有限样本空间与随机事件+事件的关系和运算+2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1随机事件与概率

10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算第十章概率人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

有限样本空间1

随机现象

就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性.这类现象叫做随机现象.

与之相对的为必然现象，即在一定条件下必然出现的现象.2

随机试验

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.3

有限样本空间概念符号表示样本点样本空间

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.学思用·典例详解例1-1

(2025·辽宁省沈阳市期末)某市举办运动会，小明一家准备从游泳、田径、击剑、乒乓球、篮球5个大项中挑选部分项目观看.（1）若从这5个大项中挑选1个大项进行观看，写出这个试验的样本空间；

（2）若从这5个大项中挑选2个大项进行观看，写出这个试验的样本空间.

知识点2

事件1

随机事件

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.知识剖析对基本事件的理解

1.基本事件仅包含一个样本点.

2.事件与基本事件的区别：基本事件是试验中只包含一个样本点的随机事件，而事件可以由若干个基本事件组成，包含一个或多个样本点.2

必然事件与不可能事件事件名称符号表示样本点个数是否会发生必然事件作为自身的子集，包含了所有的样本点不可能事件不包含任何样本点在每次试验中都不会发生

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（1）写出试验的样本空间.【解析】依题意可得树状图，如图10.1.1-1，共12种情况，图10.1.1-1

知识点3

事件的关系和运算1

两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含相等并事件（和事件）事件的关系或运算含义符号表示图形表示交事件（积事件）互斥（互不相容）互为对立

续表.

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.2

多个事件的和事件、积事件

3

正确理解事件的含义事件含义

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（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

【想一想丨问题质疑】在试验的样本空间中样本点较少的情况下，可以用集合的形式表示出事件，利用集合之间的关系得出事件之间的关系.当样本空间中样本点数量较多时，不易用集合表示出事件，这时该怎么办呢？看下面的例题，总结做题规律.

AB

ACA.“恰有两个偶数”和“恰有两个奇数”B.“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”C.“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”D.“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”

D

【想一想丨归纳总结】当不便用集合的形式表示事件时，则利用事件的含义判断两个事件的关系.题型解析03题型1

事件与样本空间致敬经典概率问题中常见的模型——掷骰子“掷骰子”是概率问题中最为常见的模型，一般为掷一枚或两枚质地均匀的骰子，其对应的样本空间的样本点的个数分别为6和36，掌握其样本空间的情况是解决概率问题的基础.

（1）求样本空间中的样本点个数；

图10.1.1-2

（画树状图法）

一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图10.1.1-2所示.由图可知，共36个样本点.图10.1.1-3

（坐标系法）

如图10.1.1-3所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数之和，样本点与坐标平面内的数对应的坐标一一对应.由图可知，样本点个数为36..

.（2）用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.

例9

袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验.（1）从中任取一个球；

（2）从中任取两个球；

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.（3）不放回地先后各取一个球.分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的个数.【解析】先后各取一个球，记（红,白）（由于是先后各取一个球，所以（红,白）和（白，红）意义不同，它们代表两个不同的样本点，故（红，白）和（白,红）都要写出）代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球..

.列表如下:第一次第二次红白黄黑红—（红,白）（红,黄）（红,黑）白（白,红）—（白,黄）（白,黑）黄（黄,红）（黄,白）—（黄,黑）黑（黑,红）（黑,白）（黑,黄）—

样本空间中样本点的求法#2.1表示方法适用情况优点注意点列举法（枚举法）适用于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点列举时必须按一定顺序，做到不重不漏表示方法适用情况优点注意点列表法适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题准确、全面、不易遗漏通常把样本点归结为“有序实数对”，最常用的方法是坐标系法画树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解直观、全面、不易重复一般需要分步（两步或两步以上）注意：无论利用什么方法，表示样本空间的样本点时都不能遗漏，特别是在“抽取两次”的问题中，要注意是放回还是不放回，是有序还是无序等.#2.1.2续表.

.【学会了吗丨变式题】1.(2025·天津市第二南开学校月考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数.

（ⅰ）用集合的形式写出试验的样本空间;

题型2

事件的关系及运算

（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件.

进行事件的运算的步骤1.列出试验的样本空间；2.写出各事件的集合表示；3.利用集合的运算进行事件的运算.【学会了吗丨变式题】

题型3

互斥事件、对立事件的判定

辨析互斥事件与对立事件1.从发生的角度看（1）在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；（2）两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生.即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.2.从事件个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.【学会了吗丨变式题】

ABD

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题型4

复杂事件的表示

【学会了吗丨变式题】

B

知识测评04建议时间：20分钟1.(2025·河北省廊坊市期中)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是(

)CA.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【解析】事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误.2.若甲、乙等5人站成一排，其中为互斥事件的是(

)AA.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙站排尾”C.“甲站排头”与“乙不站排头”

D.“甲不站排头”与“乙不站排头”【解析】根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B，C，D中两事件能同时发生，故不是互斥事件．

D

4.[多选题]下列说法正确的是(

)BCD

ABC

参加数学兴趣小组和语文兴趣小组，但不参加英语兴趣小组4图10.1.1-18.用集合表示下列事件．

高考模拟05建议时间：25分钟9.新情境

茶叶品种

国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶（如：龙井、碧螺春）和发酵茶（如：大红袍、铁观音、正山小种、普洱茶）两大类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、大红袍、铁观音、正山小种和普洱茶，从中任取一盒，判断下列两个事件是对立事件的是(

)DA.“取出碧螺春”和“取出大红袍”

B.“取出不发酵茶”和“取出龙井”C.“取出正山小种”和“取出铁观音”

D.“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”【解析】对于A，事件“取出碧螺春”和事件“取出大红袍”不可能同时发生，但有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件，错误；对于B，事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是对立事件，因为“取出龙井”时，事件“取出不发酵茶”也发生了,错误；对于C，事件“取出正山小种”和事件“取出铁观音”不可能同时发生，但有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件，错误；对于D，事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生，但必有一个发生，所以是对立事件，正确.

AD

AB

12.用红、黄、蓝三种不同