2026年江苏扬州市高三一模高考数学试卷试题（答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页扬州市2026届高三第一次调研测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案杯号法黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则集合的子集个数为（

）A．32 B．16 C．8 D．42．若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．3．展开式中的常数项为（

）A．20 B．-20 C．-12 D．-84．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（

）A． B． C． D．5．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（

）A． B． C． D．6．已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（

）A．1 B．3 C． D．7．已知函数，若有两个零点，则的值为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（

）A．极差变小 B．平均数变大C．方差变小 D．第25百分位数变小10．在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（

）A．B．平面C．D．三棱柱外接球表面积为11．已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知圆柱与圆锥的高的比为，底面半径的比为，若圆锥的体积为1，则圆柱的体积为_____，13．已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是______.14．定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点．

(1)若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB；(2)当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值．16．近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示：年份代码x12345App在线用户数y（单位：万）80150210260300(1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱：(2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望．注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，．17．记的内角的对边分别为，已知.(1)求的值；(2)若的面积为，求；(3)若，当角最大时，求的面积18．已知函数的一个极值点是．(1)求a与b的关系式；(2)求出的单调区间；(3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围．19．过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且.(1)求双曲线方程；(2)过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，.（i）若，求的值；（ii）求的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】先求出集合，再结合交集、子集的定义，即可求解.【详解】由，则，元素个数为3个，则集合的子集个数为个；故选：C2．C【详解】若复数满足，则，故复数的虚部为.3．B【分析】将给定式子变形，再结合二项式定理求解作答.【详解】因，则展开式的通项公式为，由解得，所以展开式中的常数项为.故选：B4．A【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论.【详解】因为是夹角为的两个单位向量，所以，，设为的夹角，，故选：A.5．C【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率.【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；所以个位是偶数共有20种；同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.故选：C【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻做计数时，注意讨论特殊位置上放置偶数或奇数，进而分1、2是否在该位置的情况计数.6．B【分析】令导函数为可得方程，由极值点为方程的根可得，再由等差数列性质可得.【详解】由得，，令，得，且不是该方程的根.易知判别式大于0，因为为函数的两个极值点，是方程的两正根，由韦达定理可得，，因为为等差数列，所以.故选：B.7．B【分析】根据结合两角和差的余弦公式化简，进而可求得，再根据二倍角的正弦公式化简可得.【详解】易知，令，则，所以或；可得或，因此或，又因为，所以；所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据和差角公式得出，是解决本题的关键.8．A【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为，则直线，联立方程，消去y得：，则可得，则，设线段的中点，则，即，且，线段的中垂线的斜率为，则线段的中垂线所在直线方程为，令，则，解得，即，则，由题意可得：，即，整理得，则，注意到双曲线的离心率，∴双曲线的离心率取值范围是.故选：A.【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）．9．AC【详解】由题意可知，原数据是公差为的等差数列，设，则，去掉后，新数据为共8个数.选项A：原极差：，新极差：，极差变小，A正确；选项B：原平均数：，新平均数：，平均数不变，B错误；选项C：原平均数和新平均数均为，原方差新数据的方差所以方差变小，C正确；选项D：原数据共个：，向上取整得第25百分位数为第3个数新数据共个：，第25百分位数为第2、3个数的平均，百分位数变大，D错误.10．AD【分析】对于A，由条件分别证明，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质即可证得；对于B，假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，排除B；对于C，结合锥体体积公式推出，由此可求体积，排除C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积.【详解】对于A，因为多面体为正三棱柱，则平面，因平面，故，又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则，因平面，故平面，又平面，故，故A正确；对于B，假设平面，平面，则，又，，平面，所以平面，又平面，所以，这与为等边三角形矛盾，故B错误；对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中，故三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即，又，，，C错误；对于D，设为的外心，为的外心，为的中点，则与两底面垂直，因，，故，即为三棱柱外接球的球心，又，，故，即外接球的半径，故外接球表面积，D正确.故选：AD.11．ACD【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.【详解】由，可知或，又，因同正，两边同除以可得，令，则，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当且，此时与题意不符合；当且时，，故．令，则，当时，，在上单调递减，又，所以，所以，所以，故A正确；令，则，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，因为，所以当时，，即，即，故B错误；令，则，记，则，所以，则，所以在上单调递增，所以，即，即，所以，即，故C正确；令，，则，令，，则，即在上单调递增，所以，，在上单调递增，所以，即，故D正确．故选：ACD．12．【分析】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为，则其体积，根据两者的高和半径的比得到体积之比，再由圆锥的体积为1，得到圆柱的体积.【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，设圆锥的高为，底面半径为，则其体积，所以，所以.答案为：13．【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据二次函数的性质求解即可.【详解】设为抛物线上任意一点，则，因为，所以对称轴，又由于，且最小时，，所以，所以.故答案为：.14．【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可.【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，当时，，可得，，，即，当时，，可得或，或，或1或2，即，当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即，当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，设，则，，所以，则可得递推关系：，所以,当时，成立，则，则，所以，15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用平面和平面平行可证线面平行或者（2）利用线面角求出线段的长度，建立坐标系，求出法向量可求二面角【详解】（1）解法一：取线段OB的中点N，连接MN，PN．因为，，所以且，因此四边形PCBN是平行四边形，所以．又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．因为，，所以．又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．而平面PMN，所以平面平面CDB，又平面PMN，所以平面CDB．

解法二:在线段BD上取点E，使得，连接CE，ME，又，所以，且，又，且，所以，且．所以四边形PCEM是平行四边形，所以，又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．

（2）由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作于点F，连接PF，因为平面平面ABD，平面平面，所以平面PAB，所以就是直线PD与平面PAB所成的角，所以，因为，所以．连接OD，则，即点F为OB的中点．以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，于是．设平面APD的法向量为，则，得，取，可得．设平面PDB的法向量为，则，得，取，可得．所以，故二面角的正弦值为．16．(1)，很强的线性正相关关系(2)X80150210P【详解】（1）由题意，，，则，由，同理，则，则，由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系.（2）由题意，X的可能取值为80、150、210，则，，，故X的分布列为：X80150210P则.17．(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理结合得到，推导出；（2）方法：由三角形的面积可得，结合正弦定理和三角恒等变换可得，结合（1）可求；方法：同方法1可得，结合（1），可得，进而可得，结合（1）可得，可求；（3）方法一：由余弦定理可得，可得，利用基本不等式可求的最大值，进而可求；方法二：结合（1）可得，结合基本不等式求出的最大值，进而可求.【详解】（1），由正弦定理可得：，，，两边同时除以，可得：.（2）方法1：，则，结合正弦定理得，，即，则，所以，即，解得，又，所以.方法2：同方法可得，由（1）可得，所以，即，又，所以，解得，，所以.（3）方法1：，，，，，当且仅当时等号成立，此时取到最大值，，当最大时，.方法2：由（1）知，则，所以，当且仅当，即时，取“=”，此时，则，.18．(1)(2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．(3)【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出；（2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案（3）利用导数研究函数的单调性，分别求出和的最值，将不等式能成立问题转化为最值问题，求解即可．【详解】（1）因为，所以，因为函数的一个极值点是，所以，即；则有，当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意.所以.（2），由（1）可知.①当时，令得或，列表如下：x2

-0

+0

-满足是函数的极值点；②当时，令得或，列表如下：x

2

-0

+0

-满足是函数的极值点.所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；当时，函数的单调递增