1=0配方时，误写为(x-2)²=1（忘记常数项同步加4）；提醒：配方时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方，保持等式平衡。判别式与韦达定理使用条件混淆：错误：未验证Δ≥0就直接用韦达定理求代数式的值；提醒：韦达定理的使用前提是方程有实数根，即Δ≥0，需先验证再应用。实际应用忽略解的检验：错误：增长率问题解得x=2.5（即250%）未舍去，或几何问题解得边长为负数未排除；提醒：解完方程后，需检验解是否符合实际情境，舍去不合理的解。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·安徽模拟）若关于x的一元二次方程(a-2)x2+4x+a2A.2 B.-2 C.±2 D.02.（23-24·四川中考）若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0A.2 B.-2 C.2或-23.（23-24·山东中考）用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0时，将它转化为(x+a)2=bA.-2024 B.2024 C.-4.（24-25·贵州模拟）根据表格中的信息，估计一元二次方程x2-3x-5=0x--012x5----A.-2<x<-1 B.-1<x<05.（25-26·河南月考）关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是（

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法判断根的情况6.（25-26·全国同步）若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是（A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a7.（23-24·吉林中考）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A.(x-2)2=-8.（23-24·贵州中考）一元二次方程x2-2x=0的解是（

A.x1=3，x2=1 B.x1=2，x2=09.（25-26·广东期中）若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.（25-26·贵州期中）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（

）

A.x(24-2x)=40 B.C.2x(24-2x)=4011.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（

）A.12元 B.10元 C.11元 D.9元12.（25-26·辽宁月考）若关于x的方程x2-mx+3=0的一个根是x1=1，则另一个根x2及A.x2=3，C.x2=213.（25-26·内蒙古复习）若关于x的方程x2-2(m-2)x+m2-2m=0A.-1 B.1 C.-2m14.（24-25·甘肃模拟）对于任意实数a，b，定义新运算“Δ”：aΔb=a2-2ab-b2，例如：2Δ3=22A.27 B.-3 C.-15.（23-24·湖北模拟）方程x2+3x=1的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x=-A.-1<x<-12 C.-13<x<-14

（二）填空题（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·安徽模拟）一元二次方程(1+3x)(x-3)=2x17.（24-25·广东中考）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=018.（25-26·安徽月考）已知m是方程x2+4x-1=0的一个根，则(m+5)(m-1)的值为_____________．19.（24-25·山东模拟）把方程x2-2x-3=0化成(x-20.（24-25·河南模拟）定义运算：a※b=a2+ab-2b221.（25-26·福建期中）已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b，则代数式a22.（24-25·黑龙江中考）已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，则(m+1)(n+1)=__________23.（24-25·山西模拟）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔4km到4.8km的高山环境下，其叶片长度dmm与海拔hkm满足关系式：若d=20mm，则硬叶柳生长的海拔h为____________km．

24.（25-26·四川期中）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为____________．25.（24-25·浙江模拟）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2+px+c，-x2+qx+c（其中p，二次多项式对二次多项式进行因式分解对二次多项式使用配方法2(2x+a)(x+b)2-(x+a)(-

（说明：a，b，m，n，k1，k有学生探究得到以下四个结论：①若p+q=12，则2m+6=n；②若p=q=2，则c=-83；③若有且只有一个x的值，使代数式2x2+px+c的值为0，则p-4q=0；④若（三）解答题（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（24-25·安徽模拟）解方程：（1）x（2）3x(x

27.（25-26·福建期中）设x1，x2是关于x的方程(x-1)(x-（1）当x1=-1时，求（2）求证：(x28.（25-26·内蒙古复习）关于x的方程mx2+(m+2)x+（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若m不存在，请说明理由．29.（25-26·甘肃模拟）已知关于x的方程x2+|a|+1x+b（1）x=1是这个方程的解吗？请说明理由；（2）x1与x30.（23-24·山东模拟）2023年7月28日至8月8日，世界大学生夏季运动会在成都举行，吉祥物蓉宝成为本次大运会的“显眼包”，某电商直播间在7月初以20元一件的成本价购进一大批蓉宝玩偶进行销售．（1）据统计，7月份该直播间共销售蓉宝玩偶3750件，8月8日大运会闭幕后，蓉宝玩偶的销量呈下滑趋势，连续两个月销量下降后，9月份共计销售2400件，8月和9月这两个月销售量的月平均下降率是多少？（2）十一国庆长假期间，该直播间决定利用降价促销的方式提高利润，每件玩偶定价30元，每天可销售80件，若单价每下降0.5元，每天可多售出10件，当每件玩偶定价为多少元时，每天获得的利润最大？31.（25-26·全国模拟）如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）：

（1）设垂直于墙的边长AC为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式；（2）结合二次函数性质，求S的最大值；（3）（变式）若分隔篱笆长度EF为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化．32.（24-25·江苏模拟）【方法学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“a2问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用．例如：求a2解：a2∵(a+2∴(a+2)2+1≥1，所以当最小值为1．【问题解决】（1）当x为何值时，代数式x2（2）如图1，是一组邻边长分别为7，2a+5的长方形，其面积为S1；图2是边长为a+6的正方形，面积为S2，a>0，请比较S1与S233.（24-25·福建模拟）我们规定：当a≥0，b≥0时，由(a-b)2=a-2ab+b≥0，得a+b≥2ab当且仅当a=b时，取到等号．已知x>0（1）2+3_____22×3（用“=”“>（2）当x>0，式子x+9x的最小值为（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是8和14，求四边形

34.（21-22·湖北中考）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程x22-13x方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m，n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠根据上述材料，解决以下问题：直接应用：方程x4-5（2）间接应用：

已知实数a，b满足：2a4-7a2+1=0（3）拓展应用：已知实数x，y满足：1m4+1m2=735.（23-24·上海模拟）对于一些比较复杂的方程，可以利