2026中考第一轮复习数学第7课时：分式方程及其应用（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）分式方程及其应用一、核心知识一、核心知识（一）分式方程的定义分母中含有__________的方程叫做分式方程。注意：判断分式方程的关键是分母含未知数，与分子是否含未知数无关；整式方程分母不含未知数，这是两者的根本区别。（二）分式方程的解法基本思路：将分式方程化为___________，核心是“去分母”。解题步骤（四步走）：找公分母：当分母是多项式时，先___________，再确定最简公分母；去分母：方程两边同时乘以____________，约去分母转化为整式方程（注意不要漏乘不含分母的项）；解整式方程：用整式方程的解法求解（一元一次方程或一元二次方程）；验根：将整式方程的解代入___________，若公分母不为0，则是原分式方程的解；若为0，则是__________，需舍去。（三）增根的相关概念增根的定义：在分式方程变形为整式方程的过程中，产生的不适合原分式方程的根。增根的特征：增根是___________的解，但使原分式方程的__________。分式方程无解的两种情况：整式方程无解；整式方程有解，但所有解都是原分式方程的___________。（四）分式方程的应用常见题型：行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等。核心等量关系：行程问题：；工程问题：；利润问题：；浓度问题：。解题步骤：。二、核心能力二、核心能力题型1.分式方程的判定解题思路紧扣“分母含未知数”的定义，先观察方程分母是否含未知数，再排除整式方程、分式表达式（非方程）的情况。题型2.分式方程的求解解题思路优先确定最简公分母，去分母时注意每一项都要乘公分母，避免漏乘常数项；解完后必须验根，验根步骤不可省略。题型3.增根与无解问题解题思路遇到含参数的分式方程增根或无解问题时，先去分母转化为整式方程，再根据增根使公分母为0的特征，求出增根的值，代入整式方程求参数；无解需分“整式方程无解”和“整式方程解为增根”两种情况讨论。题型4.实际应用问题解题思路找准题目中的等量关系，设未知数时优先设直接未知数，若直接设未知数列方程复杂，可设间接未知数；检验时既要保证根使分式方程有意义，也要符合实际情境（如时间、速度、工作量为正数）。三、易错警示三、易错警示去分母漏乘常数项错误：解方程1x-1+2=3x时，去分母得x+2=3(x−提醒：去分母时，方程两边的每一项（包括不含分母的常数项）都要乘最简公分母。验根步骤省略或不规范错误：解完分式方程后直接写答案，未验根；或仅代入原方程计算，未判断分母是否为0；提醒：验根是解分式方程的必备步骤，规范写法为“将x=△代入最简公分母，公分母≠0，故x=△是原方程的解”。忽略增根的隐含条件：错误：已知分式方程有增根，仅求整式方程的解，未结合公分母为0的条件；提醒：增根的本质是“使公分母为0的整式方程的解”，需先由公分母为0求出可能的增根，再代入整式方程求解参数。实际应用未检验实际意义错误：行程问题解得速度为负数或时间为0，未舍去；提醒：实际问题的解必须符合现实逻辑，如长度、数量、效率等均为正数，不符合的解需舍去。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·上海模拟）在下列方程中，分式方程是（

）A.x=14 B.14x=1 C.4x2.（24-25·湖南中考）将分式方程1x=2x+1去分母后得到的整式方程为（A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1)3.（24-25·四川月考）方程2x-3=3A.x=3 B.x=-9 C.x=94.（24-25·广东模拟）方程1x-1=3A.x=-2 B.x=6 C.x=25.（24-25·甘肃模拟）已知关于x的方程a2a-x=13的解是x=1，则A.2 B.1 C.-1 D.6.（24-25·广西月考）分式方程2x-1=1-mxA.m>-3 B.m>-3且m≠-27.（23-24·黑龙江中考）如果关于x的分式方程1x-mx+1=0的解是负数，那么实数mA.m<1且m≠0 B.m<1 C.m>1 D.m<18.（24-25·贵州模拟）若关于x的分式方程3xx-1=m1-A. 1  B.-1 C.9.（24-25·四川中考）若关于x的分式方程3-ax2-x=aA.2 B.3 C.0或2 D.-1或10.（24-25·四川模拟）若关于x的方程x2+x-6=0与5x+3=1A.6 B.-3 C.6或-3 D.-11.（24-25·四川模拟）已知关于x的分式方程x+ax-3-7x=1A.-3 B.3或0 C.-3或412.（24-25·四川中考）若关于x的不等式组3x-12≤x+2x+1≥-x+a 至少有两个正整数解，且关于xA.8 B.14 C.18 D.3813.（23-24·山西中考）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（

）A.4000x=2×3200x+3

C.4000x-14.（24-25·河北期中）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h.根据题意，下列方程正确的是（

）A.15x+12=152x B.

15.（24-25·四川模拟）若关于的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2 无解，且关于yA.2或3 B.2或7 C.3或7 D.2或3或7（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（24-25·北京中考）方程2x-6+1x=017.（24-25·辽宁模拟）分式方程2x-1+218.（24-25·山东模拟）已知方程3-aa-4-a=14-a，且关于x的不等式a<x19.（24-25·江苏模拟）已知关于x的分式方程kx-1+2=x120.（24-25·四川模拟）关于x的方程2x-2x-2+2m21.（24-25·四川中考）若关于x的分式方程x+mx-2+1222.（24-25·福建期中）若分式方程xx-1=3-mx123.（24-25·江西中考）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为______________24.（23-24·内蒙古中考）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为____________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元．25.（23-24·重庆中考）若关于x的一元一次不等式组2x+13≤34x-2<3x+a的解集为x≤4,且关于y的分式方程a-（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·上海中考）解方程：x-327.（23-24·福建中考）解方程：3x+2+1=x28.（24-25·陕西模拟）若关于x的方程kx-3+2=x-29.（24-25·浙江模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x-2（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？30.（25-26·浙江模拟）对于m，只有一个实数值x满足xx-1+x31.（23-24·江苏模拟）若数a使关于x的分式方程x+2x-1+a1-x=3的解为非负数，且使关于y32.（23-24·贵州模拟）已知不等式组2x-1>（1）解上述不等式组．（2）从(1)的结果中选择一个整数是方程1-xx33.（24-25·广东模拟）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x-a)(x-b)x的值为零，则解得x1=a，x2=b．又因为(x-a)(x（1）理解应用：方程x2+2x=3+23的解为：（2）知识迁移：若关于x的方程x+3x=5的解为x1=a（3）拓展提升：若关于x的方程4x-1=k-x的解为x134.（24-25·山西中考）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．

35.（24-25·重庆期末）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，