平面与平面垂直-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.3平面与平面垂直第八章立体几何初步人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

二面角1

二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面（平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面）所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面..

.2

二面角的表示

图8.6.3-1

3

二面角的平面角

图8.6.3-24

二面角大小的度量

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..

.知识剖析

二面角的平面角的内蕴

（1）二面角的大小是用平面角来衡量的，即用两条特殊的射线所成角来度量，这是一种转化的思想方法.

（2）二面角的平面角的大小由二面角的两个半平面的位置唯一确定，与棱上点的位置无关.（链接教材156页“？”）

（3）平面角的两边分别在二面角的两个半平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所确定的平面和二面角的棱垂直.#3.3学思用·典例详解【想一想丨问题质疑】你能想明白为什么通过定义二面角的平面角来度量二面角吗？

图8.6.3-10

例1-2

以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有(

)BA.0个

B.1个

C.2个

D.3个

知识点2

面面垂直的定义及判定定理1

平面与平面垂直的定义

.

..

.2

两个平面互相垂直的画法

如图8.6.3-3，画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.图8.6.3-33

平面与平面垂直的判定定理自然语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.知识剖析（1）由该定理可知要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证明线面垂直.

（2）两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据.例如，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，依据的就是这个原理.（链接教材157页“观察”）学思用·典例详解图8.6.3-11

【想一想丨问题质疑】过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面吗?

知识点3

平面与平面垂直的性质定理1

平面与平面垂直的性质定理自然语言图形语言符号语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”.知识剖析

如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交（含垂直）或异面.2

性质定理的作用

（1）证明线面垂直、线线垂直；

（2）构造面的垂线.学思用·典例详解

D

释疑惑

重难拓展知识点4

二面角的平面角的作法及一个求二面角的特殊方法1

作二面角的平面角的三种常用方法定义法垂面法续表垂线法续表2

求二面角大小的步骤

（1）作出（找出）二面角的平面角；

（2）证明它是二面角的平面角；

（3）求出这个角的大小；

（4）说明二面角的大小．

这个过程可以简记为：作（找）、证、求、答．.

.3

射影面积法求二面角

图8.6.3-7

因此，我们得到求二面角的另外一种方法——射影面积法（解答题使用此公式时需先证明公式）.如果能够找到一个半平面内的图形在另一个半平面内的射影图形，那么射影图形的面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦值的绝对值..

.4

三正弦定理（最大角定理）图8.6.3-8

面角，即二面角是线面角中最大的角,三正弦定理又称最大角定理.（该定理作为知识拓展，仅要求了解运用，证明过程不要求掌握）5

三射线定理图8.6.3-9

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.学思用·典例详解

图8.6.3-12

C

图8.6.3-13

知识点5

直线、平面位置关系中的相关结论及其转化1

判定直线与直线垂直的方法

2

判定直线与平面垂直的方法

.

.6

平面与平面垂直的其他性质与结论

4

线、面垂直位置关系的相互转化5

平行关系与垂直关系的相互转化学思用·典例详解

AD

图8.6.3-14题型解析03题型1

求二面角

D

图8.6.3-15

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..

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图8.6.3-16

图8.6.3-17

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图8.6.3-18

B

图8.6.3-19

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求二面角的关键是找出（或作出）其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.【学会了吗丨变式题】图8.6.3-20

图D

8.6.3-1

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图8.6.3-21

B

图D

8.6.3-2

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.题型2

面面垂直判定定理的应用图8.6.3-22

求证：

利用判定定理证明面面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.【学会了吗丨变式题】

ABD

图D

8.6.3-3

题型3

面面垂直性质定理的应用

图8.6.3-23

图8.6.3-24

在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．【学会了吗丨变式题】

图D

8.6.3-4

题型4

平行关系与垂直关系的相互转化

图8.6.3-25

图8.6.3-26

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图8.6.3-27

图8.6.3-28

图8.6.3-29

探索性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．对于此类问题，一般采用先猜再证的方法，通常猜测特殊点的位置为中点或三等分点.【学会了吗丨变式题】图8.6.3-30

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.

图8.6.3-31求证：

图D

8.6.3-5

高考帮

考试课丨核心素养聚焦考情揭秘高考对本节的考查一是面面垂直的判定定理和性质定理,可能会结合线线、线面、面面的平行或垂直关系进行综合考查,根据题意作出辅助线是解题的关键；二是二面角的计算，是高考的热点，主要是先找出或作出二面角的平面角，再求解二面角的大小；高考中多以选择题、解答题中的一问的形式出现,难度中等.核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出面面的垂直关系或找到要求的二面角的平面角），逻辑推理（判定定理、性质定理的应用），数学运算（二面角的求解）.考向1

二面角的大小

C

图8.6.3-32

AC

图8.6.3-33

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.图8.6.3-34

C

图8.6.3-35

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与平

图8.6.3-36

图8.6.3-37

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名师点评

本题还可以用以下方法验证所得结果：

考向2

面面垂直的判定定理与性质定理的应用1

判定定理的简单应用

C

图8.6.3-38

图8.6.3-39

图8.6.3-40

图8.6.3-41

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2

面面垂直背景下的求体积问题图8.6.3-42

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图8.6.3-43

图8.6.3-44

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

图8.6.3-45

3

性质定理的应用

BCA.

B.

C.

D.

图8.6.3-46

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.高考新题型专练

ABD

图8.6.3-47

图D

8.6.3-10

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知识测评04建议时间：40分钟图8.6.3-1

A

图8.6.3-2

DA.2对

B.3对

C.4对

D.5对

C

图D

8.6.3-1

A

图8.6.3-3图

D

8.6.3-2

图8.6.3-4图D

8.6.3-3

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图8.6.3-5

图D

8.6.3-4

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.图8.6.3-6

求证：

高考模拟05建议时间：40分钟

D

图D

8.6.3-5翻