高中几何三角形中线与角平分线练习题

高中几何三角形中线与角平分线练习题三角形的中线与角平分线是平面几何中的重要概念，它们在解决三角形相关的计算与证明问题中扮演着关键角色。掌握这些线段的性质及其应用，不仅能够深化对三角形结构的理解，也能为进一步学习复杂几何问题奠定坚实基础。本文将通过一系列练习题，帮助同学们巩固相关知识，提升解题能力。一、三角形中线与角平分线的基本概念与性质回顾在进入练习之前，我们简要回顾一下三角形中线与角平分线的核心知识点：1.三角形中线：*定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。*性质：*三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。*重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍（即重心分中线成两段的比为2:1）。*三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形。2.三角形角平分线：*定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。*性质：*三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心是三角形内切圆的圆心。*角平分线上的点到角两边的距离相等。*角平分线定理：三角形的一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。即在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，则BD/DC=AB/AC。二、练习题（一）基础巩固题1.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，G为△ABC的重心。若AG=4，则GD的长度是多少？若BC=6，则△ABD的面积与△ABC面积之比是多少？2.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是底边BC上的中线。求AD的长度及△ABD的面积。3.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D。求点D到AC边的距离。4.已知△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，AB=7，AC=5，BC=8。求BD和DC的长。（二）能力提升题5.已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE。求证：DE平行于BC，且DE=1/2BC。（此题虽为中位线定理，但与中线概念紧密相关，有助于理解中点连线的性质）6.在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F。求证：AF=1/2FC。（提示：可过点D作AC的平行线交BF于点G，利用中位线及全等或相似知识）7.已知△ABC中，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2。求BC的长。（提示：可考虑倍长中线法构造平行四边形）8.在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D。求证：AC=AB+BD。（提示：可在AC上截取AE=AB，连接DE，利用角平分线性质及等腰三角形性质）9.已知O是△ABC的重心，三条中线AD、BE、CF相交于点O。求证：S△AOB=S△BOC=S△COA。10.在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D。求证：AD+BD=BC。（提示：可在BC上截取BE=BD，连接DE，或延长BD至某点使DF=AD）三、练习题答案与提示（一）基础巩固题1.答案：GD=2；面积之比为1:2。*提示：重心分中线为2:1的两段；中线平分三角形面积。2.答案：AD=4；△ABD的面积为12。*提示：等腰三角形底边上的中线也是高，利用勾股定理求AD，再计算面积。3.答案：点D到AC边的距离为24/7。*提示：先求AB长为10，设点D到AC、BC边的距离为h，利用面积法：S△ABC=S△ACD+S△BCD。4.答案：BD=7/2，DC=9/2或BD=3.5，DC=4.5。*提示：直接应用角平分线定理BD/DC=AB/AC=7/5，设BD=7k，DC=5k，由BD+DC=BC=8求解k。（二）能力提升题5.提示：连接DE，可通过证明△ADE∽△ABC（SAS或AA相似），或利用平行四边形的性质（倍长DE）。6.提示：过D作DG∥AC交BF于G，则DG为△BCF的中位线（D为BC中点），故DG=1/2FC。再证△DGE≌△AFE（AAS或ASA），得DG=AF，从而AF=1/2FC。7.答案：BC=2√13。*提示：延长AD至点E，使DE=AD=2，连接BE，则AE=4，BE=AC=3。在△ABE中，AB=5，BE=3，AE=4，由勾股定理逆定理知∠AEB=90°。在Rt△BED中，BD=√(BE²+DE²)=√(3²+2²)=√13，故BC=2BD=2√13。8.提示：在AC上截取AE=AB，连接DE。由AD平分∠BAC易证△ABD≌△AED（SAS），得BD=DE，∠AED=∠B=2∠C。在△EDC中，∠AED=∠C+∠EDC，故∠EDC=∠C，从而DE=EC。因此AC=AE+EC=AB+DE=AB+BD。9.提示：因为AD是中线，所以S△ABD=S△ACD，S△OBD=S△OCD，两式相减可得S△AOB=S△AOC。同理可证S△AOB=S△BOC。10.提示：在BC上截取BE=BA，连接DE。可证△ABD≌△EBD（SAS），得AD=DE，∠BED=∠A=100°，则∠DEC=80°。在△ABC中，∠ABC=∠C=40°，BD平分∠ABC，故∠DBE=20°，∠BDE=60°。在△DEC中，∠EDC=180°-∠DEC-∠C=60°，故△DEC为等腰三角形（或可证AD=DE=EC），从而AD+BD=EC+BE=BC。三、总结与提示解决与三角形中线和角平分线相关的问题，关键在于熟练掌握它们的基本性质和相关定理（如重心性质、角平分线定理）。在解题过程中，要注意以下几点：*画图辅助：仔细画出符合题意的图形，标注已知条件，有助于直观分析。*辅助线添加：常见的辅助线作法有：倍长中线构造全等或平行四边形、利用角平分线性质向两边作垂线、截长补短法（尤其在证明线段和差关系时）、构造中位线等。*综合运用：灵活运用三角形全等、相似、勾股定理等知识，将中线、