2026中考第一轮复习数学第9课时：方程与不等式的应用（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第9课时方程与不等式的应用一、核心知识一、核心知识（一）四大方程核心定义与应用场景一元一次方程：含1个未知数且次数为1的整式方程（ax+b=0，a≠0），适用于单一等量关系+不等式限定范围的问题（如购物预算、人数分配）。二元一次方程组：两个含相同未知数的二元一次方程组成，适用于两个关联等量关系+不等式筛选方案（如两种商品采购、行程相遇）。一元二次方程：含1个未知数且最高次数为2的整式方程（ax²+bx+c=0，a≠0），适用于增长率、利润最值、几何面积等需二次关系表达的问题。分式方程：分母含未知数的方程，适用于比例关系、行程（速度未知）、工程（效率未知）问题，解后必须检验增根。（二）方程与不等式联用核心逻辑共性解题步骤：审（找等量/不等关系）→设（未知数）→列（方程+不等式）→解（方程/不等式组）→验（解的合理性）→答。联用核心场景：方程求“具体关系”（如未知数表达式、数量关联），不等式定“范围边界”（如正整数解、费用上限）。参数问题：通过方程表示未知数，代入不等式求参数取值范围。实际应用：用不等式筛选方程的符合题意解（如人数、件数为正整数）。（三）四大方程与不等式联用模型方程类型核心等量关系常用不等关系高频应用场景一元一次方程总量=部分和、单价×数量=总价至少（≥）、最多（≤）、不超过预算控制、行程速度限定二元一次方程组两种量的总量关系、两种量的配比关系某量不少于另一量、总量上限两种商品采购方案、人员分配一元二次方程增长率：a(1±x)ⁿ=b、总利润=单件利润×销量利润≥目标值、根为正/负利润最值、面积限定、增长率范围分式方程路程/速度=时间、工作量/效率=时间速度/效率为正数、完成时间≤期限行程追及相遇、工程进度控制二、核心能力二、核心能力（一）一元一次方程与不等式综合题型1：已知方程的解满足不等式，求参数范围解题思路先解一元一次方程得x=k（k含参数），代入不等式建立关于参数的不等式，注意方程系数不为0的隐含条件。题型2：实际问题中的方程+不等式建模解题思路用方程表示数量关联，用不等式限定实际意义（如正整数、费用上限），筛选符合条件的解。（二）二元一次方程组与不等式综合题型1：方程组的解满足不等式，求参数范围解题思路消元法解方程组得x、y的参数表达式，代入不等式（组），求解参数范围。题型2：方案设计类（方程组+不等式组）解题思路用方程组求两种量的单价/效率，用不等式组限定总量/费用，列举所有正整数解作为方案。（三）一元二次方程与不等式综合题型1：根的特征结合不等式求参数解题思路用判别式Δ判断根的个数，用韦达定理表示根的和/积，结合根的特征（正根、异号根）列不等式组，注意a≠0。题型2：增长率/利润问题中的不等式限定解题思路用一元二次方程表示增长/利润关系，用不等式设定目标边界（如利润≥某值），求解符合条件的解。（四）分式方程与不等式综合题型1：分式方程的解满足不等式解题思路去分母转化为整式方程求解，检验分母不为0，再代入不等式求参数范围。题型2：增根与不等式结合解题思路先求分式方程的增根（使分母为0的x值），将增根代入整式方程得参数表达式，再结合不等式限定参数范围。三、易错警示三、易错警示一元一次方程：移项未变号导致解错误，代入不等式后参数范围失真；忽略实际意义（如负解未舍去）。二元一次方程组消元时符号计算错误，导致x、y表达式出错；漏列不等式组（如仅考虑一个量的范围）。一元二次方程忽略二次项系数a≠0；未验证Δ≥0直接用韦达定理；增长率问题中舍去负根不说明理由。分式方程四、真题演练解后未检验增根；忽略不等式中分母不为0的隐含条件。四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·天津中考）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（

）A.240x=150(x+12) B.240x=150(x-12)

C.150x=240(x+12) D.150x=240(x-【答案】A【解析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系．

设快马用x天追上慢马，快马的总路程为240x里，慢马的总路程为150(x+12)里，根据题意，列出方程即可．【解答】解：设快马用x天追上慢马，快马的总路程为240x里，慢马的总路程为150(x+12)里，根据题意得：

240x=150(x+12)．

故选：A2.（24-25·四川中考）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（

）A.72(100-x)=60(100+3-x) B.60(100【答案】B【解析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为60(100-x)，实际利润为72(100-【解答】解：设每套成本为x元．原计划利润为60(100-x)元；实际购买时利润为72(100-3-x)元．

根据题意得：60(100-x)=72(100-33.（24-25·新疆模拟）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（

）

A.x+y=15x=3y  B.x+y=152x=3y 【答案】A【解析】设每一个小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的宽为15及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设每一个小长方形的长为x，宽为y，

依题意，得：x+y=15x=3y ．

故选：A．4.（25-26·山东模拟）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）（

）A.x-y=5y-12【答案】A【解析】此题暂无解析【解答】A

5.（24-25·广西模拟）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（

）A.x+y=350040x-40y=20000C.x=3500-y40y【答案】C【解析】本题考查了二元一次方程组的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键．该书店第一次购进x套，则第二次购进y套，根据两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，列方程组．【解答】解：∵该书店第一次购进x套，第二次购进y套，两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元，

∴x=3500-y40y-40x=20000 ．

故选：6.（24-25·山东模拟）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（

）A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864

C.【答案】A【解析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为(60-x)步，利用矩形面积公式即可列出方程.【解答】解：设宽为x步，则长为(60-x)步

由题意，得：x(60-x)=864，

故选：A.7.（24-25·贵州模拟）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（

）

A.x(24-2x)=40 B.x(24-x)=40C.2x(24-2x)=40【答案】A【解析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.【解答】解：设矩形的宽为xm，则矩形的宽为(24-2x)m，

∴x(24-2x)=40

故选：A.8.（24-25·河南模拟）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（

）A.6000(1+x)2=6200 B.6000(1-【答案】A【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键．

根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以(1+x)2，即可建立方程．【解答】解：设该书店每月盈利的平均增长率为x，

由题意得：6000(1+x)2=6200，

故选：A．

9.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（

）A.12元 B.10元 C.11元 D.9元【答案】B【解析】设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．【解答】设应降价x元则根据题意，等量方程为：(65-x-45)(30+5x)=800

解得：x=4或x=10

∵要尽快较少库存，∴x=4舍去

故此题答案为B．10.（23-24·山西中考）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（

）A.4000x=2×3200x+3 B.【答案】A【解析】题目主要考查分式方程的应用，设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为(x+3)元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍”列出分式方程即可，理解题意是解题关键．【解答】解：设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为(x+3)元，

根据题意得：4000x=2×3200x+3，

故选：A．11.（23-24·四川中考）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（

）A.1201.2x-120x=30 B.【答案】D【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，再根据时间=工作总量÷工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．【解答】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，

由题意得120x-1201.2x=3060，

故选：12.（23-24·广东模拟）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了

道题．（

）A.17 B.18 C.19 D.16【答案】B【解析】设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有20-x道题，再根据答对一题得5分，答错或不答一道题扣1分列出不等式求解即可．【解答】解：设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有20-x道题，由题意得，5x-20-x≥85，

解得x≥17.5，

∵x为正整数，

∴x的最小值为18，

∴13.（24-25·天津模拟）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E,F分别为边AB,CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF,FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论：

①AD的长可以是10m；

②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m；

③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m．

其中，正确结论的个数是（

）

A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得AD=EF=BC，AB=CD，即得3AD+CD=45，可得3AD≥45-21，得到AD≥8，即可判断①；设AD=BC=EF=xm，则【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，E,F分别为边AB,CD的中点，

∴AD=EF=BC，AB=CD，

∵篱笆的长度是43m，

∴AD+BC+EF+CD-2=43，

∴3AD+CD=45，

∵AB的长不超过21m，

∴3AD≥45-21，

∴AD≥8，

∴AD的长可以是10m，故①正确；

②设AD=BC=EF=xm，则CD=AB=43-3x+2=45-3x，

∴S矩形ABCD=AD⋅CD=x(45-3x)，

当x(45-3x)=150时，解得x1=5，x2=10，

∵AD≥8，

∴x=10，

∴BC

14.（24-25·福建模拟）根据以下对话，

给出下列三个结论：

①1班学生的最高身高为180cm；

②1班学生的最低身高小于150cm；

③2班学生的最高身高大于或等于170cm．

上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】C【解析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，根据1班班长的对话，得x≤180，x+a=350，然后利用不等式性质可求出a≥170，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得b>140，y+b=290，然后利用不等式性质可求出【解答】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，

根据1班班长的对话，得x≤180，x+a=350，

∴x=350-a

∴350-a≤180，

解得a≥170，

故①错误，③正确；

根据2班班长的对话，得b>140，y+b=290，

∴b=290-y，

∴15.（24-25·河北模拟）如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为ts．有下列结论：①当t=2s时，PQ=82mm；②△PBQ的面积可以为35mm2；③t=1s时的四边形APQC的面积大于A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得BQ=4tmm，BP=(12-2t)mm，据此求出t=2s时，BQ,BP的长，再利用勾股定理求出此时PQ的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到S△BQP=-4t2+24t，则可建立方程【解答】解：由题意得，AP=2tmm，BQ=4tmm，

∴BP=AB-AP=(12-2t)mm，

当t=2s时，则BP=8mm，BQ=8cm，

∵∠B=90∘，

∴PQ=BP2+BQ2=82mm，故①说法正确；

S△BQP=12PB⋅BQ=12⋅4t(12-2t)=-4t2+24t，

当△PBQ的面积为35mm2时，则-4t2+24t=35，

整理得4t2-24t+35=0，解得t=52或t=72（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·河北中考）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b=_____99_______．

【答案】99【解析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为：13a=25b，设叠部分的长度为k，则a=3k，b=52【解答】解：由题意可知：重叠部分为：13a=25b，

设重叠部分的长度为k，则a=3k，b=52k，

重叠后的总长度为：a-k+(b-k)+k=81，即a+b-k=81，

代入a=3k，b=52k得：3k+52k-17.（24-25·甘肃模拟）学习情境·阅读理解

阅读下列材料：设x=0.3˙=0.333⋅⋅⋅，则10x=3.333⋅⋅⋅，则由10x-x=9x=3，即x=13．所以0.3˙=0.333⋅⋅⋅=【答案】79,43【解析】本题主要考查一元一次方程的应用．掌握题干中给定的无限循环小数化为分数的方法是解题的关键．

分别根据题中给定方法解答即可．【解答】解：设x=0.7˙=0.777⋯①，则：10x=7.777⋯②，

则由②-①得：9x=7，

∴x=79，即0.7.=79；

设y=1.3.=1.333⋯①，则：10y=13.333⋯②，

则由②-①得：9x=1218.（23-24·河南模拟）解方程组ax+by=2cx-7y=8 时，一学生把c看错而得到x=-2,y=2, 【答案】11【解析】将错误的解和正确的解分别代入方程组，得出b-a=1和3a-2b=2，c=-2，联立关于a,b【解答】将x=-2,y=2, 代入方程组，得b-a=1①

将x=3,y=-2, 代入方程组，得3a-2b=2②，c=-2

①②联立，得

b-19.（25-26·全国模拟）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知(x-1)5=ax5+bx4+cx3+dx【答案】-15【解析】本题考查代数式求值，解方程组，当x=1时，得到a+b+c+d+e=1①，当x=-1时，得到a-b+c-【解答】解：当x=1时，0=a+b+c+d+e+f，

∵f=-1，

∴a+b+c+d+e=1①，

当x=-1时，-32=-a+b-c+d-e-1，

∴a-b+c20.（25-26·福建月考）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程为_____1000(1+x)2=1440【答案】1000(1+x)2【解析】根据第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆列方程即可．【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，

根据题意可得，1000(1+x)2=1440，

故答案为：1000(1+x)2=1440．21.（24-25·四川模拟）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为______30%______．【答案】30%【解析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．

设该种药品平均每场降价的百分率为x，根据原价为200元可以表示出两次降价后的价格200(1-x)2，结合现在仅卖98元/瓶，列出关于【解答】解：该种药品平均每场降价的百分率为x，

根据题意得200(1-x)2=98，

解得x=0.3或x=1.7，

由于x是平均每次降价的百分率，所以0<x<1，

故x=1.7舍去，

即x=0.3=30%．

故答案为30%．22.（24-25·江苏模拟）如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是______1_________．

【答案】1【解析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为x，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解．【解答】解：设这个数为x，则有x2-x+1=x

x2-2x+1=0，

(x-1)2=0，

x-1=0，

23.（23-24·内蒙古中考）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为________55_______元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_____1260__________元．【答案】55,1260【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为x元，则小号“龙辰辰”的单价为(x-15)元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为a个，则购进大号“龙辰辰”的数量为(60-a)个，先求出a的取值范围，再设该网店所获利润为w元，建立w关于【解答】解：设大号“龙辰辰”的单价为x元，则小号“龙辰辰”的单价为(x-15)元，

由题意得：2400x-15=1.5×2200x，

解得x=55，

经检验，x=55是所列分式方程的解，

所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元．

设购进小号“龙辰辰”的数量为a个，则购进大号“龙辰辰”的数量为(60-a)个，

由题意得：0<60-a≤12a，

解得40≤a<60，

设该网店所获利润为w元，

则w=(60-40)a+60×(1+30%)-55(60-a)=-3a+138024.（24-25·北京模拟）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，请根据题意列出方程______36x-36【答案】36x-【解析】本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．设乙公司每天安装x间教室，根据乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列式即可得到答案．【解答】解：设乙公司每天安装x间教室，由题意可得，

36x-361.5x=3，

故答案为：3625.（24-25·山东中考）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍，则mn=_______2+32__________．【答案】2+32【解析】首先表示出四边形EFGH的面积和四边形ABCD面积，然后根据题意得到m2+n24=2m2-mn+n【解答】解：根据题意得，四边形EFGH的面积=m2+n22=m2+n24

四边形ABCD面积=m-n22=m2-mn+n24

∵四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍

∴m2+（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（24-25·湖南模拟）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价-进价）【答案】A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件y=10x+60(0≤A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元【解析】（1）本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，

(1)根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132-x)元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；

(2)根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；

(3)结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【解答】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132-x)元．

根据题意得3x+5(132-x)=540．

解得x=60．

则每件B类特产的售价132-60=72（元）．

答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为（2）由题意得y=10x+60

∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价

∴0≤x≤（3）w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)

=-10x2+40x+1800=-10(x-2)2

27.（24-25·云南中考）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运(x+20)千克化工原料，根据机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可．【解答】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运(x+20)千克化工原料，

由题意得，800x=1000x+20，

解得x=80，

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，

∴x+20=100，

答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．28.（24-25·贵州中考）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280t．（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2000t，至少需要安装多少条A型生产线？【答案】一条A型生产线每月生产抹茶120t，一条B型生产线每月生产抹茶80t至少需要安装3条A型生产线【解析】（1）设一条A型生产线每月生产抹茶xt，一条B型生产线每月生产抹茶yt，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280t”建立二元一次方程组求解；（2）设需要安装m条A型生产线，则安装B种生产线(5-m)条，根据“4个月生产抹茶不少于【解答】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶xt，一条B型生产线每月生产抹茶yt，

由题意得：x+y=200x+2y=280 ，

解得：x=120y=80 ，

答：一条A型生产线每月生产抹茶120t，一条B型生产线每月生产抹茶（2）解：设需要安装m条A型生产线，则安装B种生产线(5-m)条，

由题意得：40×120m+80(5-m)≥2000，

解得：m≥2.5，

∵m为正整数，

∴m29.（24-25·黑龙江中考）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？（3）设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？【答案】购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要88元和68元方案一：购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个；方案二：购买“蜀宝”7个，购买“锦仔”23个；方案三：购买“蜀宝”8个，购买“锦仔”22个；方案一需要的资金最少，最少资金是2160元【解析】（1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要x元和y元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可；（2）设购买“蜀宝”m个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可；（3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．【解答】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要x元和y元，由题意，得：

3x+y=3322x+3y=380 ，解得：x=88y=68 ；

答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要88元和（2）解：设购买“蜀宝”m个，则：购买“锦仔”(30-m)个；

∴2160≤88m+68(30-m)≤2200，

解得：6≤m≤8，

∴m=6,7,8，

30-m=24,23,22；

∴共有3种方案：

方案一：购买“蜀宝”（3）解：由题意，得：W=88m+68(30-m)=20m+2040，

∴W随着m的增大而增大，

∴当m=6时，即方案一需要的资金最少，最少资金是20×6+2040=2160（元）；

答：方案一需要的资金最少，最少资金是30.（24-25·江西模拟）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．

【答案】12m【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为xm，根据题意可知种植园的面积等于一个长为(20-4x)m，宽为(14-【解答】解：设小路的宽度为xm，

由题意得，(20-4x)(14-4x)=24×9，

整理得2x2-17x+8=0，

解得x=12或31.（24-25·湖北模拟）某商店出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系：y=-100x+20000，已知该商品的成本是10元/件，售价不低于成本价且不高于20（1）若该商品的日销售量为200盒，求该商品的每件售价是多少元？（2）在条件（1）下，该商店决定在假日期间采用降价促销的方式回馈顾客，当该商品每件降价多少元时，商店的日销售纯利润为2500元．【答案】18元．3（元），

【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：∵日销售量为200盒，

∴把y=200代入y=-100x+2000

得：200=-100x+2000

解得：

x=18

答：若该商品的日销售量为200盒时，该商品的售价是每件（2）设销售单价为m元时，销售利润为2500元，

根据题意得：

-100m+2000m-10=2500．

整理得：

m2-30m+225=0

解得：m1=m2=15

∴32.（24-25·全国模拟）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．【答案】乙种商品每件进价的年平均下降率为20%最少购进甲种商品40件【解析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出【解答】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，

由题意得，125(1-x)2=80，

解得x=0.2=20%或x=1.8（舍去），

（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件，

由题意得，(125-25×2)m+80(100-m)≤7800，

∴75m+8000-80m≤7800，

解得m33.（23-24·四川模拟）某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元．（1）该商店第一次购进这种水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售，若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？【答案】100千克15元【解析】（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可；（2）设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于950元列出不等式，然后求解即可得出答案．【解答】（1）解：设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克．

由题意，得1000x+2=24002x，

解得x=100．

经检验，x=100是所列方程的解．

答：该商店第一次购进水果（2）设每千克这种水果的标价是y元，则

(100+100×2-20)⋅y+20×0.5y≥1000+2400+950，

34.（24-25·黑龙江中考）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地