数学七年级下册数学期末压轴难题试卷

数学七年级下册数学期末压轴难题试卷同学们，七年级下册的数学学习即将告一段落。期末考试不仅是对基础知识的检验，更是对综合运用能力、逻辑思维能力和问题解决能力的挑战。而压轴题，往往是这份挑战中最耀眼的明珠，它不仅能区分学习水平，更能激发我们深入思考的乐趣。本卷精选了几道具有代表性的期末压轴难题，希望能帮助大家在最后阶段进行针对性的拔高训练，熟悉复杂问题的分析方法，感受数学的严谨与巧妙。请大家务必仔细审题，沉着思考，大胆尝试，相信你们一定能从中有所收获。---试卷正文一、综合探究题(本题共12分)已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，点P是射线EB上一动点（不与点E重合），过点P作PH⊥EF于点H，交CD于点G。（1）如图1，当点P在E、B之间运动时，求证：∠EPH=∠PFG；（2）若点P运动到点B的右侧时，如图2所示，此时∠EPH与∠PFG之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不必证明；（3）在（1）的条件下，过点F作FQ⊥PH于点Q，∠BEF=60°，随着点P的运动，∠GFQ的度数是否发生变化？若不变，请求出其度数；若变化，请说明理由。(请在此处绘制图1和图2的示意图)*(示意图说明：图1中，AB与CD平行，EF截线，P在EB段，PH垂直EF于H，交CD于G。图2中，P在EB延长线上，其他元素类似。)*二、动态几何与坐标综合题(本题共14分)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,6)，点B在x轴的正半轴上，且OA=OB。点C是线段AB上一个动点（不与点A、B重合）。（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，设点C的横坐标为t，矩形CDOE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；（3）在点C运动的过程中，△CDE的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由。三、二元一次方程组与不等式（组）综合应用题(本题共14分)某工厂计划生产A、B两种产品共若干件（两种产品都需生产），已知生产一件A产品需甲材料a个单位，乙材料b个单位；生产一件B产品需甲材料c个单位，乙材料d个单位。该厂现有甲材料M个单位，乙材料N个单位。（1）若生产一件A产品可获利m元，生产一件B产品可获利n元，怎样安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？（2）在（1）的条件下，若要求A产品的产量不少于B产品产量的k倍，且B产品的产量不少于p件，此时又该如何安排生产才能获得最大利润？(注：为体现一般性，本题中a,b,c,d,M,N,m,n,k,p均为正整数，具体数值将在实际命题时给出，此处旨在展示题型结构与考查方向。学生需根据所给具体数值，通过列方程组、不等式组求解，并进行方案比较。)四、几何图形的性质与判定综合题(本题共14分)已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠D，对角线AC与BD相交于点O。（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若∠BAC=∠DAC，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，若∠ABC=90°，且AC=8，BD=6，求四边形ABCD的周长和面积。五、方案设计与最值探究题(本题共16分)某中学计划组织部分学生参加社会实践活动，现有A、B两家旅行社可供选择，两家旅行社的服务质量相同，且报价均为每人200元。经过协商，A旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；B旅行社表示可先免去一位学生的费用，其余学生八折优惠。设参加社会实践活动的学生共有x人。（1）分别写出选择A、B两家旅行社所需费用y₁（元）、y₂（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若学生人数为30人，选择哪家旅行社更优惠？（3）请你根据学生人数x的不同情况，帮助学校选择最优惠的旅行社，并说明理由；（4）若学校计划在此项活动中的总费用不超过5000元，那么最多可组织多少名学生参加活动？（选择你认为最优惠的方案计算）---参考答案与思路点拨一、综合探究题（1）思路点拨：欲证∠EPH=∠PFG，可通过平行线的性质找到中间角进行转化。因为AB∥CD，所以∠BEF=∠EFC（内错角相等）。又因为PH⊥EF，所以∠PHE=90°，在Rt△PHE中，∠EPH+∠BEF=90°。在Rt△FGH中（或Rt△FGP中，视具体图形而定），∠PFG+∠EFC=90°。由于∠BEF=∠EFC，故∠EPH=∠PFG。简要解答：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠EFC。∵PH⊥EF，∴∠PHE=∠FHG=90°。在Rt△PHE中，∠EPH+∠BEF=90°；在Rt△FHG中，∠PFG+∠EFC=90°。∴∠EPH=∠PFG。（2）猜想：∠EPH+∠PFG=180°。思路点拨：当点P在B右侧时，图形的位置关系发生变化，此时∠BEF与∠EFC互补（同旁内角），再结合直角三角形两锐角互余的性质，可推导出两角之和为180°。（3）∠GFQ的度数不变，为30°。思路点拨：由∠BEF=60°，AB∥CD，可得∠EFD=120°（同旁内角互补）。PH⊥EF，FQ⊥PH，可得EF∥FQ（垂直于同一直线的两直线平行），从而∠QFD=∠BEF=60°（或通过四边形内角和等知识）。则∠GFQ=∠EFD-∠QFD=120°-90°=30°？此处需结合图形仔细分析∠EFD、∠EFQ、∠QFG之间的关系，关键在于证明EF∥FQ，从而∠EFQ=90°（因为PH⊥EF，FQ⊥PH），所以∠GFQ=∠EFC-∠QFC，而∠EFC=∠BEF=60°，∠QFC=90°-∠PFG，结合（1）中∠EPH=∠PFG，∠EPH=90°-∠BEF=30°，故∠PFG=30°，∠QFC=60°，所以∠GFQ=60°-30°=30°。（具体步骤需根据图形详细书写）二、动态几何与坐标综合题（1）点B的坐标为(6,0)。直线AB的解析式：y=-x+6。思路点拨：由OA=OB，OA=6（A点坐标(0,6)），且B在x轴正半轴，可得B(6,0)。设直线AB解析式为y=kx+b，代入A、B两点坐标即可求出k和b。（2）S=-t²+6t(0<t<6)，S的最大值为9。思路点拨：点C在直线AB上，横坐标为t，则纵坐标为-t+6。CD=纵坐标的绝对值（因t>0,-t+6>0），CE=t。S=CD*CE=t(-t+6)=-t²+6t。这是一个开口向下的二次函数，对称轴为t=3，在0<t<6范围内，当t=3时，S取得最大值9。（3）存在最小值，此时点C的坐标为(3,3)。思路点拨：矩形CDOE中，△CDE的周长=CD+CE+DE。CD+CE=(-t+6)+t=6，为定值。故周长最小即DE最小。DE是Rt△CDOE的对角线，DE=√(CD²+CE²)=√(t²+(-t+6)²)。要使DE最小，即t²+(t-6)²最小。可化为2t²-12t+36，对称轴t=3，当t=3时，DE最小，此时C(3,3)。（也可利用几何意义，DE是点C到原点距离的√2倍？或根据对称性，直线y=x与AB的交点即为所求）三、二元一次方程组与不等式（组）综合应用题思路点拨：（1）设生产A产品x件，B产品y件。根据甲、乙材料限制列出方程组（或不等式组）：ax+cy≤M，bx+dy≤N，x≥0,y≥0,且x,y为整数。目标函数为利润W=mx+ny。这是一个线性规划问题，七年级学生可通过列举可行域内的整点，或根据m/n与a/c、b/d的关系判断最优解在哪个顶点取得。（2）增加约束条件：x≥ky，y≥p。同样列出不等式组，在可行域内寻找使W最大的整数解(x,y)。四、几何图形的性质与判定综合题（1）思路点拨：由AD∥BC，可得∠A+∠B=180°。又∠B=∠D，故∠A+∠D=180°，从而AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。因此四边形ABCD两组对边分别平行，是平行四边形。（2）思路点拨：由AD∥BC，得∠DAC=∠BCA。又∠BAC=∠DAC，故∠BAC=∠BCA，从而AB=BC。根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可证ABCD是菱形。（3）周长为20，面积为24。思路点拨：有一个角是直角的菱形是正方形？不，∠ABC=90°的菱形是正方形，但此处AC=8，BD=6，菱形对角线不相等，所以不是正方形。哦，前面已证是菱形，∠ABC=90°，则菱形ABCD是正方形？不对，菱形对角线互相垂直平分。AC=8，BD=6，则AO=4，BO=3。在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=5。故周长=4*5=20。面积=(AC*BD)/2=(8*6)/2=24。五、方案设计与最值探究题（1）y₁=150x；y₂=160(x-1)=160x-160。思路点拨：A旅行社七五折，每人费用200*0.75=150元。B旅行社免一人费用，其余八折，即(x-1)人付费，每人200*0.8=160元。（2）当x=30时，y₁=4500元，y₂=160*29=4640元，选择A旅行社更优惠。（3）当学生人数x>16时，选择A旅行社优惠；当x=16时，两家一样；当x<16时，选择B旅行社优惠。思路点拨：令y₁=y₂，即150x=160x-160，解得x=16。再根据一次函数的增减性判断x>16和x<16时的情况。（4）最多可组织33名学生。思路点拨：选择优惠方案。当x>16时A优惠，令150x≤5000，x≤33.333，