空间直线的方向向量和平面的法向量课件高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.4.1空间直线的方向向量和平面的法向量立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．问题：如何用向量来确定一个点在空间的位置?

在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，OP称为点P的位置向量．

如何确定一条直线在空间的位置？（一）直线的方向向量空间任意直线的位置由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

如图，在直线

l

上任取两个不同的点A，B，则有向线段AB所代表的向量AB就表示直线的方向，称AB为直线

l

的方向向量．自然，BA也是直线

l

的方向向量．

一般地，如果非零向量

v

与直线

l

平行，就称

v

为

l

的方向向量．

已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置．想一想1：根据直线方向向量的定义,你认为一条直线的方向向量是唯一的吗？（1）一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的；（2）直线

l

的方向向量也是所有与

l

平行的直线的方向向量．直线方向向量的定义和平行直线的传递性．例1

如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB=2，AD=4，AA′=3．

以D为原点，分别以DA，DC，DD′为x轴，y轴，z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量

．

（1）AA′；

（2）BD′．解：依题意，得

（2）BD′．解：依题意，得

说一说：你认为确定一个向量成为直线l的方向向量需满足哪些条件？(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.（可借助向量数量关系的表示）.(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.要点归纳1.(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是（

）A.(2，2，6) B.(1，1，3)C.(3，1，1) D.(-3，0，1)

AB

由直线上一点和直线的一个方向向量就可以确定一条直线的位置，这启发我们也希望通过一个点和一个向量来确定一个平面的位置．

动手旋转一个圆盘陀螺（如图），可以发现陀螺转动时，圆盘平面时而水平，时而倾斜，在不断改变方向．

想一想2：如何用向量来刻画平面的方向?陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向，但始终与圆盘垂直．

如果非零向量

n

所在直线与平面

α

垂直，则称

n

为平面

α

的法向量．

我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向，也就是用与平面垂直的向量

n

来刻画圆盘平面的方向．

给定一点A和一个向量

n

，那么，过点A，且以向量

n

为法向量的平面是完全确定的．

由于两条相交直线可以确定一个平面，因而若一个非零向量

n

垂直于平面α内的两条相交直线l1，l2，就可以确定

n

是平面α的一个法向量．

又平面α内的两条相交直线l1，l2的方向可以由它们的方向向量

v1，v2来刻画，因此如果非零向量

n

和向量

v1，v2垂直，即

n

∙v1=0，

n

∙v1=0，就可以确定

n

是平面α的一个法向量．

想一想3：如何寻找平面的法向量

n

?说一说：我们知道一条直线的方向向量不是唯一的，那一个平面的法向量是唯一的吗？（1）一个平面的法向量有无穷多个．由于垂直于同一平面的直线是平行的，因而一个平面的所有法向量互相平行；（2）平面α的法向量也是所有与

α平行的平面的法向量．例2

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，顶点A，B，D，A1的坐标分别为

A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a)．

分别求平面ABCD与平面BDA1的一个法向量．

议一议：1.观察右图，你能快速确定平面ABCD的一个法向量吗？2.如何找平面BDA1的法向量呢？找z轴的方向向量①假设n=(x，y，z)是平面BDA1的法向量；②在平面BDA1的找两条相交直线与n垂直即可.

求平面

α

的法向量的步骤：归纳总结2.已知平面内的两个向量a=(2，3，1)，b=(5，6，4)，则该平面的一个法向量为A.(1，-1，1) B.(2，-1，1)C.(-2，1，1) D.(-1，1，-1)

√1.知识清单：(1)空间点的位置向量.(2)直线的方向向量.(3)平面的法向量.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面的法向量的作用和不唯一性.本节课你学到了哪些知识？

1.若A(-1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（

）A.(1，2，3) B.(1，3，2)C.(2，1，3) D.(3，2，1)√解：求与n共线的一个向量，易知(2，-3，1)=-(-2，3，-1).2.若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（

）A.(0，-3，1) B.(2，0，1)C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1)√3.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方