2026中考第一轮复习数学第8课时：一次不等式（组）及其应用（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第8课时分式方程及其应用一、核心知识一、核心知识（一）不等式的相关定义不等式：用____________表示不等关系的式子。一元一次不等式：只含有___________未知数，且未知数的次数是__________，不等号两边都是整式的不等式。一元一次不等式组：由几个含有_________未知数的一元一次不等式组成的不等式组。不等式（组）的解集：使不等式（组）成立的未知数的____________，解集在数轴上表示时，含等号用____________，不含等号用____________，大于向右画，小于向左画。（二）不等式的基本性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向___________。性质2：不等式两边乘（或除以）同一个__________，不等号方向不变。性质3：不等式两边乘（或除以）同一个__________，不等号方向____________（中考高频考点）。注意：性质3是易错点，乘除负数时必须记得改变不等号方向。（三）一元一次不等式的解法基本步骤（与解一元一次方程类似）：去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意不含分母的项也要___________。去括号：遵循去括号法则，括号前是负号时，括号内各项要____________。移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要___________。合并同类项：将同类项合并，化为等形式。系数化为1：两边同除以未知数的系数a，若a<0，不等号方向____________。（四）一元一次不等式组的解法分别求出不等式组中____________的解集。借助数轴或口诀确定公共解集：同大取大：两个解集都是大于，取____________。同小取小：两个解集都是小于，取__________。大小小大中间找：一个大于小数、一个小于大数，解集为两数之间。大大小小找不到：一个大于大数、一个小于小数，无解。（五）一次不等式（组）的应用常见题型：方案设计问题、最值问题、行程问题、工程问题、利润问题等。核心关键词：“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不超过”（≤）、“不低于”（≥）、“大于”（>）、“小于”（<）。解题步骤：。二、核心能力二、核心能力题型1.不等式的性质应用解题思路紧扣不等式的三个性质，重点关注性质3（乘除负数变号），判断变形过程是否符合性质要求，可通过代入特殊值验证。题型2.一元一次不等式（组）的求解与解集表示解题思路严格遵循解法步骤，去分母、移项时避免漏乘、漏变号；数轴表示解集时，先定边界点类型（实心/空心），再定方向（左/右）；不等式组解集需结合数轴或口诀快速确定。题型3.含参数的不等式（组）问题解题思路先解不含参数的不等式（组），再根据题目给出的解集、整数解个数等条件，列出关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围，注意边界值的取舍（是否含等号）。题型4.实际应用问题解题思路三、易错警示抓住题目中的不等关键词，准确转化为数学不等关系；设未知数时优先设直接未知数，若涉及整数解（如人数、件数），需在解集范围内取符合实际的整数。三、易错警示去分母漏乘常数项错误：解不等式2xx−1>6（漏乘常数项-1）；提醒：去分母时，不等式两边的每一项（包括常数项）都要乘最小公倍数。系数化为1忘变号错误：解不等式−2x>4时，解得x>−2（未变号）；提醒：系数为负数时，系数化为1必须改变不等号方向，正确解为x<−2。数轴表示解集出错错误：解集x≥2用空心圆点表示，或解集x<1向右画；提醒：含等号用实心圆点，不含等号用空心圆点，大于向右、小于向左。含参数问题忽略边界值错误：不等式组x<3x>a解集为a<x<3提醒：根据“是否包含边界值”分类讨论，可代入边界值验证是否符合题意。实际应用忽略自变量取值范围错误：方案设计问题中，解得人数为小数未取整数；提醒：实际问题中，自变量常为正整数，需在解集范围内筛选符合实际的解。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·河北模拟）若不等式“x◼3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（A.≤ B.< C.≥ D.>2.（24-25·广西中考）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a>b，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（

）A.a+c>b+c B.a+c=b+c C.a+c<b+c D.a3.（24-25·广东模拟）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（

）

A.b+c>3 B.a-c<0 C.|a|>|c|4.（24-25·河南模拟）如图,天平左盘中物体A的质量为mg,,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则m的取值范围在数轴上可表示为()

A. B.

C. D.5.（24-25·贵州模拟）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（

）A. B.

C. D.6.（24-25·内蒙古中考）不等式组x-1≥0x<3A.B.C.D.

7.（24-25·广东模拟）若关于x,y的方程组2x+5y=3mx-3y=2+m 的解满足3x+2y>7，则mA.4 B.3 C.2 D.18.（23-24·江苏模拟）在平面直角坐标系中，点D(n, y1)，E(3, y2)在抛物线y=-A.n>3或n<-1 B.n>3 C.n<9.（25-26·全国模拟）如图是某机器零件的设计图纸,在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸,正确的是(

)

A. B.

C. D.

10.（24-25·湖北模拟）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（

）

A.2<x≤4 B.2≤x<411.（24-25·天津模拟）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E,F分别为边AB,CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF,FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论：

①AD的长可以是10m；

②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m；

③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m．

其中，正确结论的个数是（

）

A.0 B.1 C.2 D.312.（24-25·江苏模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=3A.2 B.3 C.7 D.1113.（25-26·广东模拟）已知一次函数y=-x+2与y=mx+n(m,n为常数，m≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式-x+2>mx+n的解集在数轴上表示正确的是（

）

A.B.C.D.14.（24-25·浙江模拟）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（

）A.x+10%x<20 B.x+10%x≤C.1+10%x>20 D.15.（24-25·四川中考）若关于x的不等式组3x-12≤x+2x+1≥-x+a 至少有两个正整数解，且关于xA.8 B.14 C.18 D.38（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·北京模拟）已知命题“若a>b，则ac>bc”是假命题，则c的值可以是__________________．17.（24-25·江苏模拟）已知a、b、c均为正数，且a2+b2-c218.（24-25·吉林模拟）已知(m-3)x|m-2|≤5是关于19.（24-25·四川中考）若式子m-1m+2在实数范围内有意义，则m的取值范围是________20.（23-24·江苏中考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v(kmh)的取值范围是______________．

21.（24-25·黑龙江中考）关于x的不等式组2x-3≤0x-a>0 恰有22.（24-25·四川中考）不等式组x-3>-1-x<-m+1 23.（25-26·甘肃模拟）如图，一次函数y=-x-2与y=kx+b的图象交于点P(n,-4)，则关于x的不等式kx+b<-24.（23-24·青海模拟）如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A-12,0，B(2,0)，则不等式组kx+b<0mx+n<0 的解集是_____________25.（24-25·河南模拟）如图，直线l1:y=x+3与直线l2:y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是

解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·河南模拟）解不等式：x+13-1≤2-x2，把它的解集表示在数轴上．27.（24-25·江西模拟）解不等式组2x+1≤3①（1）解不等式①，得______；（2）解不等式②，得______；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为_____．28.（24-25·广西模拟）求不等式1+x3≥x-1的正整数解．29.（24-25·四川中考）解不等式：3x-26-x+33≤1；

(2)先化简，再求值：130.（25-26·江苏模拟）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）．

我们规定：当n=0时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．

例如：不等式x+1<6只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．

不等式组x+1>2，2x-3<7. 只有3个正整数解，因此称其为3（1）x<12是______阶不等式；x>1，（2）若关于x的不等式组x≥1，x<a. （3）关于x的不等式组x≥p，x<m. 的正整数解有a1，a2，a3，a4，…，其中a1<a2<a3<a431.（24-25·山东模拟）若关于x的不等式组2x+1>x+ax2+1≥52x32.（24-25·辽宁模拟）桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用50m长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场MNPQ（篱笆只围PQ,PN两边），并在PQ,PN两边上各开一个1m宽的门，设PQ=xm．

（1）若养殖场的面积为Sm2，求：S关于（2）若在直角墙角内点A处有一水池，且与墙MQ,MN的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为352m2？若能，求出33.（24-25·山东模拟）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？34.（24-25·福建模拟