山东某中学2025-2026学年高二年级上册10月阶段测试 数学试卷

山东师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期10月阶段性检测

数学试题

一、单选题

1.直线3x+石y-2=0的倾斜角为（）

n'n八兀22兀

A.-B.-C.-D.—

6433

2.若｛〃/，4构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）.

A.abta+hB.«,c,a—c

C.a+b»c»a—bD.a+b+ca+b»c

3.我国占代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，己

如四棱锥〃一八08是阳马，平面A〃C。，且7^AB-a.AD-b.AP-c,则BE=（）

4

/iEXX

。

♦

c

515515

--〃.

A+〃-

一

-一--

•444B.444c

D.

313313

c-4-〃-c--++-

•44-44-4-4

4.已知”=（TO,1）为直线A8的一个方向向量，点A02-1）,为、2,-1,2）,则点户到直线A8的距离为（）.

A.4B.V17C.3&D,M

5.一条光线从P（6,4）射出与尤轴相交于点Q（2,0）,经工轴反射，求反射光线所在直线的方程（）

A.x-y+l=0B.x+y-5=0C.x-y-2=0D.x+y-2=0

6.点A（-2,l）到直线/："a一丁-2m-2=0（6为任意实数）的距离的最大值是（）

A.75B.4C.5D.25

7.PAP8.PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60。，那么直线PC与平面所成的角

的余弦值是（）

A.&B.且C.；D.石

332

8.已知。为坐标原点，直线/过点。且与x轴负半轴交于点4,与丁轴正半轴交于点8,则VAO8的

面积的最小值为（）

A.12B.3及C.8D.6

二、多选题

9.已知直线4:（O+2）X+4）」8=04：6'+'-4=0,awR（）

A.若4〃4,则a=T或2

B.原点0到直线乙的最大距离为40

C.若4M，则a=-3或a—0

D.4：（〃+2）x+世—8=0不过第二象限则—2<a<0

10.如图，在棱长为1的正四面体ABCO中，点M,N分别为棱BC,AO的中点，则（）

A.MN=；B.直线A8与MN所成角为§

2

C.ABLCDD.直线AM与CN所成角的余弦值为§

II.如图,在直四棱柱ABCO-A4GR中.底面AAOT为菱形./8八。=60./3=八4=2）为。6的中点,

点。满足。+〃。〃（24。，1］，〃且0』］）.则下列结论正确的是（）

A.若2+T，则四面体ABPQ的体积为定值

B.若点Q在以用为球心，2为半径的球面上，则点。的轨迹长度是几

C.若4=】且〃=；芯为8c的中点，则异面直线EQ与与。所成的角为60“

D.若4=1且〃=：,则存在点E在线段A8上，使得AE+EQ的最小值为曲+2M

三、填空题

12.若P，Q分别为3x+4y-6=0与6x+8y+3=0上任一点，则|尸。的最小值为.

13.过点A(2/)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为.

14.如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1,活动弹子M,N分别在对角线

CA,8/上移动，且CM=BN=a(()〈a<6),则MN的取值范围是.

四、解答题

15.已知VABC的顶点坐标为A(1,3),B(3,5).

(1)若顶点C(6,2),求AC边上的高所在直线的一般式方程；

(2)若顶点。在x轴上，且VA8C的面积为8,求顶点C的坐标.

16.如图，在平行六面体中，底面/WCO是边长为1的正方形,

^AlAB=^AiAI)=60,A^A=2,AB=ayAD=byAAy=c,M为CC1中点.

(1)用空间的•个基底｛51，"｝表示DM,AC；

⑵求异面直线与AC所成角的余弦值;

(3)求证：AtClBD.

17.如图所示的几何体中，底面ABCO是平行四边形，AB=AC=6,BC=2,四边形AC所为矩形，平

面ACE/_L平面ABC。，AF=\,点/是线段£尸的中点.

(1)求证：ABJ_平面ACE77；

(2)求点E到平而BCM的距离d；

(3)求直线CM与平面BFM所成角的正弦值.

18.在平面直角坐标系中，已知VABC的顶点人(-4,2),人8边上的中线。户所在的直线方程为x+2y-5=0.

⑴求经过顶点A且平行于CF的宜线方程；

⑵若AC边上的高班:所在的直线方程为x-3y+10=0,求边8c所在的直线方程；

⑶若NB的平分线5。所在的直线方程为)，=2x,求边AC所在的直线方程.

19.如图，在VA8C中，AC±BC,AC=BC=2,。是AC中点，E、尸分别是4A、8c边上的动点，且

EF//AC,将48所沿所折起，将点3折至点尸的位置，得到四棱锥P-ACEE.

ADC

⑴求证：即〃平面PAC；

(2)若8E=AE,二面角2-瓦'-。是直二面角，线段P4上是否存在一点M,使得平面MKC与平面AEC夹

角的余弦值为75?若存在，求出誓的值；若不存在，请说明理由；

3PA

(3)当叨_LAE时，求直线正与平面A8C所成角的正弦值的取值范围.

参考答案

1.D

【详解】由直线方程3x+"y-2=0,

则直线的斜率为-石，即为倾斜角的正切值，

所以倾斜角的大小为年.

故选：D.

2.C

【详解】对于A,因为解)+但)=(万+肛

所以4,力，4+E共面，不能构成空间的一个基底，故A错误：

对于B,因为(a—c)=(a)+(—l)(c),

所以“，c,共面，不能构成空间的一个基底，故B错误；

对于C,假设〃+〃，c,共面，则存在实数人〃，使得=+

4=1

由于｛a,b,c｝为空间的一个基底，所以可得实数4〃的解为卜”=1,

A=0

但"=1与-〃=1矛盾，假设不成立，即a+〃,c,a-6不共面，能构成空间的一个基底，故C正确;

对于D,因为(n+〃+c)=(a+〃)+(c),

所以。+〃+c,o+〃,c共面，不能构成空间的一个基底.

故选：C.

3.D

【详解】A尸一48+：(AC—4P)=AP—AB+；(A8+4O-AP)

1/.\31.3.

=c-a+—\a+b-c\=—«+—/?+—c.

4V7444

故选：D

4.B

【详解】PA=(—1,3,—3),故|PA|二M,

〃_2_屈

所以cosPA,

设直线Q4与直线AB所成角为0,

则cos<2=|cosPA,z?|=，可得sin6=J1一=~~~，

因此点P(2,T?)到直线AR的距离为忸人卜加。-J用乂半I-J万.

故选：B.

5.D

【详解】P(6,4)关于x轴的对称点产(6,-4),

光线从尸(6,4)射出与x轴相交于点。(2,0),则反射光线经过点P；Q,

由两点式方程可知，

所求直线方程为上二二>1,化简得X+)」2=0.

-4-06-2

故选：D.

6.C

【详解】直线方程可改写为〃心-2)-(y+2)=0,表明直线/恒过定点仅2,-2),

点A(-2,1)与点以2,-2)的距离为：|A8|=J(2—(-2),+(-2—1了=5+(-3>=后=5.

当直线/与线段AB垂直时，点A到直线/的距离最大，且最大值为|A8|=5.

-2-13A

此时线段AB的斜率为丁二;=-彳，直线/垂直于AB.直线/的斜率为，〃=彳.

Z—(—2)43

故选：c

【详解】方法一：如图所示，把PAPB/C放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则

PAPB,PC两两的夹角均为60°.

建立如图所示的空间直角坐标系(其中。为原点)，设正方体的凌长为1,

则P(1,O,O),C(O,OJ),8(010),所以尸C=(-1,O,1),E4=(0,l,l),ra=(-1,1.0),

n-PA=y+z=0,

设平面PAB的法向量〃=(A;y,z),则

n-PB=-x+y=0,

令了一1,则)，=1,z=-l,所以*=(1,1,1),

“PCn-2-V6

所以cosPC"而二罚"亍，

设直线PC与平面以占所成的角为0,1｝所以sine=k°s尸C,〃卜半，

所以cos。=Jl-sin。，=.

3

故选:B.

方法二：

如图所示，把PA0反PC放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则PAP从PC两两的

夹角均为60。.

正方体中，点出发的体对角线。。与平面融8垂直，所以直线PC与对角线CD所成的角的正弦值，即为直

线PC与平面P48所成的角(记为0)的余弦值.

cos(9=sinPC,CA)=—=^==—.

DC63

故选：B.

方法三：

设射线PC在平面上钻的射影为射线PE,则直线PC与直线尸石的夹角/C尸石即为直线PC与平面所成

的角.由最小角定理可得，cosZAPC=cosZCPExcosZAPE.

由。AP8/C两两的夹角均为60。，易得庄是NAPA的角平分线，所以ZAPE=30。.

又NAPC=60。，故cos/CPE=一/八尸。=且.

cosZAPE3

故选:B.

8.D

【详解】依题意设直线/的方程为土+；=1（。＜0力＞0）,则—3+?=1（。＜0力＞0）,

abab

31

所以—3＞0,-＞0,

ah

所以1N2、仁=即-岫212,当且仅当-3=。=:时，等号成立，

认a）bab2

所以NAOB的面积S=Ma\\h\=~ab＞6,

则VA08的面积的最小值为6.

故选：D

9.BC

【洋解】对于A,若乙〃，2,贝1）〃+2=。2且T（〃+2）H—8。，解得。=一1,故A错误，

对于B,由于4：（a+2）x+ay-8=0变形为a（x+），）+2x—8=0,故其恒过点A（4,T）,因此原点O到直线乙

的最大距离为|OA|=J4、（-4『=4&.B正确，

对干C,若则（。+2）。+。=0,解得。=一3或a=0,C正确，

对干D,若（：（a+2）x+纱-8=0不过第二象限，当人无斜率时，。=0,此时直线为x=4,满足不经过第二

象限，故。可以为0,故D错误，

故选：BC

10.BCD

【详解】由正四面体A8CO,可得N84C=NZMD=ND4C=2,

3

A,MN=AN-AM=ANA3+AC)=AO-A8一AC),

1

则|MN|二J；(4O_A8_AC)]=^AD+AB+AC+2AB-AC-2AB-AD-2AD-AC

错;

B,ABMN=^AB^AD-AB-AC1

)4二(|A8AO-AB-_ABAC)

1

ABMN2

所以直线A8与MN所成角的余弦值为COSARMNH

1『2

lx——

2

由线线角的范围知,直线A8与施所成角为5,对;

C,CD=AD-AC^则/WCQ=A/*4Q-AC)=ABAD-AI^AC=---=O,所以A/?_LCO,对;

22

-1-1-----1则kM=|Nc|=#，

D,AM=-AB+-AC,NC=AC-AN=AC——AO,

222

AMNC=\^A13+^AC\\AC-[AD\=-ABAC--ABAD^-AC2--ADAC=---+---

222242448282

AM.NC|T2

设直线AM与CN所成角为。，则cos6=kosAM,NC=

|画叫一旦也—3，

vxV

7

所以直线AM与CN所成角的余弦值为：，对;

故选：BCD

11.ABD

【详解】对于A,如图，取。。靠近。的三等分点为N,OC靠近。的三等分点为M,

连接C〃,MN,因为A+〃=；,所以34+3〃=1,

令DN=；DQ、DM=；DC,而。。=/lZX?+〃OR,

则DQ=3/IOM+3〃ON,得到QeMN,

因为靠近D的三等分点为N,DC靠近D的三等分点为M,所以MN//CD,,

而由直四棱柱性质得

而A8=/U,=2,由勾股定理得网=&2+2?=22,

在直四棱柱48。。一4四。01中，ADJ，BC,AR=BC,

得到四边形ARCB是平行四边形，故BA//CR,

则BA〃MN,由题意得P为CG的中点，则A田尸的面积是定值，

而MN（Z面A3P,姐u面从出尸，所以MN//面

结合QeMN,由线面平行性质得。到面A8。的距离为定值，

即四面体A8PQ的体积为定值，故A正确，

对干B,点。在以及为球心，半径R=2的球面上，

且满足OQ=义。。+〃。4住4。1］，〃［。』］）,

则点Q的轨迹是圆（的一部分），圆心为4在面C/〃）C上的射影，

即为RG的中点七，半径「二次一昭，=1,

因此点。的轨迹是以E为圆心，半径/■=1的半圆，因此轨迹长度为兀，故B正确;

对于C,若％=1且〃=3，则。与〃重合，E为3c的中点，

异面直线EQ与4R所成的角即为异面直线BC、和8D所成的角，即为NO8G,

在三角形4CQ中，易知Bq=DCkBD,因此N。4G不等于60",故C错误；

对于D,若2=1且〃=g,此时。Q=OC+g。。，

因为尸为的中点，所以CP=；CC=：OQ；,

由向量加法法则得OQ=OC+C尸，故。。=。。+；。。；，

则点Q与点P重合，此时把△AAB沿着AB翻折，

如图，使得人,人比尸四点共面，此时AE+EQ有最小值

小

尸（。）

JB

此时的点均为翻折过的点，因为P为CC1的中点，所以CP=CP=1,

由勾股定理得8尸=/?弄=石，如图，连接4£，

由已知得,则/（7圈4=120,

由余弦定理得_]=2-+2、AC],解得AG=2百，

22x2x2

由直四棱柱性质得CGJ-面AB£R，则cc,±AG,

则由勾股定理得A尸=«2厨+f=713，

则BP?+A=A产，故/PB%=90,

而AB=AA=2,则NABA=45,得至l」NPBA=135,

由余弦定理得-*=迈亡号二小，解得AP=49+2M，故D正确.

22x75x2

故选：ABD.

12.-/1.5

1

【洋解】因2=4工[，则直线"+4），-6=0与6工+8），+3=0互相平行，

683

而P，Q分另IJ为3x+4y—6=0与6x+8y+3=0上任一点，

故当线段P。为两直线的公垂线段时，|户。|的值最小，

此时归。|的最小值即这两平行直线之间的距离小

3

故答案为：

13.x-2y=0或x-)，-1=0

【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为4力，则。+〃=0

若a=b=0,则直线过原点，又过点A(2』)，则直线方程为：x-2)，=0；

若"0,8工0,则6=可设直线方程为：2+上=1,

代入点4(2,1),可得2+1_=|,解得〃=1,则直线方程为：x-y-\=0.

综上：所求直线方程为x—2y=0或工一)，一1=().

故答案为：x_2y=0或x_y-l=0.

【详解】

xA

以朋为X轴，BE为y轴,8c为Z轴建立空间直角坐标系，

则A(l,0,0),C(0,0J),设CM=/C4,由于0<a<&，所以Ov/<1,

则Ma，0,lT),8(0,Q0)/(l,l,0),AN=/M,N(M0),

贝"="+(1-7)2=J2/-2f+l(()</<1),

函数y=2产-2/+1在区间(0,；］上单调递减，在区间上单调递增,

所以时，MN取得最小值为竺所以MNw坐」.

故答案为:

15.(l)5x-y-10=0

⑵C(6,0)或C(—10,0)

【详解】(1)由A(l,3),8(3,5),a'6,2),可得直线4c的斜率为《c=—1=—

I-65

则VABC的AC边上的高所在直线的斜率为5,该线又经过点B,

由点斜式方程可得：＞-5=5(x-3),BP5x-y-IO=O,

故AC边•上的高所在直线的一般式方程为5A-J-1()=().

(2)依题意，设C30),直线4B的斜率为3=户5-3=1,

3-1

则直线/W的方程为)」3=X-1,即x—y+2=0,

点C(a,O)到直线AI3的距离为d=世”,且|4B|=J(3-+(5-3『=2拒，

贝！JYABC的面积为-x2&x=8,

解得a=6或。=TO,即顶点。的坐标为。(6,0)或C(T0,0).

16.(\)DM=a+^c,A。=&+方-6；

(2)|DM|=V3,|AC|=V2,异面直线OM与AC所成角的余弦值为手;

(3)证明见解析.

【详解】(1)DM=DC+CM=AI3+^AAi=a+^c；

A^C=A^A+BC=-c+a+b=a+b-c.

(2)|DM\1=(a+—c)2=a+ac+—c2=1+Ix2xcos60+—x4=3,故|OM|=G.

24411

222

\AiCf=(a+b-c)=\a|+|/?|+\cf+2ab-2ac-2bc=l+1^4+0-2xl-2xl=2f故困=应.

(1\111

DM-A.C=a+—c•(«+/?-cl=1+0-1+—xl+—xl——x4=-l,

I2J'，222

所以异面直线DM与4c所成角的余弦值为万二二=£.

J3xj26

(3)因为4。8。=(〃+人-・伍-a)

-ab-a+b-ab-b-c+ac=b-a-bc+a-c

所以AC_L8。.

17.(1)证明见详解

⑵d=@

5

【详解】⑴因为A8=AC=0,BC=2,所以/0+AC?=402,

故.孙C是直角三角形，其中NR4C=90。，所以A8上AC.

因为平面AC£FJ•平面ABC。，且两平面相交于直线AC,A3u平面/WCQ,且A3_ZAC,

所以AB_L平面ACEE

(2)因为四边形AC防是矩形，所以NE4C=90。，即E4_LAC.

因为48_L平面ACE/"且A尸u平面ACM,所以ABJ_A尸.

以A为原点，分别以A8、AC.A尸所在直线为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系.

贝iJBC=f,&,0),BM=一①争.

X/

[nJ?C=O_以+应y=0

设平面8cM的法向量为〃=(N，y,zJ,有｛，即〈72

n-BM=0-J2X[+《-y+Z[=

不妨令y=2,则平面BCM的法向量〃=(2,2,及).

点E到平面BCM的距离d=匕匕=£=立

|H|M5

(3)由各点坐标可知，。屈=卜一坐,1,FM=0,^,0,SF=(-x/2,0J).

/、\m-FM=0f%=0

设平面3FM的法向量为机=(♦%,%*,),有＜,即＜r-,

〔/小8尸=()[-＜2X2+Z2=0

不妨令&=叵,则平面BFM的法向量为用=(6。,2).

I/ZZ-CMI7

设直线CM与平面8q7所成角为0,则sine=M——\=-

|w|-CM\3

18.⑴x+2y=0；

(2)x+7y-30=0；

(3)3x+y-10=0.

【详解】(1)由题意，设平行于C尸的直线方程为x+2y+〃z=0,该直线过4(-4,2),

所以T+4+m=O=〃7=O,故所求直线为x+2y=。；

(2)设3(4，%)，。(左，比)，又A8边上的中线CE所在的直线方程为1+2,，-5=0.

则%二i+2x迎工-5=0,

即加+2)%-10=0①，8+2此一5=0②，

又直线AC与直线工-3)，+10=0垂直，

y-2I_

所以xc_(_4)x§=-l,即3%+/+10=0③，

联立②③解得分=-5,%=5,

又4-3%+10=0④，联立①@解得4=2,%=4,

所以直线SC的方程为=即x+7y-30=0.

4-02_(一,)

(3)因为的平分线所在的直线方程为y=2_r,所以小=24⑤,

联立①⑤求解可得々=2,%=4,

贝IJ直线A5方程为汽即x-3)，+10=0,

4-22-(-4)

设直线8C的方程为(Lx+by+c=0,则加+4〃+c=0,

又点0(0,0)在直线)，=2x上，

由角平分线性质可知，。到直线八反8。的距离相等,

10c

则Ml而=7^即I而+1函一,2=0,

又c=-2a—4b,所以10/+](访2-(-2a-4b)2=0,

整理得3⑶〔8⑶-3=0,解得；=二或［=3,

⑺b3b

所以直线8C的斜率或％=-3,

当时，直线8C的方程为y-4=；(x-2),

即工-3)，+10=0,与直线A8重合，舍去；

当±=-3时,直线8C的方程为)，-4=一3(人」2),

即3x+y-10=0,满足题意.

所以直线BC的方程为3x+y-10=0.

19.(1)证明见解析；

(2)存在,|；

⑶①g.

4

【详解】(1)在四棱锥P—ACbE中，EF//AC,而ACu平面PACEba平面P