2025-2026学年下学期内蒙古包头市高三数学3月一模试卷（含答案）

绝密★启用前注意事项:2026年普通高等学校招生全国统一考试(第一次模拟考试)数学1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区域。本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.做选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答非选择题时,将答案写在答题卡的规定区域内,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将答题卡交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i为虚数单位,则1A.2B.0C.2+22.设全集U=R,集合A={xA.−∞,4B.2,4C.3.若a,b为非零向量，则“a//b”是A.必要不充分条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.充要条件4.记Sn为正项等比数列an的前n项和,已知4A.4B.-1C.2D.15.边长为2的等边三角形ABC的外心为0,则OAA.-2B.2C.23D.6.已知直线l:3x+4y−2=0与圆C:xA.8π3B.4π3C.2π7.已知函数fx=−x2+4x,x≤4,lngA.x2+C.lnx3−4x8.袋中有9个除了颜色外完全相同的小球,其中有3个白球,2个红球,4个黄球,从中不放回地取球,每次取一个球,当三种颜色的球都取到时停止,记停止时取出的球的个数为X,则PA.163B.364C.13二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数fx=A.fB.fx的最小正周期为C.fx图象的对称中心为D.不等式fx≤410.设等差数列an的前n项和为Sn,公差为d,首项为a1,若S8>SA.dB.当n=5时,SC.aD.数列Snn为等差数列并且与数列a11.在长方体ABCD−A,B,C1D1中，AB=BC=12AA1=1A.B1E//B.四棱锥E−BB,DC.平面ABE⊥平面D.若PE⊥AC1,则点P三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数fx=2lnx−ax2的图象在x=113.已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为_____.14.已知椭圆C1:x24+y23=1和双曲线C2:x2a2−y2b2=1a>0,b>0有公共焦点F1,F2Ft四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)数列an的前n项和Sn=nn+1,数列(1)求数列an，bn(2)将数列an和数列−1nbn各取前100项，按从小到大排成一个新的数列dn,其中重复的数只取一次,求数列16.(15分)随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答,大量试验统计表明,如果输入的问题没有语法错误,则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%,且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.(1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；(2)在某次试验中,用户输入nn≥8个问题,记其中软件生成正确答案的个数为X，事件X=kk=0,1,2,⋯,n17.(15分)如图，在棱长为66的正四面体A−BCD中，E为棱(1)证明:BC⊥平面AED(2)记O为正四面体A−BCD(i)求内切球O的半径r;(写出推导过程,直接写结果不给分)(ii)设P是球O的球面上一点,且OP⊥平面BCD,当∠ADP最小时,求二面角A18.(17分)已知平面直角坐标系xOy上一动点Q满足QE−QF=(1)求点Q的轨迹曲线C的方程；(2)斜率为-1的直线与曲线C交于A,B两点且点(i)求直线AP,BP(ii)△PAB的外接圆圆心M是否在某定直线上?19.(17分)已知函数fx=x−aex−bx(1)当b=0时,若fx的图象与x轴相切,求(2)当a=1时,若fx在0,+∞有一个零点,求(3)设数列xn满足x1=1,2026年普通高等学校招生全国统一考试(第一次模拟考试)数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.B2.D3.A4.C5.A6.B7.D8.C二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.9.AD10.ABD11.BCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.-313.833四、解答题:本题共5小题,共77分.15.(13分)解:(1)令n=1，则当n≥2时,an=Sn−Sn−1=nn+1−n−1−12将数列an和数列−1nbn各取前100项,按从小到大排成一个新的数列dd51=∴=−2×16.(15分)解:(1)记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件A，“用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件B，由题意可得PA=∴PB(2)由(1)知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8，则X∼B令an=Cn80.8令n+15n−7>1,则n<9;令n+15当n=9或n=10时,P17.(15分)(1)证明:因为△BCD、△ABC均为等边三角形，且E为棱BC所以BC⊥AE、BCBC⊥AEBC⊥DEAE(2)(i)点H是底面△BCD的中心，连接AH，则AH为正四面体的高，点O由题知,在△BCD中,ED=在Rt△AHD中,由勾股定理知AH由等体积法得VA−BCD=4V即r=AH4=(ii)因为OP⊥平面BCD,所以点P在AH所以，当∠ADP最小时，则AP=6以HD为y轴,AH为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H−以HD为y轴,AH为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H−由题知H0PB设面PAD的法向量为n，则n=1,0设面PBD的法向量为m=x,y,z，则m⋅PD设二面角A−PD−B的大小为所以sinθ=1−cos2θ=2218.(17分)解:(1)由题意知,QE−所以动点Q的轨迹为双曲线的右支,2a=2即a=2,c=3则点Q的轨迹曲线C的方程为x22(2)(i)设直线AB的方程为y=−x+m,Ax1,y1,B联立y=−x+m则Δ=8m2−1>所以k==m+1⋅4m−(ii)设外接圆M:x2+联立x2+y2∴x1由(i)得x∴2m−D+E2令x则△PAB的外接圆圆心M在x+y−19.(17分)解:(1)b=0时,fx=x−aex+a且f′∴f′x0=x0−..4分而ex