江苏省某中学2025-2026学年高三年级上册第一次质量检测（10月）数学试题

江苏省泰州中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测（10

月）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合4=何咋/工2},8={-11,3},则人（）

A.{1}B.{-1,1}C.{1,3}D.

2.已知随机变量X服从正态分布N（4,"）（b>0）,若P（X23m）+P（X>〃-4）=1,则实

数机=（）

A.-2B.1C.2D.3

3.已知某圆台的高为近，上底面半径为拉，下底面半径为2应，则其侧面展开图的面积

为（）

A.9乃B.6岳C.9"rD.

4.已知”,。>0且必=1,则（。+1）（0+1）的最小值为（）

A.4B.6C.272D.8

5.将4本不同的书分给2名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（）

A.24B.36C.64D.72

6.已知函数/（x）=log“[x（。—x）]（〃>0,且在（L2）上单调递增，则。的取值范围

为（）

A.（1,2]B.（1,4]C.[2,+oo）D.[4什）

7.如果实数X、y满足/+3,2-61+4=0,那么一二的最大值是（）

x+2

A正B.述C.J5D.；

552

/\12”—/zx\I

8.已知函数/（'）=।1则方程/（7（力）=：的解的个数为（）

2-x,x>\,2

A.3B.4C.5D.6

二、多选题

9.为了探讨学生的物理成绩》与数学成绩x之间的关系，从某批学生中随机抽取io名学生

的成绩(WJ)(i=l，2,3JO),并计算出［=80,物理成绩)'关于数学成绩x的线性回归方

程为»=0.8x+12.5,则下列说法正确的是()

A.7=76.5

B.当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5

C.相关系数r>0

D.现发现10位同学口有两位同学数据(70,65)和(90,100)误差较大，剔除这两

对数据后，得到的线性回归方程为9=4+。，则实数。的值为-5

10.已知a,〃wR,a>l>6>。，则()

A.a+b>ab+\B.+b>\la+b，

Ia-\\-h

C.a+--->2D.---->----

a-bha

11.已知正方体ABCQ-A司G。的棱长为2,MN为正方体ABC。-A4GR的内切球。的

直径，夕为正方体ABCQ-A用GR表面上一动点，则下列说法正确的是()

A.若尸在线段eC上运动，则

B.若〃在线段用C上运动，贝1j同4十|/>目的最小值为遍+&

C.AM与g所成用的范围为［。，力

D.的取值范围为［0,2］

三、填空题

12.已知/(X)=(2+2X)的二项展开式中各项系数的和为.

IX)

13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为产，直线/与抛物线。相交于4,8两点，且与丁

轴相交于点人若|PA|=3|P8|,MF|=8,|BF|=4,则〃=.

14.已知定义在R上的函数/(x)满足：为奇函数，/(0)=0,/(3x)=2/(x),

试卷第2页，共4页

且对任意看>%>0,都有则=.

四、解答题

15.如图，在正三棱柱A8C-A4G中，底面边长为2,侧棱长为名,。是8c的中点.

4K____________

B

(1)证明：A8”平面4DQ；

(2)求直线人蜴与平面人。。所成角的正弦值；

16.已知椭圆C:Y+2)，2=2^g〉0).

(I)求椭圆C的离心率e；

(2)若2=1,斜率为1的直线/与椭圆交于A、B两点,且|A8|二g,求直线/的方程.

17.已知f(x)=l-1片为奇函数，g(x)=2x2+b2x-b.

(1)求实数。的值；

(2)求函数“力的值域;

⑶若函数8(7"))有两个零点，求实数〃的取值范围.

18.已知双曲线《一小1的离心率为季且经过点卜,6).

⑴求W的方程；

⑵已知M(1,O),若垂直于x轴的直线与W相交于A8两点，直线八M和W的另外一个交

点为C.

(i)求证：直线3c过定点G；

(ii)过点G作直线/交IV的右支于E,F两点,求..ME"的面积的最小值.

19.某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来刍国内三所高校的10名应届毕业生

进入后面试环节.具中A校和8校各4名，C校2名，1。名面试者随机抽取1,2,3,...10

号的面试序号.

⑴若来自A校的4名毕业生的面试序号分别为q,%,%,%，且《〈生〈a3V4，来自8校的

4名毕业生的面试序号分别为伉也也也，且仇<%<4<%,来自。校的2名毕业生的面试

序号分别为G，G,且G<Q.

(i)求概率。(包=1。),口44G)；

(ii)记随机变量X=%,求X的均值E(X).

(2)经面试，第，・位面试者的面试得分为N,,且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分

最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：5={；|j>4,且

/V.>/Vr.,l</<J-l}u{10j,集合S中的最小元素为攵，最终录用第k位面试者.如果以新规

则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一、二(按得分从高到低排)的两名毕业生之一被

录用的概率不小于0.59.

试卷第4页，共4页

《江苏省泰州中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测（10月）数学试题》参考答

案

题号12345678910

答案CDCABDDBACDABC

题号11

答案ABD

1.C

【分析】根据对数的定义与单调性求解集合人然后求解交集.

【详解】由log2%>由则0cx44,

所以Ac8={l,3}.

故选：C.

2.D

【分析】根据正态分布的对称性可求实数机的值.

【详解】因为P（XN3,〃）+P（X>m—4）=1,

故3/〃+〃z—4=8,故，〃=3,

故选：D.

3.C

【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出.

【详解】易知母线长为,（5丫+（2拉-0丫=3,且上底面圆周为2也4，下底面圆周为

4夜兀，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3,则大圆半径为6,

所以面秒|S=,x6x4VLr-Lx3x2&;r=9VLr.

22

故选：C.

4.A

【分析】由9+1）=2+。+〃，利用基本不等式即可求解.

【详解】由题意有（。+1）（〃+1）=。〃+。+〃+1=2+。+〃22+2疯=4,

当且仅当1=匕=1时，等号成立，

则（4+1）（〃+1）的最小值为4.

故选：A.

答案第1页，共14页

5.B

【分析】根据题意先分组后分配，利用排列组合数计算即可.

【详解】由题意，4本不同的书可以分成2』』三组，有C：=6种分组方法，再分给3名学

生，有A：=6种分配方法，

所以，不同的分配方法数为6x6=36.

故选：B.

6.D

【分析】根据对数函数的星合函数的单调性求参即可.

【详解】若0<"1,则M。—x）<0在（1,2）上恒成立，不符合条件.

«-1>0,

若。>1,则“X）在（1,2）上单调递增，得〃解得/4.

故选：D.

7.D

【分析】首先将题干方程转化为圆的标准方程，则一彳是圆上一点（人,力与（-2,0）所在直线

人I乙

的斜率，当直线越陡，斜率越大，即当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，由此可算

出一二的最大值.

x+2

【详解】将乂丫满足的方程转化为（x-3『+y2=5,发现其是一个圆心在（3,0）,半径为后的

圆，

而我=方|可看作是圆上一点（X,y）与（-2,0）所在直线的斜率，

易知当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为a（0va<£|,

则5也。=邛不=坐，由同角的三角函数关系可得tana=：,即斜率最大为:，

3—（—2）322

所以一二的最大值为

x+22

故选：D.

8.B

【分析】作出函数“X）的图象，设首先得到y与y=/（力有三个交点，横坐

答案第2页，共14页

标分别为32出(乙<，2<，3)，其中八<0,0J<1，G>1，然后将方程"『(""J解的个

数问题转化为方程/⑴f，/(x)=r2,/(x)=G解的个数之和即可得出答案.

【详解】函数〃力的图象如图所示:

如

片1

——尸0.5

________\»

4Ot26\

y=fw\

设则方程/(〃")=；即/")=；，由图象可知，尸:与y=f(x)有三个交点,

横坐标分别为B2J3&<a<G)，其中4<0，4>1，

方程.f(/W)=T解的个数转化为方程/(x)i，/(6=明/("=，3解的个数之和，

由图象可知，.y=，i与y=f(x)有一个交点，y=，2与y=/(x)有三个交点，

y=h与y=f(x)没有交点,

所以方程=g解的个数为1+3=4.

故选：B

9.ACD

【分析】对于AD：根据线性回归方程必过样本中心点(元力运算求解;对于B：代入汇=100,

结合回归方程的意义分析判断；对于C：根据正相关的定义分析判断.

【详解】对于选项A：因为线性回归方程必过样本中心点(元月，

由题意可得：y=0.8x80-12.5=76.5,故A正确；

对于选项B：令x=100,可得§=0.8x100+12.5=92.5，

但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，

所以预测物理成绩为925故B错误；

对于选项C：因为0.8>0,即线性回归方程为)，=0.8x+12.5的图象是上升的，

可知)，与x满足正相关，所以相关系数厂>0,故C正确；

答案第3页，共14页

ma力丽H物用u80x10-70-90QC

剔除M两对数据后，x=------------=80,

O

76.5x10-65-100“

--------------------------=/5,

）'=8

因为线性回归方程必过样本中心点"，)，，

所以75=80+〃，则〃二一5,D正确.

故选：ACD

10.ABC

【分析】应用作差法比较代数式的大小判断A、B；由放缩及基本不等式判断C；应用特殊

值举反例判断D.

【详解】A：由则一而-1=。（1一份+（〃-1）=（。-1）（1一〃）>0,则a+Z?>aZ?+l,

对;

B；tfcl«>1>Z?>0,W*Jci2-^-b—a—b2—(a—b)(a+b)—(a—b)—(a—b)(a+b—\)>0,

所以/+力>〃+//,则J/+b>，对；

C：由则a+―—>a+—>2.a--=2,对；

a-ba、a

D：若a=l.l>l>〃=0.5>0,贝I匕^=瞿=!<二^=兽=三，错.

b0.55a1.111

故选：ABC

11.ABD

【分析】对于A,根据线面垂直的判定及性质可判定；对于B,最短距离问题可把两个线段

展开到一个平面考虑；对于C,利用线线角的概念及球的性质可得线线角的最大值进而可判

断；对TD,可采用极化恒等式来转化数最积结合球的性质即得.

【详解】对于A,连接44，AC,BDBa，由正方体的性质可知QRJ•平面ABC。，BOu平

面4RCD.故。2J■以一).

答案第4页，共14页

又AC_Z8O,3D'DR=D,3D,DRu平面3QD蜴,所以AC_L平面8。。蜴，

又BRu平面8DD月,AC1BD.,同理可得

又AC「ABi=A,AC,4优u平面人印:,所以8仅_|_平面极C,又APu平面同4。，

所以8R_L”,故A正确；

对于B,把平面AAC绕着国。展开到平面仍。，使得AB位于用。两侧，如图所示,

则8旦=3C=2,A4=BC=AC=2五，|人P|+|PB以人8|=#+0,故B正确;

对于C,易知4G的中点即为球心0，如下图所示:

当人M与球相切时，,与核所成的角最大，此时sin—”“《烂=・当

显然/M40<5，结合两直线所成角的范围可知AM与人G所成角的范围为。，^是错误的,

3。

故c错误;

对丁D,依题意可知O为正方体的中心，如下图所示:

PM-PN=(PO+OM)(PO+ON)=PCf+POOM+PO-ON

答案第5页，共14页

+OMON=P(f+PO(OM+ON)-OM2，

又因为MN为球o的直径，所以OM+ON=O"OM|=|ON|二I,即可得PM.PN=PO2_I.

易知当点P为正方体与球。的切点时，|PO|最小；当点尸为正方体的顶点时，|po|最大，

故|PO|e"G],因此可得尸M/N的取值范围为[0,2],故D正确.

故选：ABD.

12.256

【分析】利用赋值法计算即可.

【详解】对于/(x)=《+2x),令x=l,

则“X)的二项展开式中各项系数的和为〃1)=4"=256.

故答案为:256

13.4

【分析】如图，易得.左£PBN,则胃二揣.后市抛物线定义及题目条件可得答案.

【详解】过点A,8分别作抛物线准线的垂线AO,BM，

垂足分别为。，且40,AM与)'轴分别相交于E,N,

则",.PBN,得鲁爵

由抛物线的定义知|A尸|=|明,\BF\=\BM\f

则辟鼾st案[解得〃=4.

故答案为：4.

答案第6页，共14页

【分析】由题设可得/(IT)+/(X)=2、/(1)=2,根据;＜印〈|有，

唱”(野脩结合《MJ?、唱十⑴即可求解.

【详解】由题设/(一%+£|-1+/(1+；)-1=0,则J(-X+；)+/(X+；)=2,

所以/(I-v)i/(x)=2,即/(%)关于(；,1)对称，又〃0)=0,则/⑴=2,

由于;＜浮＜：，乂任意与都有/伍)"/(“3

所以母彳野电｝

由〃3"=2/(力，故/")=g/(3x)n乂£|=T/(l)=l,

而唱故©，停卜2,故同=L

故答案为：3

15.(1)证明见解析

⑵巨

4

【分析】(1)利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可;

(2)利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值;

【详解】(1)如图，连接4。交AG于点。，连接OO,

则点。为AC的中点，且。是8C的中点,

则为.A8C的中位线，所以。。//48.

又因为OQu平面A。。-4用二平面AQG，

答案第7页，共14页

所以A/"平面AOG.

B

(2)取8c的中点P,

因为在正V/WC中，。是8c的中点，故人。S4C,

因为三棱柱ABC-A4G为正三棱柱，

所以CG_L平面A8C,

又因为。是3c的中点，尸是4G的中点，

所以。尸〃CG，

所以OF1平面A8C,所以DFJ.BC,QF1AD，

以。为坐标原点，分别以以、DB、。产为轴，建立空间直角坐标系,

则力(O,QO),A(73,o,o),C(0,-l,0),3(0,1,0),A(6,0,⑹,C,(0,-1,75),4(0,1,6).

故A4=(—G/,o),£)4=(点0,0),DC；=(0,-1,

设平面ADC,的法向量为m=",y,z),

则「.令y=M，贝lJx=0,z=l,g|Jw=(0,V3J.

in-DC,=-y+\/3z=0

设直线A4与平面AOG所成角为0,

答案第8页，共14页

可得sin0=cos

所以直线A片与平面ADQ所成角的正弦值为由

4

16.(I

(2)x-y+V2=0.

【分析】(1)直接根据椭列的离心率公式得答案;

(2)由〃=1可得椭圆方程为：f+2,y2=2,再设直线/的方程，联立直线方程与椭圆方程,

结合椭圆弦长的解法，利用韦达定理化简可求直线方程.

【详解】(I)椭圆C：f+2y2=2//仅＞o).化为标准方程：.+£=］仅＞o),

•••椭圆长半轴长为后，短半轴长为〃,

网2・

(2)b=\,斜率为1的直线与椭圆交于4、8两点,

设斜率为1的直线/的方程为丁="+加,且4(%/)、

y=x+m

由，金+22_2,消去y得3x2+4〃次+2m2-2=0»

△=16，/-12(2/n2-2)>0,解得—Gvm<G,

--4m2m2-2

A-+X2=——,x,-x2=---

迪_8加二8=±出矛4

=>/2|A--X2|=V2X^(X,+X2)--4XjX2=V2x

9333

解得病=2,即〃?=±0.

答案第9页，共14页

・•・直线/的方程为x-y±、E=O.

17.⑴。=2

⑵(-L1)

⑶(0,1)

【分析】(1)根据奇函数为性质/(0)=。求得，7=2,然后检验满足即可得解；

(2)根据4、＞0,结合不等式性质求解函数“X)的值域；

(3)先判断“力为增函数，令/(*=，，然后将函数g(/(“)有两个零点转化为屋。=0在

(-1/)上有两不等根，最后利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.

【详解】(1)函数/(X)定义域为R,

因为/(“为奇函数，所以/(力+/(-力=。

当工=0时，/(0)+/(-0)=0,所以/(0)=0,故1一品=0/=2,

241-1

则/(x)=l—--,经检验，满足条件，故“=2.

v74A+14'+1

(2)因为4，＞0,所以4*+1＞1，

12-2

所以。〈亦〈1,即°＜屋＜2,所以+

所以函数/(力的值域

(3)因为y=4、为增函数，所以y=4'+l为增函数，y=士•为减函数，

4+1

所以“X)为增函数.令〃x)=，，则g⑺=0.

由(2)可知，当时，/(力=，仅一根，

所以g(/)=0在上有两不等根，

A=//+8/2>0

(€(一,1)

所以解得0v〃vl,所以be(0,l).

^(-1)=2-/?2-/?>0

g⑴=2+/-/»0

答案第10页，共14页

18.(1)--/=!；

4.

(2)(i)证明见解析；(ii)3G.

【分析】（1）根据离心率公式以及点的坐标，联立方程即可求解，

（2）（i）联立直线与双曲线的方程，可得韦达定理，根据斜率公式以及三点共线，即可求

解，（ii）根据弦长公式以及三角形的面积公式，利用导数求解函数的单调性即可得最值求解.

【详解】（1）因为双曲线例m-±=1的离心率为亚，

ah~2

所以£=有，所以c=b=—a»

"222

所以W的方程为，亨=1,代入点（4,6）,解得片=4,

2

所以W的方程为尸=1；

4-

（2）⑴方法一：设“（4y）,c（孙名），则人（玉，X），

1

因为AM,C三点共线，所以二*二aT.

X1-1x2—1

当BC〃x轴时，AM,C三点不共线，所以BC斜率不为0,

设8c的方程为x=T+〃.

x=ty+n

联立双曲线x22，得(尸一4)y2+2g+〃2-4=。,

---V'=1

4-

2

所以4=4〃。2-4（/一4）（〃2-4）＞（）,hitn-4

%+为=一曰，》%=三7

又一-上所以~~?二°’

"7=7'?

%1-1X2-I/)，］+〃-102+〃一］

即2叫为+（〃一1心+为）二°，

化简得2/(〃—4)=0.

显然，CO,所以〃=4,直线恒经过定点（4,0）.

方法二：设A（、,yJ,C（孙必），则Wxf）,直线AM：y=k（x-1）f

-1)

7

联立双曲线JX~21

---y=］

4，

得(1-4/卜2+8以一4&2-4=0,

答案第11页，共14页

A=64^4+16（l+A:2）（l-4A2）=16-48A:2>0,

口8&24公+4

且用+X、=­；——，x.x.=—；——，

1•4公_]124A2T

由L=%+',则直线8C：y+M=%+'（x7j,

x2-再x2-西

整理得）'=•X-=_!_[（%+%）X-（西为+当）1）],

x2一百x2-X）x2-Xj」

又y+%=k（&+/）-2k=4/7,

+x=

西）‘2+WY=2k.xlx2-k（x]2）-jpry»

2k/人

j=(…J(m)，显然直线8C过定点G(4,0),得证;

(ii)由直线/过点G(4,0：l,与双曲线右支交于E,尸，故斜率必不为0,

可设/：x=my+4,七(2,％),尸(%,外)，联立双曲线:■-)3=1,