初中一年级数学（七年级下册）整式的除法运算规则探究与应用教案

初中一年级数学（七年级下册）整式的除法运算规则探究与应用教案

  一、设计理念与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深刻践行“三会”核心素养导向，即引导学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。整式的除法作为“数与代数”领域的重要内容，是学生从数的运算向式的运算迁移与深化的关键节点。本设计摒弃传统的单向灌输与机械训练模式，转而采用“情境-问题-探究-建构-应用-反思”的探究式学习路径。设计充分借鉴建构主义学习理论，视学生为知识的主动建构者，通过设置富有挑战性的数学任务和真实的认知冲突，激发学生内在的学习动机。同时，整合奥苏贝尔的“先行组织者”策略与波利亚的“怎样解题”思想，在已有知识（数的除法、同底数幂的除法、整式乘法）与新知识（整式的除法）之间搭建坚实的认知桥梁，引导学生在类比、归纳、转化等数学思维活动中，自主发现并概括运算规则，理解算理，掌握算法，进而实现数学运算能力与代数推理素养的协同发展。教学设计还特别关注学生的元认知能力培养，通过设计反思性环节，促使学生对自己的思维过程进行监控与调节，实现深度学习。

  二、学情分析

  教学对象为初中一年级下学期学生。在知识储备上，学生已经系统学习了有理数的四则运算、整数指数幂的运算性质（特别是同底数幂的除法）、整式的相关概念（单项式、多项式、次数、系数）以及整式的乘法运算（包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）。这些知识构成了学习本课内容的坚实“最近发展区”。在思维特征上，该年龄段学生的抽象逻辑思维正处于从经验型向理论型过渡的关键期，他们具备一定的归纳、类比和概括能力，但思维的严谨性、全面性和深刻性仍有待提高。具体到本课学习中，可能的认知障碍与迷思概念包括：其一，容易将“式”的运算与“数”的运算规则简单等同，忽视“式”的运算中字母所代表的“一般性”特征；其二，在进行多项式除以单项式运算时，容易出现“分配不彻底”或符号错误，如仅将多项式的第一项除以单项式而遗漏后续项；其三，对“系数”与“同底数幂”分别相除的算理理解不够通透，导致在复杂运算中步骤混乱。此外，学生在将实际问题抽象为整式除法模型，以及运用除法运算进行代数式化简、求值等方面的应用能力尚显薄弱。因此，本教学设计需通过精心设计的问题链和阶梯式活动，搭建思维脚手架，引导学生跨越认知障碍，实现知识的自主建构与能力的有效迁移。

  三、教学目标

  基于以上分析，确立以下三维教学目标：

  （一）知识与技能

  1.理解整式除法的意义，掌握单项式除以单项式的运算法则，并能熟练、准确地进行计算。

  2.理解多项式除以单项式的运算法则的推导过程，掌握其运算法则，并能熟练、准确地进行计算。

  3.能够综合运用整式的乘、除运算法则进行简单的混合运算及代数式的化简求值。

  4.初步具备将简单的实际问题中的数量关系抽象为整式除法模型并加以解决的能力。

  （二）过程与方法

  1.经历探索整式除法运算法则的全过程，通过观察、类比（与数的除法、同底数幂除法进行类比）、归纳、概括等数学活动，发展合情推理能力。

  2.体验“转化”的数学思想方法，理解将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的思维路径，提升化归意识。

  3.在解决具体问题的过程中，学会独立思考、合作交流，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。

  （三）情感态度与价值观

  1.通过探究活动的成功体验，增强学习数学的自信心和求知欲。

  2.在法则的探究与推导中，感受数学的严谨性、简洁性与普适性之美。

  3.通过解决实际背景问题，体会数学与现实的密切联系，认识数学的应用价值。

  四、教学重点与难点

  （一）教学重点：单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及其应用。

  （二）教学难点：多项式除以单项式运算法则的算理理解（即“转化”思想的运用）及其在复杂情境中的准确应用；整式除法与乘法运算的混合运算顺序与符号处理。

  五、教学准备

  （一）教师准备：精心制作的多媒体课件，包含动态演示的几何模型（如面积分割）、问题情境、探究引导、例题与变式、课堂小结框架等。设计并印制“课堂探究学习单”，包含核心探究问题、阶梯式练习与反思评价栏。准备实物投影仪，用于展示学生解题过程。预设课堂中可能生成的各种解题思路及典型错误，并构思引导策略。

  （二）学生准备：复习巩固整式的相关概念、同底数幂的除法法则以及整式的乘法法则。准备课堂练习本和必要的文具。初步形成小组合作学习的意识与规范。

  六、教学过程实施

  （一）创设情境，提出问题(时间：约8分钟)

  1.情境引入（几何视角）：

  教师利用课件动态呈现：已知一个长方形的面积为12

a

3

b

2

12a^3b^2

12a3b2平方单位，其中一边长为4

a

b

4ab

4ab单位，求另一边的长。引导学生用数学式子表示这个问题：(

12

a

3

b

2

)

÷

(

4

a

b

)

(12a^3b^2)\div(4ab)

(12a3b2)÷(4ab)。

  提问：这是一个什么运算？（除法）与我们之前学过的除法有何不同？（被除式和除式都是含有字母的整式）

  2.情境引入（实际问题视角）：

  呈现问题：一批物资总质量为(

6

x

2

y

+

9

x

y

2

)

(6x^2y+9xy^2)

(6x2y+9xy2)吨，计划平均分给3

x

y

3xy

3xy辆卡车运输，问每辆卡车需运输多少吨？引导学生列出算式：(

6

x

2

y

+

9

x

y

2

)

÷

(

3

x

y

)

(6x^2y+9xy^2)\div(3xy)

(6x2y+9xy2)÷(3xy)。

  提问：这个算式有什么特点？（被除式是多项式，除式是单项式）

  3.揭示课题与提出核心问题：

  教师指出：像(

12

a

3

b

2

)

÷

(

4

a

b

)

(12a^3b^2)\div(4ab)

(12a3b2)÷(4ab)、(

6

x

2

y

+

9

x

y

2

)

÷

(

3

x

y

)

(6x^2y+9xy^2)\div(3xy)

(6x2y+9xy2)÷(3xy)这样的运算，就是整式的除法。我们如何进行计算？其运算的依据和法则是什么？这就是本节课要探究的核心问题。由此自然引出课题，并明确本节课的两个核心任务：探究单项式除以单项式的法则和多项式除以单项式的法则。

  【设计意图】从几何（面积）和实际应用两个维度创设情境，赋予抽象的代数运算以直观的几何意义和现实意义，激发学生的探究兴趣。所列出的两个算式恰好分别对应本课的两个核心知识点，为目标定向提供了清晰的认知起点。提出的核心问题聚焦于“如何算”与“为何这样算”，直指数学本质，驱动后续探究。

  （二）合作探究，建构新知(时间：约25分钟)

  环节一：探究单项式除以单项式的法则

  1.类比引导：

  教师提问：计算(

12

a

3

b

2

)

÷

(

4

a

b

)

(12a^3b^2)\div(4ab)

(12a3b2)÷(4ab)，我们目前没有现成法则。但我们学过哪些相关的运算？（引导学生回顾：数的除法、同底数幂的除法、整式的乘法）

  2.特例探究（学习单任务一）：

  请学生尝试计算以下特例，并观察每一步计算的依据：

  (1)(

8

a

2

b

)

÷

(

2

a

)

(8a^2b)\div(2a)

(8a2b)÷(2a)(2)(

6

x

3

y

2

)

÷

(

3

x

2

y

)

(6x^3y^2)\div(3x^2y)

(6x3y2)÷(3x2y)(3)(

15

m

4

n

3

)

÷

(

5

m

2

n

2

)

(15m^4n^3)\div(5m^2n^2)

(15m4n3)÷(5m2n2)

  学生独立计算后，小组内交流算法和依据。教师巡视，关注学生是否明确每一步的依据（如系数相除运用了数的除法法则，同底数幂相除运用了幂的运算性质，对于只在被除式中出现的字母及其指数，直接作为商的一个因式）。

  3.归纳概括：

  教师请小组代表汇报计算过程与思考。通过追问，引导学生清晰表达：计算单项式除以单项式时，是将系数与同底数幂分别相除。对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

  师生共同尝试用文字语言和符号语言概括法则：

  文字语言：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

  符号语言（示例）：(

A

⋅

B

)

÷

C

=

(

A

÷

C

)

⋅

B

(A\cdotB)\divC=(A\divC)\cdotB

(A⋅B)÷C=(A÷C)⋅B（其中A、B、C为单项式，且C包含于A的因式）。

  更一般地，对于(

M

)

÷

(

N

)

(M)\div(N)

(M)÷(N)，需满足N的每个字母都在M中出现，且指数不大于M中该字母的指数。

  4.算理深化：

  教师提出追问：为什么可以这样算？能否从更基本的原理进行解释？

  引导学生从乘法与除法的互逆关系进行解释：求(

12

a

3

b

2

)

÷

(

4

a

b

)

=

?

(12a^3b^2)\div(4ab)=?

(12a3b2)÷(4ab)=?，就是寻找一个单项式，使得它乘以4

a

b

4ab

4ab等于12

a

3

b

2

12a^3b^2

12a3b2。根据单项式乘法法则（系数相乘，同底数幂相乘），可以逆推出商的系数应为12

÷

4

=

3

12\div4=3

12÷4=3，a的指数应为3

−

1

=

2

3-1=2

3−1=2，b的指数应为2

−

1

=

1

2-1=1

2−1=1，即商为3

a

2

b

3a^2b

3a2b。这个过程深刻揭示了除法法则来源于乘法的逆运算。

  5.初步应用（学习单任务二）：

  计算：(1)(

28

x

4

y

2

)

÷

(

7

x

3

y

)

(28x^4y^2)\div(7x^3y)

(28x4y2)÷(7x3y)(2)(

−

5

a

5

b

3

c

)

÷

(

15

a

4

b

)

(-5a^5b^3c)\div(15a^4b)

(−5a5b3c)÷(15a4b)(3)(

4

×

10

8

)

÷

(

2

×

10

5

)

(4\times10^8)\div(2\times10^5)

(4×108)÷(2×105)（用科学记数法表示结果）

  学生独立完成，教师指名板演并强调：系数相除包含符号的确定；科学记数法的运算可先按单项式除法法则处理系数和10的幂。

  环节二：探究多项式除以单项式的法则

  1.问题转化：

  回到情境二中的问题：(

6

x

2

y

+

9

x

y

2

)

÷

(

3

x

y

)

=

?

(6x^2y+9xy^2)\div(3xy)=?

(6x2y+9xy2)÷(3xy)=?

  教师启发：这是一个多项式除以单项式。我们能否利用已有的知识来解决它？能否将它转化为我们已经会算的运算？（引导学生联想乘法分配律及其逆用，以及单项式除以单项式）

  2.算法猜想与验证：

  鼓励学生大胆猜想计算方法。可能猜想：用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。

  即：(

6

x

2

y

+

9

x

y

2

)

÷

(

3

x

y

)

=

(

6

x

2

y

)

÷

(

3

x

y

)

+

(

9

x

y

2

)

÷

(

3

x

y

)

(6x^2y+9xy^2)\div(3xy)=(6x^2y)\div(3xy)+(9xy^2)\div(3xy)

(6x2y+9xy2)÷(3xy)=(6x2y)÷(3xy)+(9xy2)÷(3xy)

  引导学生进行验证：计算右边，得到2

x

+

3

y

2x+3y

2x+3y。那么，(

2

x

+

3

y

)

⋅

(

3

x

y

)

(2x+3y)\cdot(3xy)

(2x+3y)⋅(3xy)是否等于6

x

2

y

+

9

x

y

2

6x^2y+9xy^2

6x2y+9xy2？根据单项式乘多项式法则，计算得6

x

2

y

+

9

x

y

2

6x^2y+9xy^2

6x2y+9xy2。验证成功！说明猜想正确。

  3.一般化概括：

  教师提问：这个结论具有一般性吗？对于(

a

+

b

+

c

)

÷

m

(a+b+c)\divm

(a+b+c)÷m（其中a,b,c是单项式，m是非零单项式），是否也有(

a

+

b

+

c

)

÷

m

=

a

÷

m

+

b

÷

m

+

c

÷

m

(a+b+c)\divm=a\divm+b\divm+c\divm

(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m？

  引导学生利用乘除互逆关系进行一般化证明：设(

a

+

b

+

c

)

÷

m

=

q

(a+b+c)\divm=q

(a+b+c)÷m=q，则q

⋅

m

=

a

+

b

+

c

q\cdotm=a+b+c

q⋅m=a+b+c。如果将q

q

q写成q

1

+

q

2

+

q

3

q_1+q_2+q_3

q1​+q2​+q3​的形式，根据乘法分配律，有q

1

m

+

q

2

m

+

q

3

m

=

a

+

b

+

c

q_1m+q_2m+q_3m=a+b+c

q1​m+q2​m+q3​m=a+b+c。这提示我们可以令q

1

=

a

÷

m

,

q

2

=

b

÷

m

,

q

3

=

c

÷

m

q_1=a\divm,q_2=b\divm,q_3=c\divm

q1​=a÷m,q2​=b÷m,q3​=c÷m。从而在逻辑上确认了法则的合理性。

  师生共同概括法则：

  文字语言：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

  符号语言：(

a

+

b

+

c

)

÷

m

=

a

÷

m

+

b

÷

m

+

c

÷

m

(a+b+c)\divm=a\divm+b\divm+c\divm

(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m（m

≠

0

m\neq0

m=0）。

  4.强调算理与步骤：

  教师强调：多项式除以单项式的核心算理是“转化”思想——将新问题（多项式除以单项式）转化为已解决的问题（若干个单项式除以单项式）。计算步骤为：①用多项式的每一项除以单项式；②将所得的各个商相加。要特别注意每一项的符号和计算准确性。

  5.初步应用（学习单任务三）：

  计算：(1)(

9

x

4

−

15

x

2

+

6

x

)

÷

(

3

x

)

(9x^4-15x^2+6x)\div(3x)

(9x4−15x2+6x)÷(3x)(2)(

4

a

3

b

2

−

8

a

2

b

3

)

÷

(

4

a

b

2

)

(4a^3b^2-8a^2b^3)\div(4ab^2)

(4a3b2−8a2b3)÷(4ab2)(3)[

(

x

+

y

)

2

−

y

(

2

x

+

y

)

]

÷

x

[(x+y)^2-y(2x+y)]\divx

[(x+y)2−y(2x+y)]÷x（先化简括号内）

  第(3)小题设计意图在于引导学生注意运算顺序，有时需要先进行括号内的整理（乘法、合并同类项），再进行除法运算。学生练习，教师巡视指导，收集典型解法与错误。

  （三）典例精析，深化理解(时间：约15分钟)

  教师选择具有代表性的例题，通过板演、讲解、互动讨论的方式，深化对法则的理解和应用，突破难点。

  例题1：计算(

−

2

a

2

b

)

3

÷

(

4

a

4

b

2

)

(-2a^2b)^3\div(4a^4b^2)

(−2a2b)3÷(4a4b2)

  分析：本题涉及积的乘方、幂的乘方与单项式除法的综合。运算顺序是关键。

  解：原式=

(

−

8

a

6

b

3

)

÷

(

4

a

4

b

2

)

=(-8a^6b^3)\div(4a^4b^2)

=(−8a6b3)÷(4a4b2)（先算乘方）

     =

[

(

−

8

)

÷

4

]

⋅

(

a

6

÷

a

4

)

⋅

(

b

3

÷

b

2

)

=[(-8)\div4]\cdot(a^6\diva^4)\cdot(b^3\divb^2)

=[(−8)÷4]⋅(a6÷a4)⋅(b3÷b2)（运用单项式除法法则）

     =

−

2

a

2

b

=-2a^2b

=−2a2b

  强调：对于含有乘方运算的整式除法，必须遵循先乘方、再乘除的运算顺序。

  例题2：计算[

(

2

x

−

y

)

(

2

x

+

y

)

+

y

(

y

−

6

x

)

]

÷

(

2

x

)

[(2x-y)(2x+y)+y(y-6x)]\div(2x)

[(2x−y)(2x+y)+y(y−6x)]÷(2x)

  分析：被除式是一个复杂的多项式，必须先进行化简（展开、合并同类项），再执行除法运算。这体现了“先化简，再运算”的代数基本策略。

  解：原式=

[

4

x

2

−

y

2

+

y

2

−

6

x

y

]

÷

(

2

x

)

=[4x^2-y^2+y^2-6xy]\div(2x)

=[4x2−y2+y2−6xy]÷(2x)（展开括号）

     =

(

4

x

2

−

6

x

y

)

÷

(

2

x

)

=(4x^2-6xy)\div(2x)

=(4x2−6xy)÷(2x)（合并同类项）

     =

4

x

2

÷

2

x

−

6

x

y

÷

2

x

=4x^2\div2x-6xy\div2x

=4x2÷2x−6xy÷2x（转化为单项式除法）

     =

2

x

−

3

y

=2x-3y

=2x−3y

  引导学生反思：如果不先化简括号内，直接除以2

x

2x

2x是否可以？（不可以，因为多项式除以单项式要求除式是单项式，但被除式的每一项并非都能直接与2

x

2x

2x构成单项式除法的形式，强行分配会导致错误或复杂化）。

  例题3：先化简，再求值：[

(

3

x

+

2

y

)

(

3

x

−

2

y

)

−

(

x

+

2

y

)

(

5

x

−

2

y

)

]

÷

(

4

x

)

[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]\div(4x)

[(3x+2y)(3x−2y)−(x+2y)(5x−2y)]÷(4x)，其中x

=

1

,

y

=

−

2

x=1,y=-2

x=1,y=−2。

  分析：本题综合了整式乘法、减法、除法以及求值。步骤清晰：先算括号内乘法，再合并同类项，然后做除法，最后代入求值。

  解：原式=

[

(

9

x

2

−

4

y

2

)

−

(

5

x

2

−

2

x

y

+

10

x

y

−

4

y

2

)

]

÷

(

4

x

)

=[(9x^2-4y^2)-(5x^2-2xy+10xy-4y^2)]\div(4x)

=[(9x2−4y2)−(5x2−2xy+10xy−4y2)]÷(4x)

     =

[

9

x

2

−

4

y

2

−

5

x

2

−

8

x

y

+

4

y

2

]

÷

(

4

x

)

=[9x^2-4y^2-5x^2-8xy+4y^2]\div(4x)

=[9x2−4y2−5x2−8xy+4y2]÷(4x)

     =

(

4

x

2

−

8

x

y

)

÷

(

4

x

)

=(4x^2-8xy)\div(4x)

=(4x2−8xy)÷(4x)

     =

x

−

2

y

=x-2y

=x−2y

  当x

=

1

,

y

=

−

2

x=1,y=-2

x=1,y=−2时，原式=

1

−

2

×

(

−

2

)

=

1

+

4

=

5

=1-2\times(-2)=1+4=5

=1−2×(−2)=1+4=5。

  强调：化简过程中要特别注意符号处理和同类项的合并，这是保证最终结果正确的关键。先化简再求值，往往比直接代入原式计算更简便、更准确。

  【设计意图】本环节通过三个层层递进的例题，巩固和深化了对两种整式除法法则的理解。例题1强调运算顺序和法则的直接应用；例题2突出“先化简，再运算”的策略，展示多项式除以单项式法则的应用场景；例题3则是综合性的化简求值问题，将整式乘法、加减法、除法融为一体，培养学生综合运算能力和策略选择意识。教师在讲解中注重思路分析、易错点提醒和数学思想方法（如整体思想、化归思想）的渗透。

  （四）分层练习，巩固提升(时间：约15分钟)

  将练习分为A、B、C三个层次，满足不同学生的学习需求。学生可根据自身情况选择完成，鼓励完成A层后挑战B、C层。

  A层：基础巩固（面向全体学生）

  1.计算：

  (1)(

15

a

3

b

2

c

)

÷

(

5

a

b

2

)

(15a^3b^2c)\div(5ab^2)

(15a3b2c)÷(5ab2)(2)(

−

12

x

5

y

4

)

÷

(

3

x

2

y

3

)

(-12x^5y^4)\div(3x^2y^3)

(−12x5y4)÷(3x2y3)

  (3)(

8

m

4

n

2

−

6

m

3

n

2

)

÷

(

2

m

2

n

)

(8m^4n^2-6m^3n^2)\div(2m^2n)

(8m4n2−6m3n2)÷(2m2n)(4)[

(

3

a

+

2

b

)

2

−

(

3

a

−

2

b

)

2

]

÷

(

2

a

b

)

[(3a+2b)^2-(3a-2b)^2]\div(2ab)

[(3a+2b)2−(3a−2b)2]÷(2ab)

  2.填空：

  (1)(

)

⋅

3

a

b

2

=

9

a

3

b

2

−

6

a

2

b

3

(\quad)\cdot3ab^2=9a^3b^2-6a^2b^3

()⋅3ab2=9a3b2−6a2b3

  (2)若(

8

x

3

y

2

−

4

x

2

y

3

)

÷

M

=

−

4

x

y

(8x^3y^2-4x^2y^3)\divM=-4xy

(8x3y2−4x2y3)÷M=−4xy，则单项式M

=

‾

M=\underline{\qquad}

M=​。

  B层：能力提升（面向大多数学生）

  1.计算：

  (1)[

(

−

2

x

2

y

)

3

+

6

x

6

y

3

]

÷

(

2

x

2

y

)

2

[(-2x^2y)^3+6x^6y^3]\div(2x^2y)^2

[(−2x2y)3+6x6y3]÷(2x2y)2

  (2)(

3

4

a

4

b

5

−

0.5

a

3

b

4

−

1

6

a

2

b

3

)

÷

(

−

1

2

a

2

b

3

)

\left(\frac{3}{4}a^4b^5-0.5a^3b^4-\frac{1}{6}a^2b^3\right)\div\left(-\frac{1}{2}a^2b^3\right)

(43​a4b5−0.5a3b4−61​a2b3)÷(−21​a2b3)

  2.已知一个多项式与单项式−

2

a

2

b

-2a^2b

−2a2b的积是8

a

4

b

2

−

6

a

3

b

3

+

2

a

2

b

2

8a^4b^2-6a^3b^3+2a^2b^2

8a4b2−6a3b3+2a2b2，求这个多项式。

  C层：拓展探究（面向学有余力的学生）

  1.探究规律：观察下列等式：

  (

x

2

−

1

)

÷

(

x

−

1

)

=

x

+

1

(x^2-1)\div(x-1)=x+1

(x2−1)÷(x−1)=x+1

  (

x

3

−

1

)

÷

(

x

−

1

)

=

x

2

+

x

+

1

(x^3-1)\div(x-1)=x^2+x+1

(x3−1)÷(x−1)=x2+x+1

  (

x

4

−

1

)

÷

(

x

−

1

)

=

x

3

+

x

2

+

x

+

1

(x^4-1)\div(x-1)=x^3+x^2+x+1

(x4−1)÷(x−1)=x3+x2+x+1

  (1)你能发现什么规律？请用字母n

n

n（n

n

n为正整数）表示出来：(

x

n

−

1

)

÷

(

x

−

1

)

=

‾

(x^n-1)\div(x-1)=\underline{\qquad\qquad}

(xn−1)÷(x−1)=​。

  (2)根据你发现的规律计算：2

10

+

2

9

+

2

8

+

⋯

+

2

+

1

2^{10}+2^9+2^8+\cdots+2+1

210+29+28+⋯+2+1。（提示：联想x

=

2

x=2

x=2的情况）

  2.阅读理解：我们定义一种新的运算“⊕”，对于两个整式A

A

A和B

B

B，有A

⊕

B

=

(

A

+

B

)

÷

2

A⊕B=(A+B)\div2

A⊕B=(A+B)÷2。例如：(

3

x

2

)

⊕

(

5

x

2

)

=

(

3

x

2

+

5

x

2

)

÷

2

=

4

x

2

(3x^2)⊕(5x^2)=(3x^2+5x^2)\div2=4x^2

(3x2)⊕(5x2)=(3x2+5x2)÷2=4x2。

  (1)求(

6

a

2

b

)

⊕

(

−

2

a

2

b

)

(6a^2b)⊕(-2a^2b)

(6a2b)⊕(−2a2b)的值。

  (2)若(

4

x

3

y

2

)

⊕

M

=

3

x

3

y

2

(4x^3y^2)⊕M=3x^3y^2

(4x3y2)⊕M=3x3y2，求整式M

M

M。

  (3)请问运算“⊕”满足交换律吗？请说明理由。

  【设计意图】分层练习设计体现了因材施教的原则。A层练习确保所有学生掌握基础法则和简单应用；B层练习涉及符号、系数为分数或小数、乘方与除法的混合运算以及乘除互逆关系的应用，旨在提升学生的运算熟练度和综合能力；C层练习则引导学生进行规律探究和定义新运算，培养学生的观察、归纳、推理能力和创新意识，拓宽其数学视野。练习过程中，教师巡视，进行个别指导，并对共性问题进行集中点拨。

  （五）课堂小结，反思升华(时间：约5分钟)

  教师引导学生从知识、方法、思想、体验等多个维度进行自主小结，而非教师简单复述。

  提问与引导框架：

  1.知识层面：今天我们学习了哪些运算规则？它们的文字表述和计算要点分别是什么？（单项式除以单项式：系数、同底数幂分别相除；多项式除以单项式：每一项分别除，再把商相加。）

  2.方法层面：我们是如何得到这些法则的？（通过类比、归纳、从特殊到一般。）在应用法则时，要注意哪些关键步骤和易错点？（运算顺序、符号处理、先化简再运算、除法是乘法的逆运算等。）

  3.思想层面：本节课蕴含了哪些重要的数学思想？（转化思想——将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；类比思想——与数的除法类比；整体思想等。）

  4.体验与困惑：你在探究过程中有哪些成功的体验？还有什么疑问或觉得困难的地方？

  教师根据学生的回答，用结构化的板书（如思维导图）进行梳理和总结，使本节课的知识体系、方法体系和思想体系清晰呈现。最后强调，整式的除法是代数式恒等变形的重要工具，为后续学习因式分解、分式运算、方程求解等奠定基础。

  七、板书设计

  （左侧主板书区域）

  课题：整式的除法

  一、单项式除以单项式

   法则：系数相除，同底数幂相除，其余字母及指数照搬。

   依据：除法是乘法的逆运算。

   示例：(

12

a

3

b

2

)

÷

(

4

a

b

)

=

3

a

2

b

(12a^3b^2)\div(4ab)=3a^2b

(12a3b2)÷(4ab)=3a2b

     ∵3

a

2

b

×

4

a

b

=

12

a

3

b

2

3a^2b\times4a