查漏补缺04平面向量（4大考点+查补知识点+17种题型突破专项训练）（解析版）

查漏补缺04平面向量（4大考点+查补知识点+17种题型突破）内容导航漏洞扫描通法锤炼能力强化考点查缺漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础题型突破考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁融会贯通实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合考点01平面向量的概念及线性运算知识点一：向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点二：向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0设λ，μ是实数．(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三：共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.【特别注意】1．零向量与任何向量共线．2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线．4．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.5．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(—→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(—→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(———→))＝eq\o(A1An,\s\up6(—→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．6．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．7．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．8．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.题型一：平面向量的基本概念平行向量有关概念的五个关注点：1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．4．非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系是：eq\f(a,|a|)是a方向上的单位向量.5．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（

）A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量【答案】B【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可.【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误；选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量.零向量与任一向量共线，故B正确；选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误；选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.故选：B.2．（25-26高三上·甘肃天水·期末）若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（

）.A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③【答案】B【分析】根据向量的定义依次判断即可.【详解】在①中，的大小不能确定，故①错误，在②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误，在③中，为任一非零向量，则，故③正确，在④中，由题意可知，故④正确.故选：B.3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（

）A．12对 B．18对C．20对 D．24对【答案】D【分析】根据相等向量的定义，结合矩形的性质进行求解即可.【详解】在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点，所以AMND和MNCB为边长相等的正方形，如图所示：由题意得：，则，有3对；，则，有6对；，有1对；，有1对；，有1对；共有：对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12对，综上，相等的非零向量共有24对.故选：D4．（25-26高三上·湖南·期中）已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据单位向量及相等向量的定义和性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系.【详解】若，则的方向必相同，充分性成立，若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立，所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件.故选：A5．（2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】BD【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可.【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确；B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确；C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确；D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确，故选：BD6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，，分别为棱，的中点，与相等的向量为，与相反的向量为，与共线的向量为．

【答案】，，，，，，，，，【分析】空1：由相等向量的定义可判断；空2：由相反向量的定义可判断；空2：由共线向量的定义可判断.【详解】空1：由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，与相等的向量为，，；空2：由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，与相反的向量为，，，；空3：由共线向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为共线向量，与共线的向量为，，，，.题型二：向量的线性运算一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．2.在进行向量的线性运算时，要注意运算律的应用.1．（2026高三上·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则．

【答案】【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】因为，由向量的三角形法则，得．故答案为：2．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】因为，所以，所以，故选：C.3．（25-26高三上·广东东莞·期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（

）A．向东北方向走 B．向西北方向走C．向东北方向走 D．向西北方向走【答案】A【分析】作，，以、为邻边作平行四边形，则，求出以及的值，结合向量的几何意义可得结论.【详解】作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示：由题意可知，，故平行四边形为正方形，所以，且，且，故表示向东北方向走，故选：A.4．（25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可.【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，所以．故选：D.5．（2026·四川绵阳·二模）在中，，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量加法的平行四边形法则即可求解.【详解】由可得点是的中点，根据平行四边形法则：，即.

故选：D.6．（25-26高三上·北京西城·期末）在平行四边形中，为的中点．记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断.【详解】因为四边形是平行四边形，所以，又因为为的中点，所以，在平行四边形中，，.故选：A.题型三：根据向量的线性运算求参数与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．1．（25-26高三上·江西南昌·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】以向量为一组基底，利用向量的加法和数乘运算表示出即可.【详解】由题可得，向量不共线，则以向量为一组基底，所以，则.故选：D.2．（2025高三·全国·专题练习）在中，点满足，当点在线段（不含端点）上移动时，若，则．【答案】3【分析】设，则，结合，可求.【详解】如图所示，在中，由已知，所以，又点在线段上移动，设，所以，又，所以，所以，故答案为：3．3．（2026·河北沧州·一模）在中，点在边上，，记，则分别是（

）A． B．，4 C．4，3 D．3，4【答案】B【分析】利用向量的线性运算求解.【详解】如图，

，，则.故选：B.4．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解.【详解】，又因为，所以，设，则，所以，解得，故选：B.题型四：共线定理及其应用利用共线向量定理解题的策略a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．1．（25-26高三上·内蒙古·期末）设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量共线定理计算即可.【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得，即，又与是不共线向量，所以解得.故选：B．2．（2025高三·全国·专题练习）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得求参数，再由向量同向共线求解.【详解】因为向量，共线，所以，解得或，当时，向量与方向相反，不满足，当时，向量与方向相同，满足，故.故选：B3．（2025高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果.【详解】三点共线，可设，即，，解得：.故选：.4．（2026高三·全国·专题练习）已知平面向量不共线，，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【答案】B【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可.【详解】A：，因为，且平面向量不共线，所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线；B：，因为，所以本选项三点共线；C：，因为，且平面向量不共线，所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线；D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线，显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线，故选：B5．（2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线．【答案】证明过程见解析【分析】运用平面向量共线定理进行证明即可.【详解】因为，，所以，因此A，B，C三点共线.考点02平面向量基本定理及坐标表示知识点一：平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．知识点二：平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．知识点三：平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).2.向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知识点四：平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.知识点五：中点及重心的坐标已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).知识点六：线段的定比分点设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比。有三种情况：

(内分)

(外分)()

(外分)()（1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比。（2）点的位置与的范围的关系：①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点。（3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；特别地为的中点.知识点七：重要推论设O是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得OCOA(1)OB.题型一：平面向量基本定理的应用1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】C【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可.【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线.对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立.所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误；对于B，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立.所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误；对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确；对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立.与不共线，所以能作为基底，所以D错误.故选：C.2．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质,结合向量加法的平行四边形法则来求解即可.【详解】因为,，,所以则.故选：D.3．（25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（

）A．0 B．1 C． D．3【答案】B【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果.【详解】如下图所示，延长交于点，易知为的中点，且又，因为，且不共线，所以可知；因此.故选：B题型二：平面向量的坐标运算1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．1．（2026高三上·江西南昌·周测）向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果.【详解】因为向量，，则.故选：A.2．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的坐标表示代入即可.【详解】因为，，，所以，，解得，所以.故选：A3．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】由题得到是直线的一个方向向量，也是直线的方向向量，所以向量与共线，利用向量共线坐标成比例列方程可求出的值.【详解】已知，，所以是直线的一个方向向量；因为向量也是直线的方向向量，所以它与共线，所以，解得，故选：A.4．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量关系得到点坐标，代入椭圆方程化简求解即可.【详解】椭圆右焦点为，上顶点为，设.由得，所以，，即.代入椭圆方程得，整理得，即.又，所以.故选：C.题型三：利用向量共线求参数平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．1．（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解.【详解】，，由与共线，可得，解得，故选：A2．（2025·辽宁盘锦·三模）已知，，，，若与共线，则（

）A．1 B．2 C．或2 D．或1【答案】D【分析】首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，，，，所以，，又与共线，故，解得或．故选：D3．（25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为．【答案】【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为向量，，，所以，，因为与共线，所以，解得．故答案为：题型四：利用向量共线求向量或点的坐标常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）进行求解.1．（25-26高三下·内蒙古包头·期中）已知点，且为上靠近的三等分点，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化为，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】由题意得，则，,所以的坐标为．故选:B.2．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可.【详解】向量，，，可得：,则,因为点，则P点坐标为故选：A3．（2026·湖南永州·一模）设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.由此可得的坐标，根据列出方程，求得，即可得到的坐标.【详解】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.因为，所以.又，所以.所以.即，解得.所以.故选：B.考点03平面向量的数量积知识点一：向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．知识点二：平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.知识点三：平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.知识点四：向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.知识点五：平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))知识点六：平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.知识点七：有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.题型一：平面向量数量积的基本运算计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．1．（25-26高三上·云南昭通·期末）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（

）A．12 B． C．20 D．【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律求解.【详解】.故选:B.2.（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知点为外接圆的圆心，且，则（

）A． B． C．7 D．14【答案】A【分析】根据数量积的定义结合三角形外接圆的性质可得，，再根据向量的线性运算与数量积的运算转化求解即可得结论.【详解】取中点为，连接，因为点为外接圆的圆心，所以，同理可得，则.故选：A．3．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（

）A． B．21 C．24 D．40【答案】D【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.【详解】根据题意可得，所以，又因为，，所以，，设，则，所以，，所以令，在上单调递增，在上单调递减，故最大值为40，故选：D．题型二：向量的模求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义；③坐标法：若a＝(x1，y1)，则|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量与的夹角为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算.【详解】.故选：B.2．（25-26高三上·山东济宁·期末）已知向量，，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（

）

A．8 B． C． D．【答案】C【分析】由图得到坐标，根据向量的加法法则和向量模的计算公式求解.【详解】如图，建立直角坐标系，则，所以，所以，故选：C.

3．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解.【详解】由题意设，得，且，因为，在单位圆上取，

因为与的夹角不超过，所以，所以，又，所以，所以，所以，故的范围是，故选：A4．（2026·新疆·二模）已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求出最小值．【详解】依题意，，则由可知：，即.又因为非零向量与的夹角为，得：，化简可得：，则的最小值即为圆上一点到两射线一点连线的最小值，即圆心到两射线的距离减去半径，圆心到射线的距离为，圆的半径为2，则的最小值为.故选：A.5．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据向量模的关系得，再计算即可.【详解】因为为单位向量，所以，因为，平方得，即，所以，即.故选：B．6．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（

）A．2 B．C． D．【答案】C【分析】先由条件求出，再利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】由题意，，，与的夹角为，故，则.故选：C.7．（2026·贵州毕节·一模）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的模长与数量积运算即可求解.【详解】因为，所以，展开得，又，所以.因为，则，所以，解得（负值舍去）.故选：题型三：向量的垂直两个向量垂直的充要条件（1）a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．（2）a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.1．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）向量，，，若，则k的值是（

）A．4 B．－4 C．6 D．－6【答案】D【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值.【详解】向量，，则因为，所以，故选：D2．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知向量，若，则实数（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】先根据平面向量线性运算的坐标表示求出，再根据平面向量垂直的坐标公式求解即可.【详解】由，得，因为，所以，即，解得.故选：D.3．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）在平面直角坐标系中，已知点关于轴的对称点为，，若且有，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题知，进而得，再根据向量垂直关系求解即可.【详解】因为点关于轴的对称点为，所以，所以，所以，因为，所以，解得故选：A题型四：向量的夹角求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐标法：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))．1．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值.【详解】由题设，所以，所以.故选：A2．（2026·广东茂名·一模）向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则，由可得，作出相应图象，结合图象利用二倍角公式计算即可求解.【详解】设，则，因为，所以，即，即，所以．如图，设，，，

则，，因为是等腰直角三角形，设边中点为，则，所以边上的高，，因为，所以三点共线，所以，则，所以，，所以．故选：C．3．（25-26高三上·江苏·月考）已知平面向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据向量垂直求出m，再根据向量数量积公式求出两向量夹角的余弦，从而确定夹角的大小．【详解】已知，则，∵，∴，解得，∴．∴，，∴，∵，∴．故选：C．4．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知向量；(1)求；(2)若，求的值；(3)求与的夹角的余弦值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据条件，利用向量的坐标运算和模长的计算公式，即可求解；（2）根据向量平行列方程，由此求得，即可求解；（3）利用向量数量积的坐标运算及模长公式，先求出，，，再根据向量夹角公式，即可求解.【详解】（1）因为，则，则．（2），则，因为，所以，即，解得．（3）由题知，则，又，所以，又，，所以．题型五：向量的投影若，与的夹角为，1.在上的投影：；2.在上的投影向量：.1．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为．【答案】【分析】应用向量数量积、模长的坐标运算，结合投影向量的定义求坐标即可.【详解】由题设，所以在方向上的投影向量的坐标为.故答案为：2．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为．.【答案】【分析】根据投影向量公式计算求解.【详解】，在方向上投影向量的坐标为．3．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解.【详解】由知，即，又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图：又的外接圆圆心为，所以，所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为，设菱形的边长为.则在上的投影向量为.故选：D.4．（25-26高三上·广东汕头·期末）设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（

）A．B．C．在上的投影向量的坐标为D．【答案】ACD【分析】对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案.【详解】由题可得，，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，在上的投影向量为，由B分析可得，又，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD题型六：平面向量的实际应用用向量方法解决实际问题的步骤1．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，从而得到方程，结合诱导公式求出答案.【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，则，又，故，.故选：C2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案.【详解】因为，所以，则.故选：C.3．（25-26高三上·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题.【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以.设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图：则，所以，又因为，所以，即.又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上，由三角函数的定义有，即，所以，又因为，所以，，，所以.故选：C4．（25-26高三上·重庆·月考）如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（

）A．8 B．16 C． D．【答案】D【分析】根据点的位置，分类讨论，利用数量积的定义即可求解.【详解】要使最大，与的夹角小于，当点在弧上时，，当点在弧上时，，当点在弧上时，取线段中点为，则，所以当与同向时，，此时最大值为，故选：D.5．（25-26高三上·北京·月考）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值.【详解】连接、、、，则为的中点，由正六边形性质得，，而，因此，当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值.故选：B考点04专题演练专题一：与平面向量有关的新定义问题结合题意，明确新定义的概念，结合平面向量的知识进行解题.1．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合点坐标可得点的坐标.【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点，则，又，所以，所以点的坐标为.故选：D.2．（25-26高三上·上海·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（

）

①；②；③的充要条件是.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据已知条件及向量的坐标运算即可判断①；利用向量的数量积公式及数量积的运算律即可判断②；根据已知条件及向量的共线定理即可判断③.【详解】对于①，，故①正确；对于②，，故②错误；对于③，对于充分性，若，当时，即，则；若，必存在唯一实数，使得，即，所以，两式相除得，即，故充分性成立；对于必要性，若，当，满足，当，不妨设，则，，所以，故必要性成立.所以的充要条件是.故③正确.故选：C3．（2025高一·全国·专题练习）定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，下列说法中正确的是（

）．A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据坐标运算计算出每个等式等号两侧的值可判断A、B和C，将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法可判断D.【详解】设，，．对于A，，故A正确．对于B，，故B正确．对于C，，，故C错误．对于D，，，因为，故D正确．故选：ABD．4．（2026·安徽淮北·一模）将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于选项A，B，需要根据向量旋转的定义判断等式是否成立；对于选项C，要根据已知条件逐步计算出，再与右边式子进行比较；对于选项D，需要找出的规律，进而求出.【详解】对于选项A，向量绕起点逆时针旋转角的变换是线性变换，对应复数乘法中的旋转因子，两次旋转角相当于旋转角，即，故选项A正确；对于选项B，旋转矩阵是线性变换，满足可加性，设，，则，则，，，，即，故选项B正确；对于选项C，，，，，故选项C错误；对于选项D，，，，，，，，，，，，故是周期为的数列，，又，，故选项D正确.故选：ABD.5．（2026·辽宁大连·一模）已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（

）A．集合具有性质B．当时，具有性质的集合有无数个C．若集合具有性质，且，则D．已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为【答案】ABD【分析】利用列举法来配对两两数量积为，即可判断A，利用总满足性质，即可判断B，利用分类列举，并通过数量积为，来求解参数，发现有两解，从而可判断C，利用任意性和存在性来配对数量积为，即可判断D.【详解】因为，所以，因为，所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故A正确；当时，令，，则，因为，所以对任意，存在，使，即集合具有性质，因为正数有无数个，所以具有性质的集合有无数个，故B正确；若集合具有性质，则取，则只可能是根据，依次解得：，因为，且要满足集合中元素互异性，所以,检验：当时，，因为，所以对任意，存在，使，即集合具有性质，当时，，因为，所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故C错误；由C选项可知：满足，此时假设满足题意，则取，要使其存在正交向量，即，因为，所以必须为负数，即，此时，由，逐一检验可知，只有时，，符合，以此类推可得：有穷数列的通项公式为，下证明充分性：对于任意且不妨假设，总存在满足，有穷数列的通项公式为,故D正确；故选：ABD专题二：等和线的应用平面内一组基底及任一向量,若点在直线AB上或者在平行于AB的直线上,则(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.如图,则有.(1