数量积的坐标表示课件2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第1章

平面向量及其应用1.5.2数量积的坐标表示及其计算

＝＝{e1，e2}一组基v＝(x，y)基下的坐标标准正交基{i，j}2.向量线性运算的坐标表示3.共线向量坐标关系（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）.（2）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

a－b＝（x1－x2，y1－y2）.（3）若a＝（x，y），λ∈R，则λa＝（λx，λy）.

a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.②向量垂直的判断①向量的数量积③夹角公式⑤投影⑥投影向量④模长公式4.向量数量积的相关知识OABθ试一试1：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，利用标准正交基你能用a与b的坐标来表示a·b吗？1.向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(1)向量a=(x,y)与自身的夹角为0，因此a·a=

.于是得到计算向量a=(x,y)的模（即长度）的公式为|a|=

.|a||a|cos0=|a|2

(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=

.

试一试2：你能完成下列公式的推导吗？两点间的距离公式2.向量的模：

3.夹角余弦值：

0

两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一.例1

若向量m=(2，-1)，n=(3，2)，则(2m+3n)·(m-n)等于（

）A.-25

B.25

C.-19

D.19A解：因为向量m=(2，-1)，n=(3，2)，所以2m+3n=(4，-2)+(9，6)=(13，4)，m-n=(-1，-3)，所以(2m+3n)·(m-n)=(13，4)·(-1，-3)=13×(-1)+4×(-3)=-25.题型1数量积的坐标运算(1)已知向量的坐标进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2.(2)在运算的过程中，我们可以有两种方式，一种是先把各向量用坐标表示出来，再进行数量积的运算；另一种是先利用数量积的运算律将原式展开，再用坐标逐个计算其中的未知量.(3)常用的运算律有：①(a+b)·(a-b)=a2-b2；②(a±b)2=a2±2a·b+b2.

A

题型2向量的模与夹角注意：求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，勿忘记开方.要求这个向量的模，首先得求出n，怎么求呢？4.已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为（

）A.1

B.-1

C.4

D.-4B

例2（2）

已知a＝（1，－2），b＝（1，λ），且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是（）A.（－∞，－2）∪（－2，）B.（，＋∞）C.（－2，）∪（，＋∞）D.（－∞，）解：∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ＞0且cosθ≠1，即a·b＞0且a不与b同向，即a·b＝1－2λ＞0，且a≠mb

（m＞0），A题型2向量的模与夹角

说明cosθ满足什么条件？你能列出相应的式子吗？

解决向量夹角问题的方法及注意事项当θ＝0°时，cosθ＝1＞0，即a·b＞0；当θ＝180°时，cosθ＝－1＜0，即a·b＜0.

B本节课你学到了哪些知识？1.已知a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，若(8a-b)·c=30，则x等于（

）A.6

B.5

C.4

D.3C解：由题意可得，8a-b=(6，3)，又(8a-b)·c=30，c=(3，x)，∴18+3x=30，解得x=4.2.已知向量a＝（1，k），b＝（2，2），且a＋b与a共线，那么a·b＝

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