2025-2026学年下学期辽宁大连育明高中丹东二中锦州中学本溪高中高二数学试卷(含解析)

大连育明高中、丹东二中、锦州中学、本溪高中教学质量调研(数学试题)考试时间:120分钟满分:150分一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=1-1iA.2B.-2C.2iD.2.已知集合A=α kπA.x 2C.x 23.已知圆x2+y2-2ax+4=0A.-6或2B.6或-2C.2D.64.圆锥的底面半径与球的半径相等,且它们的表面积也相等,则圆锥与球的体积之比为A.1:3B.1:2C.1:35.若对任意的x∈0,12,logaA.116,1B.1166.已知函数fx=sinxcosx+φ0<φ<πA.-1B.0C.127.为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.分档户年用水量/综合用水单价/(元⋅m第一阶梯0~240(含)3.0第二阶梯240~330(含)4.5第三阶梯330以上5.5假设该市某户2025年缴纳水费855元，则该户2025年用水量为A.190吨B.217吨C.270吨D.285吨8.已知四面体ABCD中:BA=BC=BD=1,∠ABD=60∘,∠ABC=120∘,设直线AC与平面ABD所成的角为A.a+β>π2D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在独立性检验中,显著水平α以及对应的分位数k如下:α0.10.01k2.7066.635某社团就喜欢长跑与学生性别的关系进行了一个随机调查,根据男女生人数以及男女生是否喜欢长跑的人数，计算得x2≈A.有99%的把握认为喜欢长跑与性别有关B.“喜欢长跑”与“是女生”独立的概率不小于99%C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为是否喜欢长跑与性别无关D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bA.acosBC.a-b11.已知数列an的前n项和为Sn,A.a3=C.1a2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合M={1,3,5,7,9},从M的非空子集中随机选一个集合,设事件A13.已知△ABC的面积为3,∠C=6014.已知A1和F1分别为双曲线Γ:x24-y24=1的左顶点和左焦点，B，C两点在Γ上，A四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数fx=2(1)求fx在0,(2)求fx在-1016.(15分)在△AOB中，OA⊥OB,OA=4,OB=2，C为OA的中点，如图，沿BC将△BOC(1)求三棱锥P-ABC(2)求二面角B-AP-17.(15分)椭圆C经过双曲线E:4x2-3y2=4的顶点,直线l过点M-2,0,当l与(1)求椭圆C的标准方程；(2)若l与C相交,交点分别为A,B,在x轴上是否存在定点D,满足直线AD和BD斜率之和为定值?若存在,求点D的坐标和该定值;若不存在,18.(17分)袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球.则该照球不再放回，并且另补一个白球放入袋中。重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作Xn，Xn的数学期望记为(1)求随机变量X1,(2)设PX(i)用含pkk=0,(ii)证明EXn-6是等比数列,19.(17分)已知函数fx(1)若a=1，求f(2)已知x1，x2x1<x2(i)证明:x2(ii)证明:fx教学质量调研(数学)参考答案与评分标准一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=1-1iA.2B.-2C.2i【答案】C因为z=1-1i=1+i,2.已知集合A=α kπ<A.x 2C.x 2【答案】A3.已知圆x2+y2-2ax+4=A.-6或2B.6或-2C.2D.6【答案】D圆方程化为x-a2+y2=a2-44.圆锥的底面半径与球的半径相等,且它们的表面积也相等,则圆锥与球的体积之比为A.1:3B.1:2C.1:3【答案】DS圆锥表面S圆锥农训V球5.若对任意的x∈0,12,A.116,1B.116【答案】B若a>1,当0<x<12时若0<a<1,fx根据题意，只需f12≥0即所以a14≥12故1166.已知函数fx=sinxcosx+φ0<φA.-1B.0C.12【答案】Afx为偶函数⇒即sinx所以cosφ=0,又0<φ<则fx所以T=π,所以7.为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.分档户年用水量/综合用水单价/(元⋅m第一阶梯0~240(含)3.0第二阶梯240~330(含)4.5第三阶梯330以上5.5假设该市某户2025年缴纳水费855元,则该户2025年用水量为A.190吨B.217吨C.270吨D.285吨【答案】C当0≤x≤240时当240<x≤330时当x>300时,即f当240<x≤330时,fx∈(所以解fx=855得8.已知四面体ABCD中,BA=BC=BD=1,∠ABD=60∘,∠ABC=120∘,设直线AC与平面ABD所成的角为A.α+β>π2B.【答案】C由题设可知△ABD为等边三角形,△ABC中α,设点C到平面ABD的距离为d,则当平面ABC⊥平面ABD时,d取最大值32即所以,sinα=dAC∈0,12,所以α+sinαsinβ=BCAC=13<1sinβ而,β,2α∈0,二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在独立性检验中,显著水平α以及对应的分位数k如下:α0.10.01k2.7066.635某社团就喜欢长跑与学生性别的关系进行了一个随机调查,根据男女生人数以及男女生是否喜欢长跑的人数，计算得χ2≈A.有99%的把握认为喜欢长跑与性别有关B.“喜欢长跑”与“是女生”独立的概率不小于99%C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为是否喜欢长跑与性别无关D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立【答案】AD假设“喜欢长跑”与“是女生”独立，则我们就观察到了一个概率不超过1%的事件；这也可以说成，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立(也称为是否喜欢长跑与性别有关)；或说有99%10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,A.acosBC.a-b【答案】ABDacos2⇒cosBa-所以即sinB+C-sinA所以C=π2或sinB=sinsin2所以只能2sinC=2成立,11.已知数列an的前n项和为Sn,A.a3=C.1a2【答案】ACDa1=S1=1n≥2时,an=Sn令n=3,得n≥3时,ann-1=a所以an=2n-2n≥2时,所以1a1则1=>==n三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合M={1,3,5,7,9},从M的非空子集中随机选一个集合,设事件A【答案】15PA13.已知△ABC的面积为3，∠C=60∘，AB【答案】2设角A,B,C因为AB+BC+CA=0即a2所以a2又因为a2所以2c2=4,14.已知A1和F1分别为双曲线Γ:x24-y24=1的左顶点和左焦点,B,C两点在Γ上【答案】17a=b=2,BF1=92<a+c=2+22,因为kA,BkA,所以kA由双曲线的对称性可知B,C两点关于y所以CF四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数fx=2(1)求fx在0,(2)求fx在-10πfxmin=-2+a所以fx=2解2kπ+π2≤所以fx的单调递减区间为kπ又当k∈Z时,kπ所以fx在0,π上的减区间为π(2)fx=0,得所以2x+π6=即x=kπ-π2或则fx在kπ-π,kπ所以,fx在-1020=-=20π316.(15分)在△AOB中,OA⊥OB,OA=4,OB=2,C为OA的中点,如图,沿BC将△BOC(1)求三棱锥P-ABC(2)求二面角B-AP-B(1)设D为BC中点，因为△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，PB=所以PD⊥BC且又因为平面BPC⊥平面ABC,平面BPC∩平面ABC=BC,所以PD⊥平面ABC,即三棱锥P-ABC的高为PD所以VP-ABC(2)如图，以O为原点，分别以OA，OB方向为x轴，y轴正方向建立空间直角坐标系，则A4,0PA的方向向量v0=3,-1,-2,CA的方向向量v1=1,0,0则n1⋅v0=3x1-y1-设平面平面PAB的法向量n2则n1⋅v0=3x2-y2-2设二面角B-AP-C则cosθ=n所以sinθ=117.(15分)椭圆C经过双曲线E:4x2-3y2=4的顶点，直线l过点M-2,0，当l(1)求椭圆C的标准方程；(2)若l与C相交,交点分别为A,B，在x轴上是否存在定点D，满足直线AD和BD斜率之和为定值？若存在,求点D的坐标和该定值;若不存在,E的顶点为±1,0,所以设椭圆C的方程为(1)设直线l的方程为y=k由y=kx+2Δ=41-当l与E的渐近线平行即k=±23时,Δ=41-所以,椭圆C的标准方程为y24+(2)假设存在定点Dt,0满足设Ax将m=14代入①式，得1+则x1+x2=k2λ=kAD将②③代入整理，得λ=-8所以λt+22k2解得t=-所以存在定点D-12,0,满足直线AD和BD18.(17分)袋中共有6个球,其中有4个白球,2个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另补一个白球放入袋中.重复上述过程n次后,袋中白球的个数记作Xn,Xn(1)求随机变量X1，X2(2)设PX(i)用含pkk=0,(ii)证明EXn-6是等比数列,X1=4即一次摸球摸到白球,X1=5即一次摸球摸到黑球,所以X1X45P21(2分)X2=4即二次摸球均摸到白球X2=5即二次摸球恰好摸到一白一黑球X2=6即二次摸球均摸到黑球所以X2X456P有11(5分)(2)(i)设第n次摸球摸到黑球为事件An则PXn+P==13pP==16p所以EXn+(ii)由(i)及p0+EXn+所以EXn+1-6所以EXn-6是以-53为首项,5所以EXn-6=-53×19.(17分)已知函数fx(1)若a=1，求f(2)已知x1，x2x1<x2(i)证明:x2(ii)证明:fx(1)若a=1,则设φx=lnx则φ'x=1-xx,当x∈0,1所以φx在0,1单调递增,在1,+∞单调递减,所以φx≤φ1所以fx=xφx≤0,当且仅当x=1时等号成立,(2)设gx=f'x=lnx+2-2ax若