导数的应用举例课件2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章

导数及其应用1.3.4导数的应用举例你是否注意过，市场上有些小包装的物品一般比大包装的要贵一些？这是为什么呢？生活原理：小包装虽然容量小，但包装成本可能更高，加上超市上架费和运输成本，使得单价更高。对于饮料公司而言，饮料瓶大小会影响制造成本、运输成本以及最终售价，从而影响利润。问题：饮料瓶的大小对饮料公司利润的有怎样的影响，是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？如何从数学上解释呢？将其转化为求函数的最值问题，导数是解决这类问题的有效工具．例1

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.

(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大?

(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?解：例2

某企业要生产容积为Vm³的圆柱形密闭容器（如图1.3），已知该容器侧面耗材为1元/m²，上下底面的耗材为1.5元/m²．问：如何设计圆柱的高度hm和上下底面的半径

rm，使得费用最少?问题1：请你用高度h和半径

r，表示制作容器的总费用C.

问题2：你能把上面的总费用C，用容积V和半径

r表示吗？问题3：如何求函数的最小值？说一说：根据两个例题，你能总结用导数解决实际问题中的最值的方法步骤吗？

利用导数解决实际生活中的有关最大（小）值问题，一般要先建立目标函数，然后将问题转化为运用导数研究函数最值的问题:方法归纳例3江轮逆水上行300km，水速为vkm/h，船在静水中的速度为xkm/h已知行船时每小时的耗油量为cx²

L，即与船在静水中的速度的平方成正比．问：x多大时，全程的耗油量H(x)最小?

问题：如何用x表示全程的耗油量H(x)？

（1）在实际生活中，为使经营利润最大，生产效率最高，或为使用力最省，用料最少，消耗最省等，寻求相应的最佳方案，这些都是优化问题.（2）求实际问题的最大（小）值，导数是解决方法之一，要建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系，再利用导数研究函数的极值.知识归纳

解：由题意得,f'(x)=x2-2x=(x-1)2-1,∵0≤x≤5,∴当x=1时,f'(x)取最小值,最小值为-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.C解：由题意,知0<x<200,利润为S(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6

000,S'(x)=-2x+230,令S'(x)=0,得x=115,当0<x<115时,S'(x)>0,S(x)单调递增;当115<x<200时,S'(x)<0,S(x)单调递减,故当x=115时利润最大.2.某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当利润最大时,每件商品的定价为（

）A.105元 B.110元 C.115元 D.120元C解：3.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少?

与同学交流完成求解(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求出最小值.

求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果与实际情况相结合.

用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.利用导数解决实际生活中的