20.1.1 勾股定理（课件）-人教版(2024)八下

人教版（新教材）数学八年级下册第二十章

勾股定理20.1.1勾股定理1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.(重点)2.掌握勾股定理，并能应用它进行简单的计算.(重点)3.过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养动手实践和创新能力.(难点)思考：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢?

在《周牌算经》的开篇，商高（约公元前

11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩其长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.

商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，红色直角三角形的三边长分别为

3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为

，

，

，且它们的数量关系是

，从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：

.问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？345

916259＋16＝25两条直角边长的平方和等于斜边长的平方问题2：(1)

如图，每个小方格的面积均为

1，求正方形

A1，B1，C1，

A2，B2，C2，A3，B3，C3的面积.这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求

C的面积呢？A1B1C1B2A2C2B3A3C3方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.A1的面积＝1，B1的面积＝4，C1的面积＝5；

A2的面积＝4，B2的面积＝9，C2的面积＝13；A3的面积＝9，B3的面积＝25，C3的面积＝34.A1B1C1B2A2C2B3A3C3(2)它们之间的面积有什么关系？

A1的面积＋B1的面积＝C1的面积；

A2的面积＋B2的面积＝C2的面积；A3的面积＋B3的面积＝C3的面积.(3)以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？【归纳总结】

可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想：

如果直角三角形的两条直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2＋b2＝c2.abbcabca证法让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.所以可以得到等式：

.证明：整个图形可以看作是边长为

的大正方形，它的面积为

；例1

请你补全下列证明勾股定理的一种方法.已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB

的对边分别为

a，b，c.求证：a2＋b2＝c2.

也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为

的小正方形组成，其面积为

.化简，得

.cc2

b－aa2+b2=c2勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2

+b2=c2.几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2

+b2=c2.abc公式变形：2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.例2

如图，根据所给条件分别求两个直接三角形中未知边的长.解：(1)

在

Rt△ABC

中，根据勾股定理，AB²＝AC²＋BC²＝8²＋6²＝100，B68ACEDF1517所以

AB＝10.(2)

在

Rt△DEF

中，根据勾股定理，DE²＋EF²＝DF²，从而

DE²＝DF²－EF²＝17²－15²＝64，所以

DE＝8.(1)(2)【练一练】1.求下列图中未知数

x，y的值：解：由勾股定理可得

81+144=x2，解得

x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，

解得

y=5.(1)

若

a∶b=1∶2，c=5，求

a；(2)

若

b=15，∠A=30°，求

a，c.【练一练】2.在

Rt△ABC中，

∠C=90°.解：(1)设

a=x，b=2x，根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得因此设

a=x，c=2x，根据勾股定理建立方程得(2x)2-

x2=152，解得归纳：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.(2)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴c＝2a.【练一练】3.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当

AB为斜边时，如图①，当

BC

为斜边时，如图②，43ACB43CAB图①图②归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.返回B返回2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列说法错误的是(

)A．a2＋c2＝b2

B．c2＝2a2C．a＝b

D．∠C＝90°A返回B返回返回5．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为_______.返回6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________．7．意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为S1，图②中空白部分的面积为S2．(1)请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理．【证明】由题意得S1＝S2，∴a2＋b2＋ab＝c2＋ab.∴a2＋b2＝c2.返回【点步骤】证明勾股定理的三个步骤：(1)读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成的，图中包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少；(2)列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式；(3)化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理．返回8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若AC＝4，BC＝2，则阴影部分的面积为(

)A．4B．4πC．8πD．8A返回D10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B′落在AC的延长线上，则CD＝________．3返回【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝102.∴AB＝10.由折叠得，

BD＝B′D，AB′＝AB＝10，∴B′C＝AB′－AC＝10－6＝4.设CD＝x，则B′D＝BD＝8－x.在Rt△DB′C中，CD2＋CB′2＝DB′2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴CD＝3.返回11．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．1012．如图，在平面直角坐标系中，点A