专项训练13：“排水法”求不规则物体的体积（解析版）-2024-2025学年六年级数学下册（人教版）

2/22024-2025学年人教版六年级数学下册第三单元：圆柱与圆锥专项训练13：“排水法”求不规则物体的体积一、选择题1．一个圆柱形容器底面半径（里面量）为10cm，里面盛有水深9cm。现将一个底面半径为5cm、高15cm的铁圆柱垂直放入水中，使圆柱底面与容器底面接触，这时水深（

）cm。A．10 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】根据题意可知，放入铁圆柱前后水的体积不变，根据水深9cm，可以先求得水的体积。放入铁圆柱后，容器的底面积变小了，也就是圆柱形容器的底面积减去铁圆柱的底面积，用水的体积除以现在容器的底面积即可。【详解】3.14×102×9÷（3.14×102－3.14×52）＝2826÷235.5＝12（cm）故答案为：B2．从一个底面周长是18.84厘米，高是10厘米的圆柱形玻璃杯中装有5厘米深的水，放入一块小石头后，小石头完全浸没，水面上升了4厘米，而水没有溢出。这块小石头的体积是（

）立方厘米。A．113.04 B．75.36 C．23.35 D．102.04【答案】A【分析】小石头的体积实际上等于水面上升的体积，水面上升的体积可以利用圆柱的底面积乘上升的高度即可得解。【详解】3.14×（18.84÷2÷3.14）2×4＝3.14×32×4＝3.14×9×4＝113.04（立方厘米）故答案为：A3．如图，在一个底面半径是6cm的圆柱形容器中，放入一个底面半径2cm的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了4m（水没有溢出），圆锥形物体的体积是多少？下面列式正确的是（

）。

A．3.14×22×4 B．3.14×62×4C．314×62×4× D．3.14×22×4×【答案】B【分析】根据浸入法求物体体积：圆锥体积等于圆柱容器内水面升高的体积，圆柱体积＝底面积×高，进而得出答案。【详解】列式为：3.14×62×4。故本题答案为：B。4．一个圆柱形容器的底面半径是10cm，水深8cm，把一块底面半径为4cm圆锥形铅锤完全浸没到水中后，水面上升了3cm，这个铅锤的体积是（

）cm3。A．942 B．314 C．50.24 D．2512【答案】A【分析】由题意可知，铅锤的体积等于上升部分水的体积，则铅锤的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。【详解】3.14×102×3＝3.14×100×3＝314×3＝942（cm3）故答案为：A5．把一个圆锥完全浸没在一个底面半径为r厘米的圆柱形容器内，水面上升h厘米，这个圆锥的体积是（

）立方厘米。A．πr2 B．3πr2h C．2πr2h D．πr2h【答案】D【分析】因为圆锥完全浸没在水中，所以圆锥体的体积就是上升的水的体积，也就是π×r2×h＝πr2h。据此解答。【详解】π×r2×h＝πr2h（立方厘米）故答案为：D二、填空题6．在一个底面半径为20厘米、高30厘米的圆柱形水箱里，放入一个底面积为300平方厘米的圆锥形铁块后（完全浸没），水面上升了2厘米，圆锥形铁块的高是（）厘米。【答案】25.12【分析】根据题意，这个圆锥形铁块的体积就是上升2厘米的水的体积，由此可以求出这个圆锥形铁块的体积，再利用圆锥的体积公式:V＝Sh，即可求出这个圆锥的高。【详解】3.14×202×2×3÷300＝3.14×400×6÷300＝3.14×2400÷300＝3.14×8＝25.12（厘米）所以，圆锥形铁块的高是25.12厘米。7．两个大小相同的量杯，都装有300mL水。将等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱的体积是（）cm3，乙量杯中水面刻度是（）mL。

【答案】150350【分析】水面上升的体积就是放入水中零件的体积，利用排水法，用450mL减去300mL，即可求出圆柱的体积，在等底等高的条件下，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，再用圆柱形零件的体积÷3，就是圆锥形零件的体积，加上300mL，即可求出乙量杯中水面刻度。【详解】450－300＝150（mL）＝150（cm3）150÷3＝50（cm3）＝50（mL）50＋300＝350（mL）即圆柱的体积是150cm3，乙量杯中水面刻度是350mL。8．把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体，放入一个底面半径是5厘米，高是8厘米盛满水的圆柱形桶里，圆锥的体积与溢出水的体积（）。【答案】相等【分析】根据题意可知，把圆锥形铁块放入盛满水的圆柱形桶里，溢出水的体积等于这个圆锥的体积。据此解答即可。【详解】把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体，放入一个底面半径是5厘米，高是8厘米盛满水的圆柱形桶里，圆锥的体积与溢出水的体积相等。9．如图，将等底等高的圆柱与圆锥零件先后放入一个量杯中。那么第二个量杯中水面刻度应该是（）。【答案】390毫升/390mL【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，第三个量杯的刻度－第一个量杯的刻度＝圆柱和圆锥的体积和，根据和倍问题解题方法，圆柱和圆锥的体积和÷（倍数＋1），求出一份数是圆锥体积，圆锥体积×3＝圆柱体积，第一个量杯的刻度＋圆柱体积＝第二个量杯的刻度，据此列式计算。【详解】（420－300）÷（1＋3）＝120÷4＝30（mL）30×3＝90（mL）300＋90＝390（mL）第二个量杯中水面刻度应该是390mL。10．两个大小相同的量杯中，盛有同样多的水。将等底等高的圆柱与圆锥分别放入两个量杯中，水面刻度如图所示。则圆锥的体积是（）立方厘米，圆柱的体积是（）立方厘米。【答案】50150【分析】当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，圆柱的体积比圆锥多（1－），根据“量÷对应的分率”求出圆柱的体积，圆锥的体积＝圆柱的体积×，据此解答。【详解】600毫升＝600立方厘米，500毫升＝500立方厘米。圆柱的体积：（600－500）÷（1－）＝100÷＝150（立方厘米）圆锥的体积：150×＝50（立方厘米）11．一个底面半径为6cm的圆柱形容器中装有一定量的水，若向容器中放入一个底面半径为4.5cm的圆锥形铁块（完全浸没，无水溢出），这时水面上升了1.5cm，圆锥形铁块的高是（）cm。【答案】8【分析】根据题意，放入圆锥形铁块后水面上升了1.5cm，那么水上升部分的体积等于圆锥形铁块的体积；水上升部分是一个底面半径为6cm，高为1.5cm的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水上升部分的体积，也就是圆锥形铁块的体积；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥形铁块的底面积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出圆锥形铁块的高。【详解】水上升部分的体积（圆锥的体积）：3.14×62×1.5＝3.14×36×1.5＝113.04×1.5＝169.56（cm3）圆锥的底面积：3.14×4.52＝3.14×20.25＝63.585（cm2）圆锥的高：169.56×3÷63.585＝508.68÷63.585＝8（cm）12．两个大小相同的量杯中，都盛有400mL水。将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如右下图所示。则圆柱的体积是（）cm3，乙量杯中水面刻度应是（）mL。【答案】150450【分析】将圆柱放入左图中，水面上涨的部分为圆柱的体积，那么用550mL减去400mL，即可求出圆柱的体积。将圆柱的体积除以3，求出和它等底等高圆锥的体积，用400mL加上圆锥的体积，求出右图乙量杯中的水面刻度。【详解】圆柱体积：550－400＝150（mL）＝150（cm3）乙量杯刻度：150÷3＋400＝50＋400＝450（mL）所以，圆柱的体积是150cm3，乙量杯中水面刻度应是450mL。13．如图所示，在容器中放入1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是（）立方厘米。【答案】120【分析】看图，溢出水的体积是容器内1个圆柱和2个圆锥的体积和。由于容器内圆柱和圆锥等底等高，那么圆柱体积＝3×圆锥体积，那么相当于容器内有5个相同的圆锥。用600毫升除以5，求出每个圆锥的体积即可。【详解】600÷（3＋2）＝600÷5＝120（毫升）120毫升＝120立方厘米所以，每个圆锥形零件的体积是120立方厘米。14．一个圆柱形小水桶盛满了水，它的底面直径是2分米，高是3分米。若在它里面放入一个和它等底等高的圆锥形铁块，则水会溢出（）升。【答案】3.14【分析】由题意可知，溢出的水的体积即是圆锥的体积。【详解】3.14×（2÷2）2×3×＝3.14×1×3×＝3.14（立方分米）＝3.14（升）15．将一个底面直径是10cm的圆锥形零件完全浸没在一个底面直径是20cm的圆柱形容器的水中，水面上升了2cm。这个圆锥形零件的高是（）cm。【答案】24【分析】由于是完全浸没，且水面上升了2cm，那么圆锥的体积相当于是一个底面直径是20cm，高2cm的圆柱的体积，先求出圆锥的体积，再计算圆锥的高。【详解】（cm2）（cm3）（cm）16．在一节数学活动课上，同学们进行实践操作（如下图，玻璃厚度忽略不计）。先将一些水倒在一个长方体的玻璃容器内，然后把一个底面半径是5cm的圆柱形铁块完全浸入水中，发现水面上升了12cm；最后将这个铁块垂直拉出水面4cm，这时水面下降3cm。通过这个实践操作，可以计算出这个铁块的体积是（）立方厘米，这个铁块的体积占玻璃容器容积的（）。【答案】1256【分析】据题意，铁块拉出水面4cm的体积是π×52×4＝100πcm3，此时水面下降3cm，则长方体的玻璃容器的底面积是100π÷3＝πcm2，已知知铁块的体积等于水面高度上升12cm的体积，即π×12＝400πcm3，据此可求出这个长方体的玻璃容器的体积是π×40＝πcm3，根据“求一个数是另一个的几分之几，用除法。”即可求出这个铁块的体积占玻璃容器容积的几分之几。【详解】由分析可知：铁块拉出水面4cm的体积是：3.14×52×4＝3.14×25×4＝3.14×100＝314（cm3）长方体的玻璃容器的底面积是：314÷3＝（cm2）整个铁块的体积是：×12＝314×4＝1256（cm3）长方体的玻璃容器的体积是：（cm3）这个铁块的体积占玻璃容器容积的分率是：1256÷＝1256×＝所以这个铁块的体积是1256立方厘米，这个铁块的体积占玻璃容器容积的。17．把一个圆锥浸没在底面积是30平方厘米的盛有水的圆柱形容器里，水面升高5厘米（未溢出），这个圆锥的体积是（）立方厘米。【答案】150【分析】先求出上升的部分的体积，这个体积就是圆锥体的体积，上升部分的体积可直接运用圆柱体的体积计算公式计算。【详解】30×5＝150（立方厘米）这个圆锥的体积是150立方厘米18．把一个石头放进一个盛有200毫升水的圆柱形量杯里，水面上升到250毫升刻度处，此时，水面上升了5厘米。这个量杯内部的底面积是（）平方厘米。【答案】10【分析】由题意可知，石头的体积等于上升部分水的体积，量杯的底面积＝上升部分水的体积÷上升部分水的高度，据此解答。【详解】250－200＝50（毫升）50毫升＝50立方厘米50÷5＝10（平方厘米）所以，这个量杯内部的底面积是10平方厘米。19．将石块放入A容器中（石块全部淹没水中），水位上升2.5厘米。如果将该石块其放入B容器中（石块全部淹没水中），水位会上升（）厘米。（水没有溢出）【答案】4【分析】将石块放入A容器中，石块的体积等于水面上升的体积，水面上升的体积可看作底面积为（12×8）平方厘米，高为2.5厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式即可计算出石块的体积，投入到B容器中，石块的体积等于水面上升的体积，所以用石块的体积除以圆柱的底面积，即可求出水位上升的高度。【详解】12×8×2.5÷60＝96×2.5÷60＝240÷60＝4（厘米）20．一个底面积为28平方厘米、高为10厘米的长方体玻璃容器中装有5厘米深的水，现将一个底面半径为1厘米、高为8厘米的圆柱形铁块竖直放入水中，水面将上升（）厘米。（π取3）【答案】0.6【分析】容器中水的高度为5厘米，铁块的高度为8厘米，则铁块没有完全浸入水中，把铁块放入水中水的体积不变，放入铁块后容器中水的底面积＝容器的底面积－铁块的底面积，根据“高＝长方体的体积÷底面积”求出放入铁块后水和铁块对应的总高度，最后减去原来水的高度即可。【详解】28×5÷（28－3×12）－5＝28×5÷（28－3）－5＝28×5÷25－5＝140÷25－5＝5.6－5＝0.6（厘米）所以，水面将上升0.6厘米。三、解答题21．要做一个圆柱形的钢化玻璃鱼缸（无盖），底面半径是20厘米，高30厘米。（1）这个鱼缸的占地面积是多少？（2）至少需要多少平方分米的钢化玻璃？（3）向做好的鱼缸里倒入15厘米高的水，童童将一块珊瑚石放入鱼缸并完全浸没后，发现水面升高了5厘米，珊瑚石的体积是多少？【答案】（1）1256平方厘米（2）50.24平方分米（3）6280立方厘米【分析】（1）占地面积指的是底面积，根据圆的面积＝πr2，列式解答即可；（2）钢化玻璃面积＝侧面积＋底面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式解答；（3）水面升高的体积就是珊瑚石的体积，用鱼缸底面积×水面升高的高度，即可求出珊瑚石的体积。【详解】（1）3.14×202＝3.14×400＝1256（平方厘米）

答：这个鱼缸的占地面积是1256平方厘米。（2）3.14×20×2×30＋1256＝3768＋1256＝5024（平方厘米）5024平方厘米＝50.24平方分米答：至少需要50.24平方分米的钢化玻璃。（3）3.14×202×5＝3.14×400×5＝6280（立方厘米）答：珊瑚石的体积是6280立方厘米。22．把一块长3.14分米，宽2分米，高3分米的长方体铁块熔铸成一个底面直径是2分米的圆柱形铁块，这个圆柱形铁块的高是多少分米？【答案】6分米【分析】把长方体铁块熔铸成一个圆柱形铁块，体积不变，则长方体的体积除以圆柱的底面积即可求出这个圆柱形铁块的高，根据长方体的体积公式：V＝abh，圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此计算即可。【详解】＝6.28×3÷[3.14×1]＝18.84÷3.14＝6（分米）答：这个圆柱形铁块的高是6分米。23．在一个底面直径是10厘米，高是10厘米的圆柱形杯内倒入水，水面高是6厘米，把一个圆锥形小铁块全部浸入杯内，水满后还溢出了9.42毫升，这个圆锥形小铁块的体积是多少立方厘米？【答案】323.42立方厘米【分析】根据题干分析可得，这个小铁块的体积是水面上升10－6＝4厘米高的水的体积，再加上溢出的水的体积，据此计算即可解答。【详解】3.14×（10÷2）2×（10－6）＋9.42＝3.14×25×4＋9.42＝78.5×4＋9.42＝314＋9.42＝323.42（立方厘米）答：这个圆锥形小铁块的体积是323.42立方厘米。24．如图，下面是张娜测量一块石头体积时的情景，根据图中信息，计算石头的体积。（图中单位：厘米）【答案】157立方厘米【分析】先求出底面半径为5厘米，把石头放入水中后，水面上升了（10－8）厘米，石头的体积相当于水面上升的体积，这部分体积可看作底面积为（3.14×52）平方厘米，高为（10－8）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，代入数据即可得解。【详解】3.14×（10÷2）2×（10－8）＝3.14×52×2＝3.14×25×2＝157（立方厘米）答：石头的体积是157立方厘米。25．一个圆柱形水槽（如图），底面积是400平方厘米，内盛有12厘米深的水。将一个棱长为8厘米的正方体铁块放入水中（铁块完全浸没在水中，且水没有溢出），水面将上升到多少厘米？【答案】13.28厘米【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出铁块的体积，然后用铁块的体积除以水槽的底面积即可求出水面上升的高度，然后用原有水的高度加上上升的高度即可求解。【详解】8×8×8÷400＋12＝64×8÷400＋12＝512÷400＋12＝1.28＋12＝13.28（厘米）答：水面将上升到13.28厘米。26．一个底面周长是62.8厘米的圆柱形玻璃容器里盛有一些水，恰好占容器容积的。将一个实心铁块放入容器，全部没入水中，这时水面上升2厘米，正好与容器口齐平。这个玻璃容器的容积是多少升？【答案】6.28升【分析】已知水占容积的，水的高度也占容器高度的，把容器高度看作单位“1”，放入铁块后，水面上升2厘米，正好与容器口齐平，说明2厘米的高度是容器高度的（1－），则容器的高度是2÷（1－）＝20（厘米），已知圆柱的底面周长62.8厘米，则底面半径是62.8÷3.14÷2＝10（厘米），然后根据圆柱的体积公式求出玻璃容器的容积即可。【详解】容器的高：2÷（1－）＝2÷＝20（厘米）容器的底面半径：62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（厘米）容器的体积：3.14×10×10×20＝314×20＝6280（立方厘米）6280立方厘米＝6.28升答：这个玻璃容器的容积是6.2