基本立体图形-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.1基本立体图形第八章立体几何初步人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

空间几何体的有关概念1

空间几何体的定义

对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.（【举例子】一个牛奶包装箱可以抽象出长方体）2

多面体及其相关概念图8.1-1

特别提醒

（1）多面体至少有四个面.在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包括这个多边形内部的平面部分.

（2）一个多面体有几个面就称为几面体，如四面体、五面体……

（3）各面是全等的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，共5种.3

旋转体及其相关概念图8.1-2

学思用·典例详解【想一想丨问题质疑】对于生活中的一些物体，如纸杯、纸箱、腰鼓、茶叶盒、奶粉罐、篮球和足球、储物箱等，我们如何判断它们是不是多面体？

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.例1-1

下列几何体中，是多面体的有______，是旋转体的有______.（填序号）①④②③

知识点2

棱柱、棱锥、棱台棱柱棱锥棱台定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.棱柱棱锥棱台相关概念（1）底面（底）：两个互相平行的面.（2）侧面：其余各面.（3）侧棱：相邻侧面的公共边.（4）顶点：侧面与底面的公共顶点.（1）底面（底）：多边形面.（2）侧面：有公共顶点的各个三角形面.（3）侧棱：相邻侧面的公共边.（4）顶点：（注意区别）各侧面的公共顶点.（1）上底面：原棱锥的截面.（2）下底面：原棱锥的底面.（3）侧面：其余各面.（4）侧棱：相邻侧面的公共边.（5）顶点：侧面与底面的公共顶点.续表.

.棱柱棱锥棱台图形及表示续表棱柱棱锥棱台结构特征（1）底面互相平行且全等.（2）侧面都是平行四边形.（3）侧棱都相等，且互相平行.（1）底面是多边形.（2）侧面都是三角形.（3）侧面有一个公共顶点.（1）上、下底面互相平行，且是相似图形.（2）各侧棱的延长线交于一点.（3）各侧面为梯形.续表棱柱棱锥棱台分类棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥（又叫四面体）、四棱锥……由几棱锥截得的就叫做几棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫做三棱台.续表棱柱棱锥棱台其他概念（1）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.（2）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.（4）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.（1）正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥.（2）正四面体：侧棱长与底面边长相等的正三棱锥.正棱台：上、下底面是相似的正多边形，且上、下底面中心的连线与底面垂直的棱台.其中上、下底面中心的连线叫做正棱台的高，侧面等腰梯形的高叫做正棱台的斜高.续表例2-2

[教材改编P106

T10]下列说法正确的是(

)BA.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同C.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱图8.1-7【解析】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行;D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图8.1-7所示的几何体就不是棱柱.例2-3

下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(

)DA.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台D.棱台的各侧棱延长后必交于一点图8.1-8【解析】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，如图8.1-8（1），故A错误；两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图8.1-8（2），故B错误，D正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误．.

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知识点3

圆柱、圆锥、圆台、球1

圆柱、圆锥、圆台圆柱圆锥圆台定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.圆柱圆锥圆台相关概念（1）轴：旋转轴.（2）底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.（3）侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.（4）母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.（1）轴：旋转轴.（2）底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.（3）侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面.（4）母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线.（5）顶点：母线的交点.（1）上底面：原圆锥的截面.（2）下底面：原圆锥的底面.（3）轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.（4）侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.（5）母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分.续表圆柱圆锥圆台图形及表示结构特征（1）圆柱两个底面是圆面而不是圆.（2）圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行（与轴平行）且长度相等.（1）底面是圆面.（2）有无数条母线，长度相等且交于顶点.（1）上、下底面是互相平行且不相等的圆面.（2）有无数条母线，等长且延长线交于一点.续表2

球定义半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.相关概念（1）球心：半圆的圆心.（2）半径:连接球心和球面上任意一点的线段.（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.图形及表示结构特征（1）球面是旋转形成的曲面.球面也可看成空间中到定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合.（2）球的截面都是圆面.

例3-5

［多选题］下列说法正确的是(

)ACA.圆台可看作以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周所围成的几何体B.在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则两点的连线就是圆台的母线C.圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D.圆锥的母线可能平行【解析】显然A正确.对于B，等腰梯形（轴截面）的腰才是圆台的母线，故B不正确.显然C正确.对于D,圆锥的母线交于顶点，因此不可能平行，故D不正确.

例3-6

［多选题］下列说法正确的是(

)ACA.球的半径是球面上任意一点与球心的连线B.球面上任意两点的连线是球的直径C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球【解析】A是正确的；B是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；C是正确的；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故D错误.知识点4

简单组合体1

简单组合体的定义

由柱体、锥体、台体（棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体）、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体..

.2

简单组合体的构成形式

（1）由简单几何体拼接而成，如图8.1-3（1）所示.图8.1-3

（2）由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图8.1-3（2）所示.3

常见的几种组合体

（1）多面体与多面体的组合体:图8.1-4（1）中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.图8.1-4

（2）多面体与旋转体的组合体:图8.1-4（2）中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.

（3）旋转体与旋转体的组合体:图8.1-4（3）中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.例4-7

[教材改编P105

T5]指出图8.1-9中的几何体是由哪些简单几何体构成的.图8.1-9【解析】题图8.1-9（1）由2个四棱锥构成；题图8.1-9（2）由1个三棱柱和1个四棱柱构成.图8.1-10

【解析】由题图可知，得到的组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台.释疑惑

重难拓展知识点5

柱、锥、台、球的截面1

几何体的截面

一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几何体的截面.2

棱柱、棱锥、棱台的截面

（1）平行于底面的截面

①用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面与底面全等.

②用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的截面与底面相似.

③用一个平行于棱台底面的平面去截棱台，得到的截面与两个底面都相似.

（2）经过不相邻的两条侧棱的截面

①在棱柱中（三棱柱除外），经过不相邻的两条侧棱的截面（也称为棱柱的对角面）是平行四边形.

②在棱锥中（三棱锥除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是三角形.

③在棱台中（三棱台除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是梯形.3

圆柱、圆锥、圆台的截面

（1）平行于底面的截面

平行于圆柱底面的截面是与底面相同的圆面，平行于圆锥、圆台底面的截面是与底面大小不同的圆面.

（2）轴截面

①圆柱的轴截面图形是一个由上、下底面直径和两条母线组成的矩形，平行于轴的截面图形是一个由上、下底面的弦和两条母线组成的矩形．

②圆锥的轴截面图形是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰分别是圆锥的两条母线.

③圆台的轴截面图形是一个等腰梯形，其底是圆台两个底面的直径，两腰分别是圆台的两条母线.

4

球的截面

图8.1-55

正方体的截面

（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.

（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行.

（3）截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形.

（4）截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形．#4

对应截面图形如图8.1-6中各图形所示.#5图8.1-6学思用·典例详解例5-9

如图8.1-11所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______（填序号）．

【解析】根据题意，分2种情况讨论：当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时，截面图形如图①；当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时，截面图形可能为⑤.图8.1-11

20

图8.1-12例5-11

新情境

中国天眼

(2025·山东省济南市期中)如图8.1-12（1），“中国天眼”是具有我国自主知识产权、世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠），截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直CA.60米

B.100米

C.131米

D.160米

图8.1-13

.

.例5-12

[多选题](2025·江苏省南通市期中)正方体截面的形状有可能为(

)ABDA.正三角形

B.正方形

C.正五边形

D.正六边形

题型解析03题型1

简单几何体的识别例13

[多选题]下列判断正确的是(

)ABD

图8.1-14例14

如图8.1-14所示，该组合体（直棱柱）可以看作由一个_________和一个________拼接而成的简单组合体，也可以看作由一个________截去一个________形成的组合体.

长方体长方体正方体长方体【解析】该组合体既可以看作由一个长方体和一个长方体拼接而成的组合体，又可以看作由一个正方体截去一个长方体形成的组合体..

..

.名师点评

常见的几种四棱柱之间的转化关系如图8.1-15所示.图8.1-15识别简单几何体的几个关键点1.若围成题中几何体的各面都是平面，且有面面平行或各面有公共顶点，则从棱柱、棱锥、棱台的概念入手；若围成题中几何体的各面中包含曲面，则从圆柱、圆锥、圆台、球的概念入手.2.判断旋转体形状的关键是看平面图形绕哪条直线旋转，同一个平面图形绕不同的旋转轴旋转所形成的旋转体可能不同．3.考查简单组合体的构成，就必须要明白该组合体是由简单几何体拼接、截去还是挖去一部分而形成的，因此，要仔细观察简单组合体的组成，并充分结合柱体、锥体、台体、球的结构特征进行识别.说明:“切割”可以解决不规则空间几何体的一些问题.【学会了吗丨变式题】1.[多选题]对如图8.1-16所示的几何体描述正确的是(

)BCD图8.1-16A.这是一个四棱台B.这是一个四棱柱C.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到D.此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到【解析】A错误，因为侧棱的延长线不能交于一点．B正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现这是一个四棱柱．

图D

8.1-1题型2

平面图形旋转形成的几何体

图8.1-17【解析】旋转轴图示几何特征一个圆台.由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体.旋转轴图示几何特征由一个圆柱挖去一个同底圆锥而成的组合体.由一个圆台挖去一个同底（上底面）圆锥后和一个同底（下底面）圆锥拼接而成的组合体.续表平面图形绕轴旋转问题的解决策略首先要对原平面图形进行适当的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圆（半圆或四分之一圆周）等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.题型3

几何体的相关计算

图8.1-18

图8.1-19

图8.1-20

【学会了吗丨变式题】

图D

8.1-2

题型4

空间几何体的展开图与截面图例18（1）下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是(

)BA.

B.

C.

D.

【解析】选项B中,底面的边数和侧面的个数不相等,所以不能围成棱柱.图8.1-21（2）如图8.1-21是一个正方体的表面展开图，若把它再折回正方体，有下列说法：

②④

例19

圆锥的截面形状不可能为(

)BA.等腰三角形

B.平行四边形

C.圆

D.椭圆

【解析】对于A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，不符合题意；对于B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，符合题意；对于C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，不符合题意；对于D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，不符合题意.名师点评

圆锥的横截面、轴截面、斜截面如图8.1-22.图8.1-22图8.1-23

图8.1-24

解决立体几何问题的常用方法是将空间问题“降维”转化成平面问题,而截面图与展开图往往是实现这一目标的常用手段.对于旋转体或与旋转体有关的组合体,常利用恰当的截面图,将空间问题转化为平面问题解决.解答展开与折叠问题时，若给出多面体画其展开图,常常先将多面体的顶点标上字母,然后把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面.若给出展开图画多面体,则可逆向操作上述过程.【学会了吗丨变式题】图8.1-253.某人用如图8.1-25所示的纸片沿折痕折起后粘成一个四棱锥状的“走马灯”,正方形作灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，从灯上方看，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①②③处可依次写上(

)BA.乐、新、快

B.快、新、乐

C.新、乐、快

D.乐、快、新【解析】根据图形为四棱锥，当灯顺时针旋转时,正好看到“新年快乐”的字样，结合选项可知①为快,②为新,③为乐.故选B.4.圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，则正确的截面图是(

)DA.

B.

C.

D.

【解析】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如图D

8.1-3所示.棱锥顶点为圆柱上底面的中心，则过棱锥的一条侧棱和高作截面，可得截面图如图D

8.1-4所示.新考法

思维创新

图8.1-26

高考帮

考试课丨核心素养聚焦考情揭秘本节知识是立体几何的基础，突出的是对空间几何体的认识，主要考查空间几何体的结构特征.多为选择题和填空题，一般难度不大.核心素养：直观想象（空间几何体的认识），逻辑推理（组合体的结构特征、截面图与展开图等）.考向

几何体的结构特征

ABD

图8.1-27例23

(全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔（图8.1-27）是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(

)C

命题探源高考题重视以文化视角下的几何体为主来研究其结构特征，如2019年全国Ⅱ卷理第16题的独孤信的印信问题，研究的是半正多面体与正方体的关系，而本题则聚焦的是埃及金字塔的结构特征问题.事实上，这个金字塔的图片恰好为教材第97页【观察】中的第4个图形.因此学习中要特别重视一些带有文化色彩的经典建筑图形，如卢浮宫前的玻璃金字塔（教材第101页【练习】第1题图（3））.素养探源素养考查途径直观想象图8.1-28变式探源

(全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图8.1-28（1））.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图8.1-28（2）是一个棱数为48的半正多面体,26

它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____个面，其棱长为________.图8.1-29

高考新题型专练1.[多选题]用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是(

)ABDA.长方体

B.圆锥

C.圆台

D.棱锥

图8.1-302.[多选题](2025·河北省邢台市期中)某广场设置了一些石凳供大家休息，如图8.1-30，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论正确的是(

)ACDA.该几何体的面是等边三角形或正方形

B.该几何体恰有12个面C.该几何体恰有24条棱

D.该几何体恰有12个顶点

知识测评04建议时间：25分钟1.下列是多面体的是(

)DA.圆锥

B.圆柱

C.球

D.三棱柱【解析】由多面体及旋转体的定义可知，圆锥、圆柱、球为旋转体，三棱柱为多面体．图8.1-12.新情境

乾隆通宝

(2025·山东省济南市期中)铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种.如图8.1-1为清朝时的一枚“乾隆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周,形成的几何体是(

)BA.一个球

B.一个球挖去一个圆柱C.一个圆柱

D.一个球挖去一个正方体【解析】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球,正方形及其内部旋转一周后所得几何体为圆柱，故题图中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱.图8.1-2

BA.三棱锥

B.四棱锥

C.三棱柱

D.组合体

4.(2025·江西省景德镇一中期末)给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为(

)AA.0

B.1

C.2

D.3【解析】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等，且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，侧棱长和底面棱长不一定相等，故①，③错误；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误；根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直于两底的腰所在直线为轴旋转所得的旋转体为圆台，以另一个腰所在直线为轴旋转所得旋转体不是圆台，故④错误.故真命题的个数为0.故选A.图8.1-35.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图8.1-3），则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(

)AA.

B.

C.

D.

【解析】两个

不能并列相邻，B,D错误；两个

不能