人教A版高二数学上册选择性必修2《函数的单调性》同步练习题（含答案）

人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《5.3.1函数的单调性》同

步练习题（含答案）

基础巩固

1.函数的单调性与导数的关系：在某个区间（。泊）上，如果那么函数），=/（刈

在区间3,㈤上；在某个区间（出加上，如果r（与）＜。，那么函数），=/（©在区间

（〃,b）上.

2.判断函数y=f（x）的单调性的步骤：

第1步，确定函数的;

第2步，求出导数:（幻的;

第3步，用（。）的零点将/（X）的定义域划分为若干个，列表给出广（外

在各区间上的正负，由此得出函数），=/3）在定义域内的单调性.

3.函数的变化快慢与导数的关系：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的

较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；

反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“

回归教材

①练习

1.判断下列函数的单调性：

（1）/（x）=x2-2x+4；

（2）f（x）=ev-x.

2.利用导数讨论二次函数/。）=加+以+c的单调区间.

3.函数y=/（x）的图象如图所示，试画出函数y=/'（x）在区间（。,勿内图象的大致形状.

第1页共11页

4.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

(1)f(x)=3x-x3；

(2)f(x)=x3-x2-x.

5.证明函数f(x)=2/-6/+7在区间(0,2)内单调递减.

6.函数y=/。)的图象如图所示，试画出函数)，=图象的大致形状.

②习题

1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间：

兀

(1)/(x)=-2x+l(2)/(x)=x+cosxxe(0,—)

(3)/(x)=2x-4(4)/(X)=2X3+4X

2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间：

(1)/(X)=X2+2X-4(2)/(x)=2x2-3x4-3

<3)/(x)=3x+x3(4)/(x)=x3+x2-x.

3.如图，已知汽车在笔直的公路上行驶.

第2页共II页

（1）如果y=/（，）表示时刻，时汽车与起点的距离,请标出汽车速度等于。的点:

（2）如果），=/«）表示时刻，时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？

4.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：

（1）eA＞l+xxwO；

(2)Inx<x<evx>0.

提升训练

1.函数y=/（x）是定义在R上的可导函数，则），=/（用为R上的增函数是/'a）＞0的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.函数f（x）=x?—41nx+2x—3的单调递减区间是（）

A.Q+oo）B.（-2,l）C.（O,1）口.（-00,-2）和（1,+00）

3.若函数f（x）=2d—inx在定义域内的一个子区间（2-1水+1）上不单调，则实数2的取值范围

是（）

4浦B卜浦C.圜卜号）

4.已知/（X）的定义域为（0,+8）,/（X）为了（X）的导函数，且满足则不等式

/（x+l）＞（x-l）/（x2-l）的解集是（）

A.(O,1)B.(2,+oo)C.(l,2)D.(l,+oo)

5.(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的有()

3Vx

A.y=2x+4xB.y=x+sin(-x)C.y=log2\x\D.y=2-2~

第3页共II页

6.已知函数与/,(x)的图象如图所示'则函数g(x)=竽的单调递减区间为

7.若函数/(八)=(小十山十1)1在区间［fl］上单调递减，则实数，〃的取值范围为.

8.已知函数/(x)=2023r+—....二，则不等式/(%+1)>/(2用的解集为

2023，八3

9.已知函数/(戈)=lnx-ax(aeR).

(1)求函数/(幻的单调区间；

(2)若〃>0,求不等式/(幻-/12-工］>0的解集.

参考答案及解析

一、基础巩固

1.单调递增单调递减

2.定义域零点区间

3.绝对值平缓

二、回归教材

①练习

1.答案：(1)在(1,+OO)上单调递增，在(YO,1)单调递减

(2)在(0,十8)上单调递增，在(-8,0)单调递减

解析：(1)f(x)=2x-2

令/z(x)=2x-2>0=>x>1//(x)=2x-2<0=>x<1

所以/(X)在(1,+03)上单调递增，在(fO,l)单调递减.

(2)r(x)=e'-l

令ff(x)=er-I>0=>x>0f\x)=ev-1<0=>x<0

第4页共ii页

所以/（幻在（0,+8）上单调递增，在（-OO,0）单调递减.

2.答案：4>0时/（X）在（9,-2］上递减，（一2,+oo］上递增；4<0时/（X）在（-8,—21上

I2aJ\2a）\2a）

递增，［—,+oo上递减

I2。）

解析：由题设知：/'*）=2办+/。工0）,而/5）=0时有工二一2

2a

当〃>0时，/'3）单调递增，则工<-2上/（幻单调递减；x>-—±r（A）>0,/（x）

2a2a

单调递增；

当"0时，/'（X）单调递减，则不<一2上/'（x）>0,/（幻单调递增；x>-—±r（A）<0,/（x）

2a2a

单调递减；

综上，a>0时/（x）在（-8,-2］上递减，（-2,+81上递增；〃<0时/（工）在（YO,-21上

V2aJI2aJ12aJ

递增，f—,+<»上递减.

I2。）

3.答案：见解析

解析:根据题意,在区间［0,网上，/。）为常数，图象与x轴平行,其/'1）=0

在区间3加上,f（x）递减，且减小的越来越快,则尸。）<0且尸（x）的值越来越小，故尸（x）的

图象大致如图：

4.答案：（1）函数/（x）的单调递减区间为（-00,-1）和（1,3）,单调递增区间为（-1,1）

（2）函数/a）的单调递减区间为（-；/），单调递增区间为J8,和（1,住）

解析：(1)因为/(x)=3x-V

所以广⑶=3-=3(1-x)(l+x)

第5页共II页

令f'")=0解得x=l或x=-l

所以函数/(X)的单调递减区间为(TO,-1)和(1,田)，单调递增区间为(-1,1)；

(2)因为/(%)=丁-f一x

所以广(X)=3x2-2x-l=(x-l)(3x+1)

令尸(为)=0解得x=l或x=—1

3

所以函数/(X)的单调递减区间为(-Li],单调递增区间为1-8,-1和(1,e).

、3Jk3；

5.答案：证明见解析

解析：因为fM=27-6/+7,所以/'(X)=6X2-12X

当；ve(0,2)时/V)=6X2-12X<0

所以函数f(x)=2/-6x2+7在区间(0,2)上单调递减.

6.答案：见解析

解析：由图知：0cx时，/'(工)>0且为定值；

〃<x<c时，/单调递减，且在x£(a,。)上(。)>0,在xwS,c)上r(x)v0；

c<x<e时，八x)单调递增,且在xe(c,d)上八劝<0,在xe(d,e)上八幻>0

:.0<x<af(x)单调递增且为斜率大于0的直线；

a<x<b/(x)单调递增；b<x<c,/(x)单调递减；

c<x<d/(x)单调递减；d<x<e,/(x)单调递增；

②习题

第6页共II页

1.解析：(1)r(x)=-2<0,则函数在xwR上单调递减，即单减区间为(—8,+8),无

单增区间；

jrjr

(2)/r(x)=l-sinx>0,XG(O,-)则函数在xw(Oq)上单调递增，即单增区间为

(0.J),无单减区间；

2

(3)f(.x)=2>0,则函数在XER上单调递增，即单增区间为(—8,+8),无单减区间；

(4)/(X)=6X2+4>0,则函数在XGR上单调递增，即单增区间为(一0+8),无单减区

问；

2.答案：(1)单调减区间为(□,-1),单调增区间为(-1,y)；

(2)单调减区间为(―弓3)3，单调增区间为6,内)；

44

⑶单调增区间为(一8,+8),无单调减区间；

(4)单调增区间为(-8,7)和(；,+8),单调减区间为

•J

解析：(1)因为二次函数/(x)=/+2x—4,所以抛物线的对称轴为x=—1,所以/(x)的

单调减区间为(-8,-1)，单调增区间为(-1,48)；

(2)因为二次函数〃X)=2£—3X+3,所以抛物线的对称轴为工=《，所以函数/(%)的单

调减区间为S,。)，单调增区间为《收)；

44

(3)因为〃x)=3x+d,所以f(x)=3+3f,由于/'(X)=3+3%2NO,所以函数/(X)

的单调增区间为(-8,+8),无单调减区间；

(4)因为/(力=工3+/一工，所以/(%)=3工2+2工-1=。+1)(3X一1)

令/0)=。解得工=-1或X=；,所以函数“X)的单调增区间为(―8,—1)和6,+8),单

调减区间为(―LQ).

3.答案：(1)各点见图示；(2)各点处的加速度为0.

第7页共II页

解析：如图所示:

(1)因为位移对于时间t的导数即速度，故汽车速度等于0的点即图中导数为0的点；所以

汽车速度等于0的点为AB,C,D,E,F；

(2)因为速度对于时间t的导数即加速度，故(1)中标出点的意义是各点处的加速度为0.

4.解析：(1)由题意，，>l+x等价于，一工一1〉0,令/=・・・八幻=炉一1,

而/'(。)=))一1=。，，x<0时/(x)<。，J'(x)单调递减；%>。时/r(x)>0,f(x)

单调递增；故/(幻>/(0)=0在xwO上恒成立，即・・・F>l+x，RWO得

(2)由题设，lnx<x等价于x-lnx>(),x<e'等价于/—x>0,令/(x)=x-lnx,则

=而/⑴=1—1=0,・・・0<x<l时f(x)<0,7*)单调递减；工>1时

X1

f(x)>0,/(X)单调递增；故/⑴=1在x>0上恒成立，即X—lnx21>0・•・

1口工<1在％>0上恒成立，令g(x)=e'一无，则g(x)=e'-l,而g'(O)=e°-l=0

x>0时g'(x)>0,g(x)单调递增，故g(x)>g(O)=O在x>0上恒成立，即，-工>0

在x>0上恒成立，综上\nx<x<ex^x>0上恒成立.

第8页共II页

三、提升训练

1.答案：B

解析：由导数与函数单调性的关系可知，若Wxw力，r(x)>0则/(X)在。内单调递增.所以

当XER时f\x)>0,则/*)在R上单调递增，即/(4)为R上的增函数，所以必要性成立;

而当/(X)为R上的增函数时广。)之0,如f(x)=d在R上是增函数,但尸(x)=3fN0,所

以充分性不成立.故选B.

2.答案：C

解析：由题意得，函数f(x)的定义域为(0,+oo),尸(x)=2x—3+2=2("+2)&T).由广⑴<o,

XX

得0<x<l,所以函数/。)的单调递减区间是(0,1).故选C.

3.答案：C

解析：由题意，得函数f(x)的定义域为(0,+oo),/(E)=4AL令八幻=0,解得犬=,或戈=-L

x22

(舍去).当时f\x)<0,函数/(x)在区间(0,；)上单调递减；当X〉；时，>0函

数外外在区间上单调递增.因为函数在区间(2-1M+1)上不单调，所以

1133

k-l<-<k+l,解得一一<k<一.又所以1VZ〈一.

2222

4.答案：B

解析：构造函数y=？(x),x£(0,+8)则y'=/(x)+,y[x)<0,所以函数y=必\幻的图象在

(0,y)上单调递戒因为/(x+l)>(x—l)/(f—1),所以(%+1)/(工+1)>，_1)/，_1),所以

x+l<x2-l,解得x>2或X〈-1(舍).所以不等式/(工+1)>*-1)/12_1)的解集是(2,小).

第9页共II页

故选B.

5.答案：ABD

解析：由奇函数的定义可知，A,B,D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于选项A,

y=6x2+4>0所以y=2/+4x在(0,1)上单调递增；对于选项B,/=l-cosx>0且y'不恒

为0，所以y=x+sin(-x)在(0,1)上单调递增；对于选项D,)，'=2-2+2)In2>0所以

y=2x-2~x在(0.1)上单调递增.故选ABD.

6.答案：(0,1)(4,+8)

解析：［⑴卜)二八文)/“),由题中图象可知，当工£(0,1)时

(打e

P»-/(x)<0,此时g〈r)v0；当xw(4,y)时r(x)-/(A)<0,此时g'(x)v0,故函数

g(x)="。的单调递减区间为(0,1)和(4,+on).

el

7.答案：(YO,-2］

解析：由题意得r(X)=［X2+(〃7+2)x+"+1E=(X+m+l)(x+l)evW0在［T,1］上恒成立.易得

(A+l)ex>0,所以x+m+140在［-1,1］上恒成立,即〃在上恒成立，故只需

"z«(-X一l)min•当x£［―1,“时—x—\e［-2,0］,所以"?4—2.

8.答案：

解析：由题意知，函数/(x)的定义域为R,且

/(一)=2023-x+—=-^―+2023、-」=fM,所以函数/(/)为偶函数.因

2U23\~X)+3X+3

119r

为当x20时f(x)=2023rIn2023+-----In——十——J

2023r202343)2

=(2023v-2023-v)In2023+2x,>0,又因为尸(x)不恒为零，所以函数/*)在［0,+8)上为

(43)一

增函数.因为/(x+l)>/(2x),所以/(|X+1|)>/(|2K|)