八年级数学寒假作业19 数据的分析（巩固培优）（解析版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：作业19数据的分析一、算术平均数1.一般地，对于n个数x1，x2，⋯，xn，我们把1nx1+x2+⋯+2.算术平均数的意义反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准．3.算术平均数的特征（1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关；（2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响．4.若x1，x2，⋯，xn（1）nx1，nx2，⋯，（2）x1+b，x2+b，（3）nx1+b，nx2+b二、加权平均数1.实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度．2.若n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，⋯，xk出现fk次（其中f1+f2+⋯+fk=n），则由平均数的定义可得其平均数为x3.算术平均数与加权平均数的区别与联系用法的区别①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数影响因素的区别①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响联系算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数三、中位数1.一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数．2.一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同．3.中位数的求法（1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；（2）确定这组数据的个数；（3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数的平均数作为中位数．四、众数1.一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数．2.众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数．（1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数；（2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数．五、合理选用平均数、中位数和众数分析问题1.平均数、中位数和众数各自的特征（1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常用，但它易受极端值的影响．（2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数时，中位数不一定是数据中的数．（3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，当各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数．2.数据分析时的选用依据平均数平均数众数中位数当要解决的问题需要一组数据中的每个数据都参加运算时，应当选用平均数当一组数据中出现极端值时，应选用中位数当一组数据中有的数据重复出现，以至于其他数据的作用显得相对较小时，应选用众数六、从统计图分析数据的集中趋势条形统计图扇形统计图众数最高的直条所对的横轴的数占比例最大的部分所对应的数中位数确定中间位置是第n个数，按从左到右的顺序依次计算纵轴对应的个数和，和为n时对应的横轴上的数就是中位数（若处于中间位置的数有两个，则求这两个数的平均数）按从小到大的顺序计算所占百分比之和，处于最中间位置的数（或最中间位置两个数的平均数）就是中位数平均数按平均数的计算公式计算七、方差与标准差1.方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用s2表示，即s2=1nx1-x2+x22.标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即s=3.方差和标准差的计算（1）计算这组数据的平均数；（2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据；（3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差；（4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差．4.方差和标准差的意义方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定．5.适当变形后新数据的平均数和方差样本数据平均数方差x1，x2，x3，xsx1+a，x2+axskx1，kx2，kx3，kkkx1+a，kx2+akk6.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即S=x1-x八、四分位数与箱线图在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。箱线图三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一算术平均数1.x是x1, x2, ⋯, x100的平均数，a是xA．x=70a+30b100 B．x【答案】B【解析】解：∵x是x1, x2, ⋯, x100的平均数，a∴x1+x∴x=故选：B.题型二加权平均数2.△某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100分，所占比例如表：项目学习卫生纪律活动参与所占比例40%30%20%10%若某班这四项得分（单位：分）依次为95，85，90，80，则该班四项综合得分为分．【答案】89.5【解析】解：该班四项综合得分为：95×40%+85×30%+90×20%+80×10%=89.5（分），故答案为：89.5．题型三中位数3．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图4所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，不可以选择（

）A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、丁 D．丙、丁【答案】A【解析】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，因此可排除甲、丁；故选：A．题型四众数4．五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（

）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】C【解析】解：∵5个数据组中位数是5，唯一众数是6，∴最大的三个数的和是：5+6+6=17，则两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，即两个较小的数最大为3和4，最小为0和1，故总和一定大于等于18而小于等于24，所以他们投中次数的总和可能是24．故选：C．题型五统计量的选择5.在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（

）A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数【答案】B【解析】解：共有13名同学，成绩各不相同．中位数是将数据从小到大排列后的第7名成绩．若该同学的成绩高于中位数（即第7名成绩），则其排名必在前6名，而中位数是唯一能直接反映中间位置、帮助判断是否可能进入前6名的指标．众数、方差、平均数均无法提供排名的直接信息，故选B．题型六方差6.已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求3a【答案】平均数为3m+【解析】解：∵a，b，c，d，e五个数的平均数为m，∴a+∵a，b，c，d，e五个数的方差为g，∴15∴新数的平均数为：1====3m∴方差为1===9g题型七四分位数与箱线图7．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示．(1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________．(2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？(3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？【答案】(1)128；128；(2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学；(3)甲班平均分较高【解析】（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128，故答案为：128；128；（2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学；（3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高．题型八标准差8．若样本x1,x2,x3,…xn，的平均数为A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4【答案】D【解析】解：由题意，得：2x1+3,2x2+3，∴标准差为：16=4故选D．题型九数据的分析9．某校七、八年级进行了数学期末检测，并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的检测成绩，整理如下：七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，92；八年级10名学生的成绩：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100；年级平均数中位数众数方差七年级93bc23.6八年级a9210021.4根据以上信息，解答下列问题：(1)表格中a=____________；b=____________；c(2)这次检测中，____________年级的成绩更稳定；(3)我校八年级共有800人参加了此次数学检测，估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（x≥90【答案】(1)93，94，96；(2)八；(3)560人【解析】（1）解：a=将七年级抽样成绩重新排列为：86，86，89，90，92，96，96，96，99，100，中位数为b=七年级的成绩出现次数最多是96分，共出现3次，∴众数c=96故答案为：93，94，96；（2）解：∵七年级的方差是23.6，八年级的方差是21.4，∴八年级的成绩更稳定．故答案为：八；（3）解：由题意得：800×7答：估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（x≥90）的有5601．定义新运算：[a，b，c]＝a（c＜a＜b），即[a，b，c]的取值为a，b，c的中位数，例如：[1，2，3]＝2，[3，4，8]＝4，已知函数y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]与直线y=12x+b有3个交点时，则b的值为【答案】9-54【解析】解：由题意：函数y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]的图象如图所示（图中实线）．由y=x2+1y∴A（1-52，直线y＝x+2交y轴于B（0，2），观察图象可知：当直线y=12x+b经过点A或点B时，函数y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]与直线y=12x+∴5-52=1-54∴b=9-54或b故答案为9-54或2．某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的初三（1）班（2）班进行了检测．如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况：（1）利用图中提供的信息，补全下表：班级平均数（分）中位数（分）众数（分）（1）班242424（2）班242421（2）观察图中数据分布情况，请通过计算说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定？【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）（1）班平均分=110（24+21+27+24+21+27+21+24+27+24）＝有4名学生24分，出现次数最多，故众数为24分；（2）班第6号学生的得分为：24×10﹣（24+21+30+21+27+27+21+24+30）＝240﹣225＝15，∴10名学生的得分处于中间位置的为24和24，故中位数为24．故答案为：24、24、24；（2）S12=110[（21﹣24）2×3+（24﹣24）2×4+（27﹣24）=110×＝5.4；S22=110[（21﹣24）2×3+（24﹣24）2×2+（27﹣24）2×2+（30﹣24）2×2+（15﹣24）=1＝19.8；∴S12＜S22，∴初三（1）班的学生纠错的得分情况更稳定．3．甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食单价不同），甲每次购买粮食100公斤，乙每次购买粮食用去100元，设甲、乙两人第一次购买粮食的单价x元/公斤，第二次购买粮食的单价y元/公斤．（1）用含x，y的代数式表示甲两次购买粮食共要付粮款元，乙两次共购买公斤粮食，若甲两次购粮的平均单价为每公斤Q1元，乙两次购粮的平均单价为每公斤Q2元，则Q1＝，Q2＝．（2）若规定两次购粮的平均单价低者，购粮方式合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）甲两次购买粮食共要付粮款为100x+100y＝100（x+y）元，乙两次共购买的粮食为（100x甲两次购粮的平均单价为每公斤Q1=100(乙两次购粮的平均单价为每公斤Q2＝200÷[100x+100（2）Q1﹣Q2=x由x≠y，得到Q1＞Q2，即乙的购粮方式的平均单价小，所以他的价格合算．4．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图．请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？（2）哪段台阶路走起来更舒服，为什么？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵x甲=16（15+16+16+14+14+15）＝∴x乙=16（11+15+18+17+10+19）＝∴相同点：两段台阶路高度的平均数相同，不同点：两段台阶路高度的中位数、方差和极差均不相同；（2）甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差较小；（3）每个台阶高度均为15cm（原平均数），使得方差为0．5．将最小的31个自然数分成A、B两组，10在A组中，如果把10从A组移到B组，则A组中各数的算术平均数增加12，B组中各数的算术平均数也增加12．问【答案】见试题解答内容【解析】解：由于把10从A组移到B组后，算术平均数增加了，故我们不妨先假设A组中的数从10开始至最大的数30，B组中的数为0至9，然后逐步调整．这时，A组中有数21个，其平均数为20，B组中有数10个，平均数为4.5，将10调至B组后，B组中的平均数为5，增加了0.5，调出10后，A组中的平均数为20.5，由此可知这样分组已符合条件，故A组中原有21个数．6．在“3●15”消费者权益日活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查，如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级，并依次记为1分、2分、3分、4分．（1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数是3；乙商场的用户满意度分数的众数为3；（2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均值（计算结果精确到00.1）；（3）请你根据所学的统计知识判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由．【答案】（1）3；3；（2）甲、乙两商场的用户满意度分数的平均值分别为2.78分，3.04分；（3）乙商场的用户满意度较高．【解析】解：（1）甲商场的用户满意度分数的众数为3；乙商场的用户满意度分数的众数为3；故答案为：3；3；（2）甲商场抽查用户数为：500+1000+2000+1000＝4500（户），乙商场抽查用户数为：100+900+2200+1300＝4500（户）．所以甲商场满意度分数的平均值=14500（500×1+1000×2+2000×3+1000×4）乙商场满意度分数的平均值=14500（100×1+900×2+2200×3+1300×4）∴甲、乙两商场的用户满意度分数的平均值分别为2.78分，3.04分；（3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高（或较满意和很满意的人数较多），所以乙商场的用户满意度较高．7．某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校际比赛，在最近的10次选拔赛中，他们的成绩如下（单位：cm）：甲：585596610