极限计算方法总结

极限计算方法总结

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。

求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到

《高等数学》后面内容的学习。卜面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出

求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1.定义：(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)。

说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的

极限严格定义证明，例如：lim2=o(q力为常数且〃。0)；hm(3x—l)=5；

"T8anx->2

’0，当|”<1时

limq〃=<人卜人卜

n->oc、不存在，当|如21时：寸寸

(2)在后面求极限时，(1〉中提到的简单极限作为己知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2.极限运算法则

定理1已知lim/(x),limg(x)都存在，极限值分别为A,B,则下面极限都存在,

且有(1)土g(%)]=A±8

(2)limf[x)-g(x)=A-B

(3)lim△»=4,(此时需o成立)

gMB

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,

不能用。

3.两个重要极限

「sinx।

(1)hm------=1

1i

(2)lim(l4-x)v=e；lim(l+—)A=e

X->0A-X»X

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,

作者简介：靳一东.男.(1964-),副教授.

例如：11ms?3x=]lim(l_2x)一2》=e,lim(l+1)3=e；等等。

X—>03xA—>0x—>8A

4.等价无穷小

定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

定理3当工—()时，下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有：

x〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜ln(l+x)〜e"—I。

说明：当上面每个函数中的自变量X换成g(x)时(g(x)f0),仍有上面的等价

22

关系成立，例如：当X.0时，/'-1〜3x；ln(l-x)〜-Xo

定理4如果函数/(x),g(x),/|(x),g|(x)都是工―/时的无穷小，且/⑴〜

rfl(X)v/(X)

/(x)，g(x)〜&(x)，则当hm士上存在时，hm彳二也存在且等于

xrx。g](x)X-*]。g(x)

〃rf\(%)r/(X)rf\(了)

/Whm—-，即lim——=hm——。

g1(%)I5g(x)XT"gI(x)

5.洛比达法则

定理5假设当自变量大趋近于某一定值(或无穷大)时，函数/*)和g(x)满足:

(1)/(X)和g(x)的极限都是。或都是无穷大；

(2)/(X)和g(x)都可导,且g(x)的导数不为0；

(3)lim/；”存在(或是无穷大)；

g⑴

/(x)『「f(x)f(x)f(x)

则极限hrm———也一定存在，且等于hm———,即rhm———=rlim——-。

g(x)gMg(x)g(x)

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不

满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(I)是否满足，即验证所求极限

是否为“9”型或“巴”型；条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕

000

后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注

意条件。

6.连续性

定理6•切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果.是函数/（幻的定义去问

内的一点,则有lim/(x)=/*o)。

7.极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知｛招｝，｛先｝，｛Z〃｝为三个数列，且满足:

(1)%，(“=1,2,3,…)

(2)limy„=aflim=a

〃一>8〃->8

则极限lim一定存在，且极限值也是a,即limxn=ao

〃—»8/if8

二、求极限方法举例

1.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

lim3-2

例1

IX-l

22

R(V3X+1)-2R3x—33

解:原式:lun---------[-----=lim

—3-1)(&+1+2)-(x—l)“3x+l+2)4

注:本题也可以用洛比达法则。

例2lim+2——1)

n—>oo

vVnl(/?+2)-(7?-l)J分子分母同除以Q

解：原式"hm—；==~/——-=

〃->8j及+2+J-1

例3lim二…

“T82”+3〃

上下同除以3"（一Q）"+l

解：原式=1y1—;二1。

（§）+1

2.利用函数的连续性（定理6）求极限

例4limx2ex

Xf2

sinA

例10lim------------

10x-sinA

*x（/finx_i）^Sinr（x-Sinx）,

解：原式=hm----------；--------=hm------------；------=I。

x-sinxiox-sinx

注：下面的解法是错误的：

…I.（"一1）一（匹—1）「x-sinj।

原式"lim-------；------------=hm------；—=1°

x-»ox—sinxxTOx-sinx

正如下面例题解法错误一样:

「tanx-smxx-x八

hm--------7------=lim——=0

10.SO工3o

tan（x2sin—）

”r

例11hm-------；------

5sin/

解：;当x—>0时sin—是无穷小,，1@11（/§山工）与不飞必工等价，

XXX

2・1

x"sin—1

所以，原式=lim---------=limxsin-=O。（最后一步用到定理2）

xf）X.v->0x

6.利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代

换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

1-cosx

例12Hm（例4）

3-

sinx1

解：原式=hm^—=:。（最后一步用到了重要极限）

x->06A6

7DC

COS——

o

例13lim-------

1x-1

71.7Di

----sin—

解：原式=hm-------=

I12

..x-sinx

例14lim--------

x->0x

]—cosxsinx]

解：原式=lim；=：。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

1。3x2x-*o6x6

sinx-xcosx

例15lim

A->0x2sinx

解;

，.sinx-xcosxcosx-(cosx-xsinx)

原式=lim-----:------=lim

2

A->0.XA—>03x

xsinx_1

=lim2

XTO3x-3

l1i

例I®吧r[r二而百力

解：错误解法：原式=lim[』一']=0。

Ixx

正确解法：

,一1.ln(l+x)-x[.ln(l+x)-x

原式"lim----------=lim-----------

J。xln(l+x)x->0X•X

-L-1I

1.1+YX1

=hm-L2-^---=hrm--------=—。

1。2x1。2%(1+幻2

应该注意,洛比达法则并不是总可以用，如下例，、

x-2sinx

例19lim

f3x+cosx

解：易见：该极限是型，但用洛比达法则后得到：lim~k,此极限

0X*3-smx

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinx

原式Jim------（分子、分母同时除以x）

x—rCOSX

3+----

x

=-（利用定理1和定理2）

3

7.利用极限存在准则求极限

例20已知X[=6,x〃+i=j2+x〃,(〃=1,2,・・•)，求Umxn

解:易证：数列"〃}单调递增，且有界(0</〃<2),由准则।极限Hm七,存在,

设limxn=ao对已知的递推公式x“+I=+两边求极限，得：

〃=j2+a,解得：。=2或。=一1(不合题意，舍去)

所以lim=2。

〃一XO

例21lim(_L^r+1_+...+~j=^=)

…Jr//+1J/+2yln2+n

,nII1n

解：易见:i)</,+/)-----/。</。

y/n2+n\ln2+1yjn2+nyjn2+1

因为Hm二——1,lim-=^==\

……J/+i

111、।

所以由准则2得：lim(z=—+L—+…+L—)=1

iV/22+1J/+2J/+〃

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多

样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习,

在练习中体会C另外.求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等，由于不常用.

这里不作介绍。

极限与连续的62个典型习题

习题1设6>0,i=l,2,…,〃7,求lim(q"+〃2"+…

解记a=max{o1M2,…则有

(%"+%”+…+a/)〃>{an)n=a,lima=a.另一方面

221

(nJ+a2+…+〃〃：)"<(ma")n=a•(m)n.

\_1

因为limm‘=(lim诟)=1,故lima-m"=a.利用两边夹定理，知

/1—>•»H-TMn-w

lim(q"…=々，其中a=max{.

n-w

例如lim(l+3"+5"+9n)7=9.

习题2求lim(—------十=二----+…+———).

+l，/+〃+2犷+〃+〃

解

I+2+…+〃I2nI+2d-----\-n

-5------<—-----+------

n~+n+nn~+n+\n~+n+2n2+n+nn2+n+\

〃(〃+l)12n+n)

即nn——\--—<---------F------------1-----F-----------

2Q/+2〃)n2+n+1n2+n+2n2+n+n2(/?2+〃+1)

I1+-

..〃(1+n)[.〃+l[.1

lim——z--------=lim--------=hm------n+=—

2(n2+2〃)〃廿2〃+4N-Kt2+42

n

i+l

..〃(l+〃)

hm-----------------

+〃+1)2

2+-+—

nn~

利用两边夹定理知

..12n1

lim(z―----------+—-----------+…+—-----------)=—.

n~+n+\n~+7?+2n~+n+n2

〃(〃+1)

解(TTT+T-r+,,,+-------=lim((l--)+(---)+•••+(-----------))w

**1-22-3/i(n+1)223nn+\

=lim(l一一—r=lim(l一一—)(/,+,)_,=lim(l一一—r1-(1一一—

n+1-n+1“/n+1〃+1

=lim[(l+—!-)-(/,+,)]_,-lim(1———=e-1-1=e~l

n-yx)-(/?+1)…〃+l

习题4求吧言（SN）・

解（变量替换法）令，=心，则当Xf1时，/T1.于是,

__1—严(1一r)(l+r+产+_"z

原式=lim-------=lim

J->1]—f"r->l(1-，)(1+/+/+…+〃T)n

习题5求lim(一一严.

X-H<Ox-1

解(变・替换法)令&-t,X->+00,/—>-Ko,

原式=)'———)/=limr(l+-r，-(l-ir，l

/->«f--j/->«/-i，+]I®tt

=lim(l+-)-/-(1—)r=el-e=e0=1.

—RfI

习题6求lim(T-)疝'(「型)。

io2+X

为了利用重要极限，对原式变形

3-.V.../2+x+l-x-e'

lim(z-----)/s,nx=lim(----------------

XT。2+x22+x

[T2+x1-xI

=Iim[(l+n

xT〃2+x

12+x_I1

+nv)>7]177===-\

=lim[(le

x-^o2+x

习题7求I"+"、"一工—2.解原式

・2。犷

..(J1+X+Jl—X—2)(J1+X+->J\—X+2)

=Inn----------、1——―/=------------------------

xT)X~(J1+R+Jl-X+2)

..14-X+1-X+2yli-X~-4

=Inn—,I--------/=------------

X~(J1+X+Jl7+2)

=hm,_

x2(Vl+7+Vl-A+2)(71-X2+1)

=lim——=---.------/----11--

A4(V1+x+II—x+2)(J1—+1)4^24

习题8求圾答竽•解由于

74x2+6x+5

lim--------------

f-wo3x-2

x

2//65、

x2(4+-+—)

h..V4x2+6x+5

而Inn-------------------=lun

xa

x+83x-2-^

x(3--)

X

IXIJ(4H--H---^-)

Vx厂

hrm------------------------

rx2

X3--)

x

..V4x2+6x+5v4x-+6x+5.

lim-------------------wrlim-------------------・故4Alim"46X+5不存在。

3x—2—3x-2XT83x-2

习题9研究下列极限(1)I沛皿.

XT30X

原式=lim,sin/,其中limL=O,|sinx|<1

・・・上式极限等于0,即

XT8X

sinxs、

hm------=0n.(2)limx-sin—.

XTMXKTOX

因为|sin-|<l,limx=(),所以limx-sin—=0.

xx->0x->0%

.1.1

sin—sin

(3)limx-sin—.原式=lim-=lun-=1.

XT8XXT8।1_KAI

XX

I

习题10计算lim(x+4”)x,(。>0,。工1).

XTO

解原式=lima(\+xax)x=alim(l+

XT。XTO

=+xa~)xa]f=ae=ae

XTO

.口)同x•也

习题111m

i.r-1I.r—1—aInx.r-1

eainx-\..<zln[l+U-l)].]

=rlun-----------lim----------------------=lx(zxl=cr

alnDa\nx(x-Dx-1

习题12已知lim史妇£=5,求"c•的值。

XT।\-X

解limx2+bx+c=\+b+c=O,b=-\-c

Xf1

原式=hm-----------=lim[-(x-c)J=c-1=5,

XTI-(x-l)Ji

c=69而/?=-(1-<?)=-(1+6)=-7.

习题13下列演算是否正确？

.1

X2S111-2]]

lim------=limx-----sinr0.

1。sinxxfsinx厂

0-------有界

x

习题14求lim(sinJTTT-sinJ^).

Jx+1-y/~XJx+1+y/~X

解原式=lim2sin-----------cos-----------

22

=2limsin=0.

-2(VX+I+JA)2

习题15求]im返"

IAX+l

解lim=lim=0,Isinx2|<1,原式=0.

r—x+lx*i4

X

习题16证明lim（且严（〃M,攵力为常数）。

x->8x+n

证］im（生产=痴（尤"1竺也尸（令_L」）

x->8x+nx*x-\-n/+〃y

y

m—H*(切-〃)-----kn+b

=lim产”=lim(l+^^)2f9=lim(l+)m-n

y-*x>x+nyy

y

m-了(吁㈤k(m-n)

=lim[(l+

)T8yy-xx>y

3

习题17求lim(l-sinx)r.

x-*0

-3sinx

解原式=I吧(1+(-SinX))TinrX=e~y

习题18求lim1ni”.解(连续性法)

IJx-a

_1yYI

原式=lim------In—=limln(—)x-</

x-aaA-xza

v-〃--a---Ix-a—a—I-1ti

=limln[l+^—=ln[lim(l+^—]a=\nea=-\ne=~.

ya…aaa

习题19试证方程x=asinx+b(其中。>0功>0)至少有一个正根，并且它

不大于。+尻

证设/(x)=〃sinx+人-x,此初等函数在数轴上连续，/(x)在加上必

连续。,//(0)=/?>0,而

f(6/+/?)=«sin(6/+h)-(a+b)+b=4sin(«+/?)-1]<0若/(〃+〃)=(),贝Ijq+Z?

就是方程x=asinx+〃的一个正根。

若/(〃+〃)<(),则由零点存在定理可知在(OM+与内至少存在一点

自£(0,〃+/?),使/(J)=().即J=asinJ+

故方程x=asinx+b至少有一正根，且不大于a+b.

]

习题21求lim(cosx)l-COSA.

XTO

]

解原式=lim{[1+(cos^-l)]cosx_,}_,=e~'.

x->0

习题20设{5}满足%>0且lim工二Y1.试证1皿七=0.

〃T8Y〃一>8

V1—

证•「lim———=r<1,取£=--->0JN,使得当n>N时有

…J2

।x„।\-rx„1-rr+1_*_r+1T.、"

--一一即on0<—^<—+—=i^BQPn0<x„<——x„,|于是递

1

人x〃-142人x〃-1乙2乙2L2

3,d八r+1zr+L?+

推得0</<7-当_<(―)-x„_2<.x(―)XN

'：二^<1,「.lim(二V*%=0,从而由两边夹准则有lim当=0.

2n->002"T8

包干口x>u的连续性。

习题22用定义研究函数

/(X)=VX

0x<0

证首先，当x>0,/（幻=他£是连续的。同理，当

x<0,/（*•）=。也是连续的。而在分段点x=0处

lim/(x)=limO=O=/(O),

.v->0~x->0~

lim/(x)=lim1二--=0=/(0).

XT(广KT。'JY

所以lim/(x)=/(()).故/(x)©C(-8,+8).

XTo

习题23求证〃二J2.46..2〃

135…(2〃一1),k

证---------------------<1,W

246…2〃

=limJ'；=limJ-1-lim；1=1・1=1,由两边夹定理知，原式成立.

lun

n—>oo8V2y/nV2"->80〃

习题24设尸？y)=以三2F(l,y)=4-y+5.任取%>0,记

2x2

)试证存在，并求极限值。

%=F(x02qx.+i=F(x„,2x„),...〃l一im>8

证vF(l,y)=/(^~1)=y-y+5=1[(y-x)2+9],

/(>'-D=(y-D2+9,/.f(y-x)=(y-x)2+9.故

F（；“）=（）」y+9.由题设

2.r

(2/一x())-+9_x：+9x；+9£+9i-r-

x\=—!______v—由于

2%2%2x,2x“

9,如新如6I

.•.x“+iV怎故｛%｝单调有下界,故有极限。设lim5=4,

〃-»8

由x“+i="+9=>A='十°，解出A=3（舍去A=-3）。

2xn2A

y

习题25设x>0,x=1+",n=1,2,...,求limx.

0n+11+x„〃->8n

解显然%>0,七川=1+—J<2.「.｛x”｝有上界2,有下界0.

1+%

1+%―温，当0</«上至

时

1+与2

1+玉一片N0,即印之王,假设%>/_]，则

x

n就=寻。>°•故闾单增。—

X^-Xn=T7-

1+Z

yA

存在。设limx“=A则由limx^=1+lim-—2—得A=1+----，即

〃->8fln-*oo1+]+A

A2-A-\=O,：.A=^^（舍去负值）。当%>匕9时，有不<%

用完全类似的方法可证｛%｝单减有下界0,同理可证lim乙二上苴.

〃->82

习题26设数列｛怎｝由下式给出玉-2,x”+]-2+1,2,…求limxn.

nY〃一>8

解“〃｝不是单调的，但｛.%_J单增，并以3为上界，故有极限。设

limX2M_,=A｛%｝单减，并以2为下界，设lim%=C在等式％=2+，两边

"T8〃一>8X%

按奇偶取极限，得两个关系B=2+lC=2+l解出8=C.由于的奇数列与

V--LJ

偶数列的极限存在且相等，因此｛%｝的极限存在，记limx“=A于是

〃T8

limx„+1=]im（2+L.故有A=2+L解出A=1+（舍去负值1-V2）

"-8"TOOXA

习题27设刀>0,x.+产土土I，试证｛乙｝收敛，并求极限。

兀+1

证显然x”>0,假设lin[x〃=A则由x“+]='"'之令〃'g,可解出A=2(舍去

“T8Xn+1

-2）o下面证明｛乙｝收敛于血.由于

Xa-6=||<(V2-D

Vi-历，

递推可得鼠-四V（及-1）2*-丹<…〈（亚-1产X]—V2

/.lim(V2-l),,_,=0.由两边夹可得lim|x〃-血|=0.故lim4=叵.

〃->8rr->oolI〃->8

习题28设/⑺=/⑺〉0,fn+}(/)=2.).试证

（1）niim/⑺存在；（2）当/⑺N1时，lim力⑺=1;当/⑺VI时,

n->oo〃T8

lim/,(r)=0;

HT8

证VH,显然有力⑺>o,xf/)+l⑺-A(r)=<o.

l'Jn

单减有下界。.•.收敛。令lim£«）=FQ）,在原式两边取极限得

黑.由此可解出S或

产⑴=1.当f(t)>1时,

加）=舞2篝"归纳假设

A(O>1,则6")之1,而

加⑺=骸铝瑞小姐有功）“

因此/(r)>1时F(o=l.即

而，⑺=1,（/（。之1时）。

“T8

当/⑺<1时，由.。⑺的单减性便知即当"）=0时，即

lin"(/)=()(当/⑺<1时)。

"TOO

=lim()2si，g

习题291皿(密土尸nxsin2x

a°cos2J。1-sin22K

-1-II

(l-sin2x)sin^^

=lim---------------：-------=--=e4

XT。.——•(-COSX)e

(1-sin22x)s,n2x

习题30若收敛，则limM=().

isn!

证•••｛.｝收敛，设lim%=A故上｝必有界。设

IxH|<B,〃=1,2,…因此0<—,w—->0,Alim=0.

〃！|〃！〃！“TOO〃！

no?；04-p-r"八"！12n1n\

刁^§31求lim―•(0<-~=一•一•••一<—，.二lim——=0)

f0〃rrnnnnn

变・替换求极限法

(为求lim/(五),有时可令x=0(y),而F(x)=F[(p(y)])

x-^a

习题32求iim("aWT(4为自然数)

10X

解令(l+aj—l=y,则x」(y十1"一”因此

a

।

..(1+。工)〃-1..y..ay

lim-----------------=lun---------*——=lim———：——----------------------

fipx

iox尸0()，+1)〃一1)-0y+cfiy~'+...+Cp~y+1-1

a

_ra_a

[鬻/-'+4/-2+...+/?y=万

,^/T+x-\--x

习题33求lim---------一一.

XTOX-

解令疝7-1=乂=%=()，+1广-1,且当R-0时)，-0,故原式

]-用/+…〃一

liin------------------—=lim------2---------=--------

io[(丁+1)"-1「1°m~y~+...2m~

习题34求lim〃2(右-〃五),a>0.

解先求lim/（加_*五），令工=（,则上式

KT+OC%

I

〃

(],—(p+,l-exp(-------Inrz)-In

=lim-----；——=lima1lim------------卢——=limJ±'——=Ina.

r-»0*r-0)r->04t-1o't-

故原式=Ina.

用等价无穷小替换求极限

习题35求同上姆亟(neN).

3-＞。(p-

解记x=4cos贝M-»1(夕一>0).

(1-x)(l+X4-...+X)\~X..1-C0S〃。

原式二lim-------------------------——=vlim——-=hm---------1

伊->。,(l+x+...+厂)…n(p~…n(p~

==-(当〃f0,1—cos〃~L/)

一°n(p~22

习题36设/(x)与%是等价无穷小，/(x)wx,求证

(1)lim[f(x)]x=I;(2)liml/(A)r-'V=1.

XT。，X”f(x)-x

证,.•/(幻~/,即^^f1(x-0),.,.^^=1+。(幻，

XX

其中a。)-0,当r0,B|J/(x)=Xl+«(x)](当Xf0).故

liml/(x)]r=limxv[l+cr(x)jl=limxxlim[14-cr(x)f

x->04,v->0*.v->0+x-H>'

-------.ra(x)

=blim[l+a(x)]ff(x)=e°=l.

I心r...ln/w

x

S'rtfMY-xrvxe--lx

(2)hmJ---------=hmx-----------T--------------------

1rf(x)-x*.f(x)f{x)-x

x

-In——In-

LJ.

limxx=limex'nx=limex-exe<)=\.

x->04.v->0*xf)+

心rx]nM*q

xxx

re-1..e-1e-1

一lim------心----T--=lim-「----心----T--=仔lim。、-----|----四T—=1.

XXX

A-In/(x)-xInx-ln[l+/(V)~V]

limx=lim=lim

.r-»0*fM-xx->0*/(x)—xx->0,♦/(X)-XX

=limln[l+=ln+行=lne=l.

KT(Tx•—o'x

nlim=lxlxl=l.

.v->0+fM-X

习题41证明方程入-2'=1至少有一个小于1的正根。

证设/(x-1，显然f(x)£C[O,l],但

r

/(0)=-1<0,/(1)=2-1=1>O,.*.3XOG(O,1),使/(x0)=x0-20-1=0,即方程

x-2)=l至少有一个小于1的正根/存在。

习题42设小)=蚂三空产连续，求2

ax2+bx,W<i

1ab

+

—+—2n-2x2n-l

limxx

"T8T=pW>i

解/«=

\+a+b

x=1

2~

\-a+b

F.

故/(1+())=1,/(1-0)=。十"/(-1+())=。-4/(一1一())二-1.由于/(外在=1.-1

a-\-b=\八，

处连续，所以na=0,b=\.

a-b=~\

71

习题43试证方程xex=x+cos—x至少有一个实根。

2

证做函数/(x)=xex-x-cos—x显然

/(O)=Tv0,/(I)=e-1>0,.•.小(0,1).使/(4)=0.即xex=A+COS在(0,1)内

必有实根。

习题44求/。)=上二工的连续区间。

X-X

(解：先改写为分段函数，结论为：(-8,0)U(0,l)U(l,+8))

习题45求。为何值时，函数/1)=卜2-1，0W2,在[0,3]上处处连续c

bx-2,2<x<3

2

只需讨论分段点处的连续性：/(2-0)=lim(A--l)=3=/(2),

XT2

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