人教版六年级上册数学数学广角《数与形 例2》教案

人教版六年级上册数学数学广角《数与形例2》教案一、课题名称数与形（例2）二、授课年级六年级上册三、教材版本人教版四、课时安排1课时五、学情分析六年级的学生已经具备了一定的抽象思维能力和初步的逻辑推理能力，但对于“数”与“形”之间内在联系的探索仍需要教师的有效引导。在此之前，学生已经学习了《数与形》的例1，初步感知了从图形中抽象出数的规律，以及利用图形帮助理解数的运算。例2则侧重于让学生进一步体会数与形的结合可以帮助解决一些复杂的数学问题，特别是利用图形的直观性来理解和记忆数学公式或规律，渗透极限思想的雏形。学生在面对多个分数相加的问题时，可能会习惯于通分计算，但对于算式中蕴含的规律以及如何用图形来解释这种规律，可能会感到困惑。因此，教学中需要提供丰富的感性材料，引导学生动手操作、观察比较、合作交流，逐步从具体形象过渡到抽象概括。六、教学目标1.知识与技能：学生能够通过观察、操作、归纳等方式，自主发现并理解“从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方”这一规律，并能运用这一规律解决简单的实际问题。初步体会极限思想。2.过程与方法：引导学生经历“观察——猜想——验证——应用”的数学活动过程，培养学生的观察能力、动手操作能力、抽象概括能力和初步的逻辑思维能力。渗透“数形结合”、“归纳推理”的数学思想方法。3.情感态度与价值观：在探索规律的过程中，感受数学的严谨性与趣味性，激发学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神和合作交流的意识。七、教学重难点*教学重点：发现并理解“从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方”的规律。*教学难点：如何引导学生将抽象的算式与具体的图形联系起来，理解规律的形成过程；以及体会算式所蕴含的极限思想。八、教学准备教师：多媒体课件（PPT）、正方形教具（或磁性小正方形片）、板书用尺规。学生：练习本、铅笔、橡皮、直尺、不同颜色的彩笔或小正方形纸片（可选）。九、教学过程（一）复习旧知，情境导入1.谈话引入：师：同学们，我们上一节课学习了《数与形》，谁能说说我们通过学习发现了“数”和“形”之间有什么奇妙的联系吗？（引导学生回忆例1中通过图形帮助理解计算方法或发现规律的过程）生：我们可以通过画图来帮助理解算式的意思，或者从图形中发现数的规律。2.出示问题，激发兴趣：师：说得非常好！“数”和“形”是数学王国里的一对好朋友，它们常常相互帮助，让复杂的问题变得简单。今天，我们继续来探索它们之间的奥秘。请看大屏幕上的这个算式：1+3+5+7+9+...这样一直加下去，如果加到很多很多，你能快速算出结果吗？（板书：1+3+5+7+9+...）（学生可能会感到困惑，或尝试用加法计算，但当数增多时会觉得麻烦。）师：看来这个问题直接用加法计算，当加数很多时会比较困难。别着急，今天我们就来学习一种新的方法，借助“形”的力量来帮助我们解决这个“数”的问题。（板书课题：数与形）（二）新知探究，合作交流1.动手操作，初步感知（从简单入手）：师：我们知道，研究复杂问题时，常常可以从最简单的情况开始。我们先来看几个简单的算式，看看能不能从中发现点什么。*出示第一个算式：1=？师：这个太简单了，1等于几？（生：1）师：如果我们用一个小正方形来表示1，那么1就可以看成是边长为1的正方形的面积。（课件出示或黑板贴出一个边长为1的小正方形，标注面积1=1²）*出示第二个算式：1+3=？师：1加3等于多少？（生：4）师：4还可以写成哪个数的平方？（生：2²）师：如果刚才的1是一个小正方形，现在我们再加上3个同样的小正方形，能拼成一个新的正方形吗？请同学们在练习本上画一画，或者用老师给的小正方形拼一拼。（学生动手操作，教师巡视指导）（请学生展示：通常学生会将3个小正方形拼在第一个小正方形的旁边，形成一个2x2的大正方形。）师：大家看，1个小正方形（1），再加上3个小正方形，正好拼成了一个边长为2的大正方形，它的面积是2²，也就是4。所以1+3=2²=4。（课件动态演示拼合过程，并板书：1+3=4=2²）*出示第三个算式：1+3+5=？师：1加3加5等于多少呢？（生：9）师：9是哪个数的平方？（生：3²）师：太棒了！按照刚才的思路，如果我们在边长为2的正方形基础上，再加上5个同样的小正方形，能不能拼成一个更大的正方形呢？它的边长会是多少？请同学们再试试看。（学生继续动手操作或画图，教师引导学生思考：新增加的5个小正方形应该如何摆放才能形成一个更大的正方形。）（请学生展示或教师课件演示：在2x2的正方形外围，再拼上一层5个小正方形，形成一个3x3的大正方形。强调新增加的是5个，是奇数。）师：非常好！我们看到，在1+3的基础上（也就是边长为2的正方形），再加上5个小正方形，就拼成了一个边长为3的大正方形，面积是3²，也就是9。所以1+3+5=3²=9。（板书：1+3+5=9=3²）2.观察比较，发现规律：师：同学们真了不起！我们一起通过拼正方形，得到了这样几个等式。现在请大家仔细观察这几个等式，以及它们所对应的图形，小组讨论一下，算式左边的加数有什么特点？算式左边的加数个数与右边的平方数有什么关系？（学生小组讨论，教师参与其中，引导学生关注：加数都是奇数，都是从1开始连续的奇数；加数的个数与平方数的底数有什么关系。）*引导学生汇报发现：生1：我们发现算式左边的数都是奇数。生2：这些奇数都是从1开始的，一个接一个的。生3：我们发现，有几个这样的奇数相加，和就是几的平方。比如，1是1个奇数相加，和是1²；1+3是2个奇数相加，和是2²；1+3+5是3个奇数相加，和是3²。（教师根据学生的汇报，进行板书梳理：加数特点：从1开始的连续奇数相加。规律：有几个这样的奇数相加，和就是几的平方。）师：大家同意他们的发现吗？（引导学生再次确认）师：也就是说，如果有n个从1开始的连续奇数相加，它们的和就是n²。（板书：从1开始，n个连续奇数相加的和=n²）3.验证规律，深化理解：*口头验证：师：按照这个规律，1+3+5+7=？应该是几个奇数相加？和是几的平方？（生：4个奇数相加，和是4²=16）师：我们用加法算算看：1+3=4，4+5=9，9+7=16。正确！如果用图形表示，应该是在3x3的正方形基础上，再加上7个小正方形，拼成一个4x4的大正方形，面积就是16。（课件可简要演示或学生想象）*反向验证（如果时间允许）：师：5²等于多少？（25）那么它应该是几个从1开始的连续奇数相加的和呢？（5个）是哪5个？（1+3+5+7+9=25）师：非常好，这进一步验证了我们发现的规律是正确的。4.拓展延伸，渗透极限（结合例2后半部分）：师：我们刚才研究的是从1开始的连续奇数的和。现在，请大家看大屏幕上这个有趣的分数加法算式：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+...这个算式的特点是什么？（生：分子都是1，分母依次乘2，后面的数越来越小）师：如果我们一直这样加下去，不加完，它的和会接近多少呢？（引导学生思考）师：这个问题，我们同样可以借助图形来帮助理解。（课件出示一个正方形，表示“1”）师：第一次取它的1/2（涂色表示），还剩下多少？（1/2）师：第二次在剩下的1/2中再取它的1/2，也就是整个正方形的1/4（再涂色相邻的1/4），现在一共取了多少？（1/2+1/4=3/4）还剩下多少？（1/4）师：第三次再在剩下的1/4中取它的1/2，也就是整个正方形的1/8（继续涂色），一共取了多少？（3/4+1/8=7/8）还剩多少？（1/8）师：第四次取1/16，一共取了7/8+1/16=15/16，还剩1/16。师：同学们，你们发现了什么？随着我们不断地取下去，取的份数越来越多，剩下的部分越来越——（小），那么取的总和就越来越接近——（整个正方形，也就是1）。师：所以，这个算式1/2+1/4+1/8+1/16+...一直加下去，如果加数有无限多个，它的和就无限接近于1。这就是“极限”思想的一个简单体现。我们以后在中学还会学到更多关于它的知识。（三）巩固练习，应用规律1.基础练习：*1+3+5+7+9=（）²=（）*1+3+5+7+9+11+13=（）²=（）*（）=6²（括号里填从1开始的连续奇数的和）（学生独立完成，集体订正，强调对规律的直接应用。）2.判断对错：*1+3+5+7+5+3+1=5²（）（引导学生思考，这不是从1开始的连续奇数相加到最后一个奇数，而是对称的，可拆分为1+3+5+7=4²和5+3+1=3²，和为4²+3²=25=5²，所以是对的，但需要说明其特殊性，与今天学的基本规律的联系与区别，视学生情况决定是否深入。）3.解决问题（拓展）：师：小红在计算一组数的和：1、3、5、7……，她一共加了8个数，你知道她得到的和是多少吗？（8²=64）（四）课堂小结，回顾提升师：同学们，这节课我们一起探索了数与形的奥秘，你有哪些收获呢？（学生自由发言，可以从知识、方法、情感等方面谈。）*我们发现了“从1开始，n个连续奇数相加的和等于n²”这个规律。*我们学会了用“形”（正方形）来帮助理解“数”的运算和规律。*遇到复杂问题可以从简单情况入手研究。*感受到了数学的神奇和有趣。师：是啊，数与形密不可分，数中有形，形中藏数。利用数形结合的方法，可以帮助我们更直观、更深刻地理解数学知识，解决数学问题。希望同学们在今后的学习中，能主动运用这种方法去探索更多的数学奥秘！（五）布置作业，巩固深化1.必做题：完成教材对应练习中的相关习题（如练习二十二的第2题、第4题等，具体根据教材版本确定）。2.选做题（思考题）：*想一想，1+3+5+7+9+...+99=？（提示：先想想一共有多少个奇数相加）*你能用今天学到的用图形解释算式的方法，研究一下“1/2+1/4+1/8+...”这个算式的和为什么会接近1吗？可以画图试试看。十、板书设计数与形1=1=1²（画一个小正方形）1+3=4=2²（画2x2的正方形，并示意1和3的组成）1+3+5=9=3²（画3x3的正方形，并示意增加的5个）1+3+5+7=16=4²（可简笔画或文字说明4x4）规律：从1开始，n个连续奇数相加的和=n²拓展：1/2+1/4+1/8+1/16+...≈1（画一个正方形，逐步涂色表示取走的部分）