新北师大版四年级数学下册第五单元认识方程知识点及练习题

同学们，在数学的世界里，我们常常需要用符号来表示数量关系，以便更简洁、更一般地解决问题。第五单元“认识方程”就将带领我们走进这个充满智慧的符号世界。方程是解决实际问题的有力工具，学好这部分知识，能极大提升我们分析和解决问题的能力。下面，我们就一起来系统梳理本单元的知识点，并通过练习加以巩固。一、知识点梳理（一）用字母表示数在数学中，我们经常用字母来表示未知数，有时也用字母表示一些固定的数量或变化的数量。这是代数思想的起点。1.字母可以表示数量：比如，小明有`a`个苹果，小红比他多`b`个，那么小红就有`a+b`个苹果。这里的`a`和`b`都代表具体的数量，它们的值可以是变化的。2.字母可以表示运算定律或计算公式：例如，加法交换律可以表示为`a+b=b+c`（此处应为`a+b=b+a`，原稿笔误，实际撰写时会修正），长方形的面积公式可以表示为`S=a×b`（其中`S`表示面积，`a`表示长，`b`表示宽）。3.书写规范：*当字母与数字相乘，或字母与字母相乘时，乘号可以写作“·”，也可以省略不写。例如，`3×x`可以写成`3·x`或`3x`；`a×b`可以写成`a·b`或`ab`。*数字通常写在字母的前面。例如，`x×5`应写成`5x`，而不是`x5`。*当字母与1相乘时，1可以省略。例如，`1×x`可以写成`x`。*相同字母相乘，可以写成幂的形式。例如，`a×a`可以写成`a²`（读作“a的平方”）。*在含有字母的式子里，加号、减号、除号都不能省略。例如，`a+5`不能写成`a5`，`x÷3`一般写成`x/3`或`(x)÷3`（具体根据教材要求）。（二）等量关系1.什么是等量关系：等量关系是指数量之间具有相等的关系。例如，“小明的年龄加上5岁等于小红的年龄”，这里就蕴含着“小明的年龄+5=小红的年龄”这样一个等量关系。2.如何寻找等量关系：*从题目中的关键语句入手，如“一共”、“还剩”、“比……多”、“比……少”、“是……的几倍”、“相当于”等。*利用常见的数量关系，如：速度×时间=路程，单价×数量=总价，工作效率×工作时间=工作总量等。*通过画图（如线段图、示意图）来帮助分析和找出等量关系。这是非常直观有效的方法。（三）方程的意义1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。*这里强调两个要素：一是“含有未知数”，二是“等式”。两者缺一不可。*例如：`x+5=10`是方程（含有未知数`x`，且是等式）；`2+3=5`不是方程（没有未知数）；`x+7`不是方程（不是等式，只是一个式子）。2.方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。等式的范围比方程大，方程是特殊的等式。（四）等式的性质（基础）本单元会初步接触等式的基本性质，为解方程打下基础。1.等式性质一：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。例如：如果`a=b`，那么`a+c=b+c`，`a-c=b-c`。2.等式性质二：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。例如：如果`a=b`，那么`a×c=b×c`，`a÷c=b÷c`（`c≠0`）。（注：北师大版教材在四年级下册对等式性质的阐述可能会更具体和形象，例如通过天平平衡的原理来引入和理解。）（五）解方程1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如，在方程`x+3=8`中，`x=5`能使方程左右两边相等，所以`x=5`是这个方程的解。2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。3.解简单方程的方法：*利用等式的性质来解方程是最基本和通用的方法。*对于形如`x+a=b`的方程，根据等式性质一，方程两边同时减去`a`，得到`x=b-a`。*对于形如`x-a=b`的方程，根据等式性质一，方程两边同时加上`a`，得到`x=b+a`。*对于形如`a×x=b`（`a≠0`）的方程，根据等式性质二，方程两边同时除以`a`，得到`x=b÷a`。*对于形如`x÷a=b`（`a≠0`）的方程，根据等式性质二，方程两边同时乘`a`，得到`x=b×a`。4.解方程的书写格式：*解方程时，要先写“解：”。*等号要上下对齐，每一步的变形都是根据等式的性质进行的。*求出解后，可以代入原方程进行检验，看等式是否成立。（检验过程在熟练后可以口头进行，或在草稿纸上进行。）（六）用方程解决问题用方程解决实际问题（列方程解决问题）是本单元的重点和难点，一般步骤如下：1.审题：理解题意，找出题目中的已知条件和所求问题。2.找出等量关系：分析题目中的数量关系，找出一个合适的等量关系。这是列方程的关键。3.设未知数：根据找出的等量关系，选择一个未知量设为`x`（通常设所求的量为`x`）。4.列方程：根据等量关系，把文字描述的数量关系用含有未知数`x`的等式表示出来，即列出方程。5.解方程：求出未知数`x`的值。6.检验并作答：把求出的`x`的值代入原方程检验，看是否符合题意，然后写出答案。二、练习题（一）基础巩固1.填空题。（1）苹果每千克`a`元，买了`b`千克，一共需要（）元。付给售货员`c`元，应找回（）元。（2）一个长方形的长是`x`厘米，宽是`y`厘米，它的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。（3）小明今年`m`岁，爸爸的年龄比他的`3`倍还多`2`岁，爸爸今年（）岁。（4）根据“小明比小红高`5`厘米”，可以列出等量关系：（）。（5）在①`3+x=10`②`8-2x`③`6+8=14`④`x÷5=2`⑤`7>3x`中，是方程的有（）（填序号）。2.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）`a²`表示两个`a`相加。（）（2）方程一定是等式，等式也一定是方程。（）（3）`x=2.5`是方程`2x+3=8`的解。（）（4）等式两边同时乘或除以同一个数，等式仍然成立。（）3.解方程。（带※的要检验）（1）`x+6.8=12.5`（2）`x-3.6=5.4`（3）`4x=36`（4）`x÷7=0.9`※（5）`2.5+x=7.8`（二）能力提升4.根据题意列出方程，并求出方程的解。（1）一个数加上`4.5`的和是`9.8`，这个数是多少？（2）一个数的`6`倍是`42`，这个数是多少？（3）一个数减去`28`后，还剩`13`，这个数是多少？5.列方程解决问题。（1）学校图书馆买来一批新书，其中故事书有`120`本，比科技书的`2`倍少`10`本。科技书有多少本？（2）小红买了`5`支铅笔，每支`x`元，付给售货员`10`元，找回`3.5`元。每支铅笔多少元？（3）一张桌子和四把椅子的总价是`280`元，桌子的单价是`120`元，每把椅子多少元？（4）甲、乙两地相距`s`千米，一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行`60`千米，行了`3`小时后，还剩`20`千米。甲、乙两地相距多少千米？（先写出等量关系，再列方程解答）（三）拓展思考6.想一想，填一填。已知`a+a+b=18`，`a+b+b=21`，那么`a=()`，`b=()`。三、参考答案与提示（一）基础巩固1.（1）`ab`，`c-ab`；（2）`2(x+y)`，`xy`；（3）`3m+2`；（4）小明的身高-小红的身高=5厘米（或小红的身高+5厘米=小明的身高）；（5）①④2.（1）×（表示两个a相乘）；（2）×（等式不一定含有未知数）；（3）√；（4）×（除以的数不能为0）3.（1）`x=5.7`；（2）`x=9`；（3）`x=9`；（4）`x=6.3`；（5）`x=5.3`（检验：左边=2.5+5.3=7.8=右边，所以`x=5.3`是方程的解。）（二）能力提升4.（1）设这个数是`x`。`x+4.5=9.8`，`x=5.3`。（2）设这个数是`x`。`6x=42`，`x=7`。（3）设这个数是`x`。`x-28=13`，`x=41`。5.（1）设科技书有`x`本。`2x-10=120`，`2x=130`，`x=65`。答：科技书有65本。（2）设每支铅笔`x`元。`5x+3.5=10`，`5x=6.5`，`x=1.3`。答：每支铅笔1.3元。（3）设每把椅子`x`元。`120+4x=280`，`4x=160`，`x=40`。答：每把椅子40元。（4）等量关系：已行的路程+剩下的路程=总路程（甲、乙两地距离）。设甲、乙两地相距`s`千米。`60×3+20=s`，`s=180+20=200`。答：甲、乙两地相距200千米。（或直接根据等量关系列方程`s-60×3=20`，解得`s=200`）（三）拓展思考6.`a=5`，`b=8`。（提示：将两个等式的左边和右边分别相加，得到`3a+3b=39`，即`a+b=13`。再用第一个等式`a+a+b=a+(a+b)=a+13=18`，可求出`a=5`，进而求出`b=8`。）四、学习建议“认识方程”这一单元是同学们从算术思维迈向代数思维的重要一步，初期可能会有些不适应，希望同学们：1.深刻理解概念：特别是“方程”、“未知数”、“等量关系”这些核心概念，要知其