2026中考第一轮复习数学第2课时：整式与因式分解（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第2课时整式与因式分解一、核心知识一、核心知识1.整式的相关概念：单项式：由组成的代数式，数字因数叫做___________，所有字母指数的和叫做_________（单独的数或字母也是单项式）。多项式：由几个单项式相加组成的代数式，次数最高的项的次数叫做多项式的_______，不含字母的项叫做_________。整式：_________和_________统称为整式。同类项：所含___________相同，且相同字母的___________也相同的项叫做同类项；所有常数项都是同类项。2.幂的运算（a≠0，m、n为整数）：幂的运算（m、n为整数，a≠0）同底数幂相乘：。同底数幂相除：。幂的乘方：。积的乘方：。零指数幂：。负整数指数幂：。3.整式的运算：整式加减：先去括号（括号前是负号，括号内各项要________），再合并同类项（只把系数相加，字母和字母的指数_________）。单项式乘单项式：相乘，相同分别相乘，单独字母连同指数作为积的因式。单项式乘多项式：。多项式乘多项式：。乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：。整式除法：单项式除以单项式，，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式，先，再。4.因式分解：定义：把一个多项式化成几个__________的形式，与整式乘法是__________运算。基本方法：提公因式法：；公式法：；十字相乘法：。分解步骤：一_________（提取公因式）、二___________（运用公式）、三________（分解彻底，直到不能再分解为止）。二、核心能力二、核心能力题型1：同类项判断与合并解题思路先看字母是否完全相同，再看相同字母的指数是否一致（与系数无关）；合并时仅合并系数，字母和指数保持不变。题型2：幂的运算解题思路紧扣运算法则，区分不同运算类型（相乘/相除/乘方），注意符号法则（负数的偶次幂为正，奇次幂为负），零指数幂和负整数指数幂的限制条件（a≠0）。题型3：整式混合运算：解题思路遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序；灵活运用乘法公式简化运算，避免直接展开繁琐计算。题型4：因式分解：解题思路优先提取公因式，再根据项数选择方法——两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式或十字相乘法，四项及以上考虑分组分解；分解后必须检查是否彻底。题型5：乘法公式的应用解题思路正向应用公式直接计算，逆向应用用于因式分解或代数式变形；遇到复杂式子可通过凑整、换元转化为公式形式（如a²+b²可转化为(a+b)²-2ab）。题型6：代数式求值：解题思路先化简代数式（整式运算或因式分解），再代入数值计算；或利用整体代入思想（如已知a+b=3，直接代入含a+b的表达式），简化计算步骤。三、易错警示三、易错警示同类项判断错误错误：认为3x²y与-2xy²是同类项（字母相同但指数不同）；提醒：同类项需满足“字母相同且相同字母指数相同”，与字母顺序无关。幂的运算符号与法则混淆错误：(-a)²=-a²，a³・a²=a⁶，(a³)²=a⁵；提醒：(-a)²=a²（负数偶次幂为正），同底数幂相乘指数相加，幂的乘方指数相乘。乘法公式应用漏项错误：(a+b)²=a²+b²，(a-b)(a+b)=a²+b²；提醒：完全平方公式需含中间项“±2ab”，平方差公式结果为“a²-b²”，注意符号。因式分解不彻底或形式错误错误：2x²-8=2(x²-4)（未分解彻底），x²+2x+1=x(x+2)+1（不是积的形式）；提醒：分解需彻底（x²-4可继续用平方差公式分解），结果必须是整式积的形式。整式运算去括号错误错误：-2(x-y)=-2x-y（括号内第二项未变号）；提醒：括号前是负号，去括号后所有项都要变号，系数要乘遍括号内每一项。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（23-24·湖北模拟）下列代数式中，整式为（

）A.3x+5 B.5x+1 C.15x D.3x+1x2.（24-25·贵州模拟）单项式-72x2yA.-72，5 B.72，5 C.-72，3.（23-24·四川中考）下列单项式中，ab3的同类项是（

）A.3ab3 B.2a2b34.（23-24·四川中考）如果单项式-x2my3与单项式2x4yA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.（23-24·河北模拟）已知m+n=-2，mn=-4，则整式2(mn-3m)-3(2n-mn)的值为（

）A.8 B.-8 C.16 D.6.（25-26·全国期中）下列各式计算正确的是（

）A.2a+3b=5ab B.-(a+3)=-a+3C.-2×3a=-6a D.7.（23-24·黑龙江中考）下列计算正确的是（

）A.2a3⋅a2=2a6 B.(-2a)3÷b×1b=-88.（23-24·甘肃中考）计算：2a(a-1)-2a2=（A.a B.-a C.2a D.9.（25-26·全国模拟）若多项式x2+mx+16可分解为(x+a)2，则m=（A.8 B.±8 C.4 D.±410.（23-24·安徽模拟）下列因式分解正确的是（

）A.a2+4ab+4b2=(a+2b)11.（24-25·河南模拟）已知n为正整数，则四个连续正整数可表示为n，n+1，n+2，n+3，它们的乘积为M，当M+1=361时，n的值为（

）A.3 B.4 C.5 D.612.（24-25·江苏模拟）若代数式P=2a2-2a+3，Q=a2+1，则PA.P>Q B.P=Q C.P<Q D.无法确定13.（23-24·广西中考）如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2bA.0 B.1 C.4 D.914.（25-26·江西模拟）新考法数形

结合如图，在一个矩形公园中划分出两个矩形草地（阴影部分），若MN=d为定值，两阴影部分的面积和为S，周长和为C，则下列关于S和C的说法正确的是（

）

A.S和C均为定值 B.只有S为定值

C.只有C为定值 D.S和C均不为定值15.（24-25·江苏模拟）操作与发现：如图①，将正方形纸片沿对角线折叠一次，剪去阴影部分（直角梯形）．如图②，将正方形纸片沿对角线折叠两次，剪去阴影部分（直角梯形）．与原正方形纸片相比，下列说法正确的是……（

）

A.图①、图②展开后周长均变大．B.图①、图②展开后周长均不变．C.图①、图②展开后周长均变小．D.图①展开后周长不变，图②展开后周长变大．填空题（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·陕西模拟）计算：a3⋅17.（25-26·甘肃模拟）分解因式：-a3+618.（24-25·重庆模拟）已知2m2+m-7=0，则(4m-1)(m+5)+2m(m-8)=___________19.（24-25·四川中考）若2a+b=-1，则4a2+2ab-b的值为____________20.（24-25·四川中考）已知实数a，b满足a+b=2，则a2-b221.（25-26·甘肃模拟）长和宽分别为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为22.（24-25·陕西模拟）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”.

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，a+b7展开的多项式中各项系数之和为

.23.（24-25·河南模拟）如图，某市有一块面积为3a2-2a-1平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长(a+1)米、宽(a-1)米的矩形花坛(其中a>1，其余四周全部修建成健身休闲区，S1，S2分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则S1_______________S2(填“>”“<”或“=24.（23-24·内蒙古模拟）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为(a-1)的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1,S2，则S1S2可化简为25.（24-25·湖南中考）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．

例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．

命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b=-c．那么2=1．

推理过程如下：

第一步：根据上述命题条件有a+b=-c；

①

第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a=2a-a,b=2b-b,c=2c-c；

②

第三步：把②代入①，可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)；

③

第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)；

④

第五步：把④两边同时除以(a+b+c)，得2=1．⑤

请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则．（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（23-24·甘肃模拟）因式分解：427.（24-25·浙江中考）化简求值：x(5-x)+x2+3，其中28.（23-24·甘肃中考）先化简，再求值：2a+b2-2a+b2a-b÷2b,29.（23-24·河北模拟）已知：整式A=1+2x，整式B=1-2x．（1）化简：2A-3B；（2）若A⋅B+M是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式M．30.（23-24·江苏模拟）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b(a>b)的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到(a-b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：______﹔

【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，

如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（1）已知x+y=6,xy=114，求（2）已知a+b=6,ab=7，求a331.（24-25·河北模拟）有一个边长为b的小正方形和一个边长为a(a>b)的大正方形．将小正方形按图1的方式放入大正方形中，设图中阴影部分的面积为S1；再将小正方形按图2的方式放入大正方形中，取AB的中点M，设图中三角形（阴影部分）的面积为S2．

（1）S1=_____（用含a，（2）求S2的大小（结果用含a，b（3）若S1=k⋅S2，请你直接写出k32.（24-25·宁夏模拟）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式分解．

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2)

解法二：原式=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b)

【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解；

【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2因式分解；

【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是a33.（23-24·河北模拟）探究活动：

（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式．

知识运用：（4）用合理的方法计算：7.5234.（24-25·广东模拟）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：

①x3+x2+2x+2=x3+2x+x2+2

=xx2+2+x2+2

=x2+2(x+1)

（1）分解因式：x5（2）分解因式：a235.（24-25·广东中考）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，