2026中考第一轮复习数学第9课时：方程与不等式的应用（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第9课时方程与不等式的应用一、核心知识一、核心知识（一）四大方程核心定义与应用场景一元一次方程：，适用于单一等量关系+不等式限定范围的问题（如购物预算、人数分配）。二元一次方程组：，适用于两个关联等量关系+不等式筛选方案（如两种商品采购、行程相遇）。一元二次方程：，适用于增长率、利润最值、几何面积等需二次关系表达的问题。分式方程：，适用于比例关系、行程（速度未知）、工程（效率未知）问题，解后必须检验增根。（二）方程与不等式联用核心逻辑共性解题步骤：审（找等量/不等关系）→设（未知数）→列（方程+不等式）→解（方程/不等式组）→验（解的合理性）→答。联用核心场景：方程求“具体关系”（如未知数表达式、数量关联），不等式定“范围边界”（如正整数解、费用上限）。参数问题：通过方程表示未知数，代入不等式求参数取值范围。实际应用：用不等式筛选方程的符合题意解（如人数、件数为正整数）。（三）四大方程与不等式联用模型方程类型核心等量关系常用不等关系高频应用场景一元一次方程总量=部分和、单价×数量=总价至少（≥）、最多（≤）、不超过预算控制、行程速度限定二元一次方程组两种量的总量关系、两种量的配比关系某量不少于另一量、总量上限两种商品采购方案、人员分配一元二次方程增长率：a(1±x)ⁿ=b、总利润=单件利润×销量利润≥目标值、根为正/负利润最值、面积限定、增长率范围分式方程路程/速度=时间、工作量/效率=时间速度/效率为正数、完成时间≤期限行程追及相遇、工程进度控制二、核心能力二、核心能力（一）一元一次方程与不等式综合题型1：已知方程的解满足不等式，求参数范围解题思路先解一元一次方程得x=k（k含参数），代入不等式建立关于参数的不等式，注意方程系数不为0的隐含条件。题型2：实际问题中的方程+不等式建模解题思路用方程表示数量关联，用不等式限定实际意义（如正整数、费用上限），筛选符合条件的解。（二）二元一次方程组与不等式综合题型1：方程组的解满足不等式，求参数范围解题思路消元法解方程组得x、y的参数表达式，代入不等式（组），求解参数范围。题型2：方案设计类（方程组+不等式组）解题思路用方程组求两种量的单价/效率，用不等式组限定总量/费用，列举所有正整数解作为方案。（三）一元二次方程与不等式综合题型1：根的特征结合不等式求参数解题思路用判别式Δ判断根的个数，用韦达定理表示根的和/积，结合根的特征（正根、异号根）列不等式组，注意a≠0。题型2：增长率/利润问题中的不等式限定解题思路用一元二次方程表示增长/利润关系，用不等式设定目标边界（如利润≥某值），求解符合条件的解。（四）分式方程与不等式综合题型1：分式方程的解满足不等式解题思路去分母转化为整式方程求解，检验分母不为0，再代入不等式求参数范围。题型2：增根与不等式结合解题思路先求分式方程的增根（使分母为0的x值），将增根代入整式方程得参数表达式，再结合不等式限定参数范围。三、易错警示三、易错警示一元一次方程：移项未变号导致解错误，代入不等式后参数范围失真；忽略实际意义（如负解未舍去）。二元一次方程组消元时符号计算错误，导致x、y表达式出错；漏列不等式组（如仅考虑一个量的范围）。一元二次方程忽略二次项系数a≠0；未验证Δ≥0直接用韦达定理；增长率问题中舍去负根不说明理由。分式方程四、真题演练解后未检验增根；忽略不等式中分母不为0的隐含条件。四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·天津中考）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（

）A.240x=150(x+12) B.240x=150(x-12)

C.150x=240(x+12) D.150x=240(x-2.（24-25·四川中考）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（

）A.72(100-x)=60(100+3-x) B.60(1003.（24-25·新疆模拟）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（

）

A.x+y=15x=3y  B.x+y=152x=3y 4.（25-26·山东模拟）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）（

）A.x-y=5y-125.（24-25·广西模拟）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（

）A.x+y=350040x-40y=20000C.x=3500-y40y6.（24-25·山东模拟）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（

）A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864

C.7.（24-25·贵州模拟）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（

）

A.x(24-2x)=40 B.x(24-x)=40C.2x(24-2x)=408.（24-25·河南模拟）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（

）A.6000(1+x)2=6200 B.6000(1-9.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（

）A.12元 B.10元 C.11元 D.9元10.（23-24·山西中考）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（

）A.4000x=2×3200x+3 B.11.（23-24·四川中考）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（

）A.1201.2x-120x=30 B.12.（23-24·广东模拟）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了

道题．（

）A.17 B.18 C.19 D.1613.（24-25·天津模拟）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E,F分别为边AB,CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF,FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论：

①AD的长可以是10m；

②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m；

③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m．

其中，正确结论的个数是（

）

A.0 B.1 C.2 D.3

14.（24-25·福建模拟）根据以下对话，

给出下列三个结论：

①1班学生的最高身高为180cm；

②1班学生的最低身高小于150cm；

③2班学生的最高身高大于或等于170cm．

上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③15.（24-25·河北模拟）如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为ts．有下列结论：①当t=2s时，PQ=82mm；②△PBQ的面积可以为35mm2；③t=1s时的四边形APQC的面积大于t=5sA.0个 B.1个 C.2个 D.3个（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·河北中考）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b=____________．

17.（24-25·甘肃模拟）学习情境·阅读理解

阅读下列材料：设x=0.3˙=0.333⋅⋅⋅，则10x=3.333⋅⋅⋅，则由10x-x=9x=3，即x=13．所以0.3˙18.（23-24·河南模拟）解方程组ax+by=2cx-7y=8 时，一学生把c看错而得到x=-2,y=2,19.（25-26·全国模拟）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知(x-1)5=ax5+bx4+cx3+d20.（25-26·福建月考）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量为1440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程为____________．21.（24-25·四川模拟）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为___________．22.（24-25·江苏模拟）如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是_______________．

23.（23-24·内蒙古中考）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为______________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为____________元．24.（24-25·北京模拟）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，请根据题意列出方程______________．25.（24-25·山东中考）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍，则mn=________________．

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（24-25·湖南模拟）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价-进价）27.（24-25·云南中考）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．28.（24-25·贵州中考）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280t．（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2000t，至少需要安装多少条A型生产线？29.（24-25·黑龙江中考）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？（3）设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？30.（24-25·江西模拟）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．

31.（24-25·湖北模拟）某商店出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系：y=-100x+20000，已知该商品的成本是10元/件，售价不低于成本价且不高于20（1）若该商品的日销售量为200盒，求该商品的每件售价是多少元？（2）在条件（1）下，该商店决定在假日期间采用降价促销的方式回馈顾客，当该商品每件降价多少元时，商店的日销售纯利润为2500元．32.（24-25·全国模拟）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．33.（23-24·四川模拟）某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用2400元人民币购进