河北石家庄市辛集中学2025-2026学年第二学期收心练习高二数学试题(含解析)

河北辛集中学2025—2026学年度第二学期收心练习高二数学试题一、单选题(本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若{a,b,c}A.aB.a+2bC.2.已知A0,0,0,B1,1,A.66B.633.设圆O:x2+y2=4与y轴交于A,B两点(A在B的上方),过B作圆O的切线l,若动点P到A的距离等于PA.x2=8yB.x24.已知椭圆C的方程为x225+y29=1，其中P1,P2,⋯,P9依次将椭圆A.10B.16C.20D.125.已知数列an对任意k∈N∗满足akA.21012B.2​1013C.26.若一个等差数列的首项为125,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是(A.d>8C.875<7.已知直线l:mx−y−2m+5=0A.1条B.2条C.3条D.4条8.已知实数x,y满足xx4+yyA.0,6B.0,2二、多选题(共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分)9.已知两条直线l1,l2的方程分别为3x+4y+A.若l1//l2B.若l1//l2C.若l1⊥l2D.若a≠6,则直线l10.已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点,过F的直线l与圆OA.直线l的斜率为−B.直线OM是C的一条渐近线C.若MF=13QF,则CD.若MF=13PF,则C11.已知单位向量i,j,k两两的夹角均为θ0<θ<π,θ≠π2,若空间向量a满足a=xi+yj+zkx,y,A.已知a=1,3B.已知a=x,y,0π3,b=0,0C.已知a=x1,D.已知OA=1,0,0π3三、填空题(本题共3小题，每小题5分，15分)12.已知双曲线C1:x2m−y2=1,C2:13.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD且PD=AD=1,AB=2，点E是线段AB上一点，当平面PEC与平面ABCD的夹角为π4时，AE=14.直线y=x+b与曲线y=1四、解答题(本题共5小题,共77分)15.如图,在正三棱柱ABC−A′B′C′中,E,F(1)证明:BE//平面AF(2)求平面ABC与平面AFC′16.已知数列an的前n项和S(1)求数列an(2)若bn=an+2023n(3)若cn=2nan−k−n17.已知F是抛物线C:y2=2px0<p<4的焦点,纵坐标为22的点P在C上,且PF=3,A,B是C上两点,直线AB不与(2)求证:直线AB过定点；(3)求AF2+18.设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>(1)求椭圆的标准方程；(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AR⋅(i)设Pm,n,求点R的坐标(用(ii)设O为坐标原点,M是椭圆上的动点,直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍,求PM的最大值.19.已知函数fx=mx+nex+m(1)求实数m,n(2)当x∈0,+∞时，证明:1.B由{a,b,c}对A:有a=132对B:设a+2b=m该方程无解,故a+2b可与a+对C:有a+2c=对D:有c=13a故选:B.2.D由A0,0,0则与AB同方向的单位向量为AB又AM=故点M到直线AB的距离为d=故选:D.3.A因为圆O:x2+y2=4与y轴交于A,所以A0又因为过B作圆O的切线l,所以切线l的方程为y=−因为动点P到A的距离等于P到l的距离,所以动点P的轨迹为抛物线,且其焦点为0,2,准线为所以P的轨迹方程为x2故选:A.4.C因为若F是椭圆的右焦点,且a2=25,可得设椭圆C的左焦点为F1,连接P由椭圆的对称性,可得P2所以P2故选:C.5.A解:由ak⋅ak+所以ak所以a2024a2022⋅a又因为a1⋅①②两式相乘，得a1故选:A.6.D设这个等差数列为an,则a由题意可得a10=125+故选:D.7.C圆x−32+y圆心3,4到直线l:mx−设直线l:mx−y−2m+5=0由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度2r=4当n=4时,d=m+当n=3时,d=m+1m2当n=2时,d=m+1m2+1=r2−n22=4−而直线l:mx−y−2m+5=0是斜率为m且过定点2综上所述，满足条件的直线l共有3条.故选:C.8.B解:根据题意,对于方程xx当x≥0,y≥0时,原方程为x当x≥0,y<0时,原方程为x当x<0,y≥0时,原方程为y当x<0记x+2y=t,变形可得y=−12x+12t由图知,t>0,当直线与四分之一椭圆相切时,tx2+y2=x24+y则有x2+y2=则有x+2y≤22即t的取值范围为0,故选:B.9.ACD对于A,两条直线l1,l2的方程分别为3x+当l1//l2,则3×8−4a=0对于B,若l1//l2,则a=6,所以平行线间的距离d对于C,当l1⊥l2,则3a+32=0,解得对于D,由选项A得:当a≠6,则直线l1,l2故选:ACD.10.ABD对于A,根据题意,Fc,0,设直线l:y=kx−kc⇒kx−y所以a=−对于B,根据题意可知OM⊥l,可得所以直线OM:y=bax是C对于C,若MF=13QF,根据题意Fc,0,联立同理联立y=−baxy由于MF=13QF,故−abc化简得e2=3,则C的离心率为3，对于D,设Px0,y0,依题意知MF故x0−c,y故P3a2c−2c,3abc所以c2a2=13得ba=32,则C的渐近线方程为故选:ABD11.BC对于A,a⋅因为0<θ<π,且θ≠π2对于B,如图所示,设OB=b,OA=a,则点A在平面Oxy上,点B由图易知当x=y时,∠AOB取得最小值,即向量a与b的夹角取得最小值,故B正确;对于a=x1+x对于D,由已知可得三棱锥O−ABC为正四面体,棱长为1,其表面积S=4故选:BC.12.3e1由题意得m>则e1e2=m+1m⋅m+42=m2+故答案为:3213.2因为底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC,DA⊥DC,故以DA,DC,DP所在直线分别为x,设平面PEC的法向量为n=a,b,令b=1,则c=2,n=2−因为平面PEC与平面ABCD的夹角为π4所以cosπ所以2−y2+5=8,解得y此时n=所以点D到平面PEC的距离CD⋅14.1由y=1−4−x2可得y−1所以曲线y=1−4−x如图所示.当直线y=x+b与曲线由图可知,b<0,且有0−1+当直线y=x+b过点0,−由图可知,当1−22<b≤−1时,直线故答案为:115.(1)证明:取G为AC′的中点,连接因为E为棱AC的中点,所以EG//CC′又F为棱BB′的中点,所以因为BB′//CC′且BB′=所以四边形EGFB为平行四边形,所以EB∥又EB⊄平面AFC′,GF所以BE//平面AF(2)取O为BC的中点，H为B′C′的中点，连接因为ABC−A′B′C以O为坐标原点,OC,OH,OA所在直线分别为则A0设平面AFC′的法向量为m=x令x=1,则y=−2,又n=0,1,0所以cos⟨m所以平面ABC与平面AFC′夹角的余弦值为16.1(2)11(3)−∞,(1)当n≥2时,an=Sn−Sn−故数列an的通项公式为a(2)由已知得b1当n≥2时,bn+1−b所以当2≤n≤11时，b所以数列bn(3)由已知得c1=22−k−2=当n≥2时，=4n要使cn+1−c设dn则dn所以数列dn为单调递增数列,即k综上,实数k的取值范围为−∞,417.(1)由题知,点P的横坐标为4p根据抛物线的定义知,PF=解得p=2或∴C的方程为y(2)由(1)知F1设Ax1,y1,Bx2,y2,直线AB则Δ=−∵直线AF,BF关于x∴k∴=2m∵m∴直线AB过定点−1(3)由(II)知，m2>1，y1+y∴===32又y=32m4−8∴y∴AF2+BF218.1x(2)(i)R3mm(1)因为椭圆C:x2a2+y2b由AB=10,得0−a2又因为离心率e=ca=1−ba2将②代入①得9b2所以椭圆的标准方程为x2(2)(i)由(1)知A0,−1，Pm,n因为点R在射线AP上,设AR=tAPt由AR⋅AP=3,得tmAR所以xR−0=3mm2+n(ii)因为直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍,即kOR=3kOP再将xR=3mm2化简得