初中数学人教版八年级上册15.3.2 等边三角形学案

15.3.2等边三角形暑期预习讲义思维导图学习目标理解等边三角形的定义及其基本性质掌握等边三角形的判定方法能够运用等边三角形的性质解决几何问题理解等边三角形与等腰三角形的关系培养几何证明能力和逻辑推理能力知识点梳理一、等边三角形的定义定义：三条边都相等的三角形相关概念：三个内角都相等每个内角都是60°二、等边三角形的性质三边相等三个内角相等，每个角都是60°具有等腰三角形的所有性质（包括"三线合一"）是轴对称图形，有三条对称轴（每条边的垂直平分线）对称轴同时也是角平分线、中线和高三、等边三角形的判定定义法：三条边都相等的三角形三个角都相等的三角形有一个角是60°的等腰三角形四、等边三角形的应用解决几何证明问题计算角度和边长实际生活中的应用（如建筑结构、装饰设计等）易错点提醒一、概念理解错误混淆等边三角形和等腰三角形的区别忽视等边三角形"三线合一"的特殊性误认为等边三角形只有一条对称轴二、性质应用错误错误使用等边三角形的性质忽视60°角的特殊性质混淆等边三角形的判定条件三、证明过程错误直接使用未证明的全等关系逻辑推理不严谨忽视已知条件的限制四、计算错误角度计算时忽视三角形内角和为180°边长计算时忽视等边三角形的特殊性忽视对称性带来的简化计算机会知识点小结等边三角形是三条边都相等的特殊三角形等边三角形的三个内角都是60°等边三角形具有等腰三角形的所有性质等边三角形有三条对称轴掌握等边三角形的性质对解决几何问题非常重要学习建议通过画图加深对等边三角形性质的理解多做证明题练习，掌握逻辑推理方法注意区分等边三角形和等腰三角形的异同建立错题本，记录典型错误从简单问题入手，逐步提高解题难度养成标注已知条件和所求结论的好习惯巩固练习一、选择题1．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．全等三角形的对应角相等B．等腰三角形的两底角相等C．三个角都相等的三角形是等边三角形D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等2．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点．当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．60° B．45° C．30° D．25°3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（）（请填序号）①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④4．正三角形ABC所在的平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（）A．1个 B．4个 C．7个 D．10个5．如图，AB=AC=2，∠BAC=120°，D为BC边上一点，作∠ADE=120°且AD=DE，当AE+BE取最小值时，∠AEB=（）A．45° B．60° C．75° D．90°6．将两个等边三角形△AGF和△DEF按如图方式放置在等边三角形ABC内．若求四边形ABEF和三角形DGF的周长差，则只需知道()A．线段AD的长 B．线段EF的长 C．线段FH的长 D．线段DG的长7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠EBC=∠HCBA．① B．② C．③ D．④8．如图，已知∠AOB=60°，点D是∠AOB的平分线上的一点，点E，F分别是射线OA和射线OB上的动点，且DE=DF，∠EDF>90°，下列结论中正确的是（）A．∠EDF是一个定值 B．四边形DEOF的面积是一个定值C．当DE⊥OA时，△DEF的周长最小 D．当DE∥OB时，DF⊥OA二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=1，则AD=．10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，则△ABC是三角形．11．如图，已知△ABC，点D在BA延长线上，且AB=AC=AD，点E为BC延长线上一点，连结DE，过点A作BC的平行线交DE于点F，若∠BCF=120°，DE=5，则△CEF的周长为．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是AB边上的中线，则△ACD是三角形．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=11，分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线MN，分别交AB于点M，交BC于点N，则CM14．将两块斜边长等于2的三角尺（Rt△ABC与Rt△ABD）的斜边完全叠合按图所示摆放，E为AB中点，连接EC和ED，那么△ECD的而积等于．15．△ABC为等边三角形，点E在边BC上，∠BAE=α(0°<α<60°)，在射线AE上取点D，使AD=AB，连接BD并延长交射线AC于点F，则下列说法正确的是：．①当α=20°时，△BED为等腰三角形；②∠AEC=2∠F；③在边BC上存在点E，使CD=CF；④AE+CE=AF．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P117．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M，N分别在AD，AC上，且AM=CN，连BM，BN，当BM+BN最小时，则∠NBM=．三、解答题18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在BA，CB的延长线上，且AE=CD，∠BAE=∠ACD．求证：19．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D．（1）如图1，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，过D作DF⊥AC于F，DM=DN，证明：AM+AN=2AF；（2）如图2，若∠C=90°，∠BAC=60°，AC=9，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．20．在△ABC中，∠B=60°，D是BC上一点，且AD=AC．（1）如图1，延长BC至E，使CE=BD，连接AE.求证：AB=AE（2）如图2，在AB边上取一点F，使DF=DB，求证：AF=BC；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA=PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．

参考答案1．A2．C3．B4．D5．B6．A7．C8．C9．310．等边11．7.512．等边13．1114．115．①②④16．9.617．30°18．证明：∵AB=AC，∠BAE=∠ACD，AE=CD，

∴△ACD≌△BAESAS，

∴∠ABE=∠CAD，

∴180°-∠ABE=180°-∠CAD，

即∠ABC=∠BAC，

∴AC=BC，

∵AB=AC，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC19．（1）证明：过点D作DG⊥AB于G，如图1，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴DF=DG，在Rt△DFN和RtDF=DGDN=DM∴Rt△DFN≌Rt△DGMHL∴MG=NF，在Rt△AGD和RtDG=DFAD=AD∴Rt△AGD≌Rt△AFDHL∴AG=AF，∴AM+AN=AG+MG+AN=AG+NF+AN=AG+AF=2AF；（2）解：过点D作DE⊥AB于E，如图2，∵∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=180°−∠C−∠BAC=30°，∠EDC=360°−∠C−∠BAC−∠AED=360°−90°−60°−90°=120°，∴∠EDN+∠NDC=120°，∵∠MDN=120°，∴∠EDN+∠MDE=120°，∴∠MDE=∠NDC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∠BAD=1在△MDE和△NDC中，∠DEM=∠DCN=90°DE=DC∴△MDE≌△NDCASA∴DM=DN，∵ND∥AB，∴∠NDC=∠B=30°，∠DNC=∠BAC=60°，∴∠MDB=180°−∠MDN−∠NDC=30°，∴MB=MD，∠DME=∠B+∠MDB=60°，∴∠ADM=180°−∠BAD−∠DME=90°，∴AM=2DM，∴AM=2BM，在Rt△ABC中，∠B=30°∴AB=2AC=18，AM=23AB=12同理可得：AN=DN=DM=6，∴四边形AMDN的周长为12+6+6+6=30．20．（1）证明：∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD，∴180°−∠ADC=180°−∠ACD，即∠ADB=∠ACE，在△ADB和△ACE中AD=AC∠ADB=∠ACE∴△ADB≌△ACE（SAS），∴AB=AE；（2）证明：延长BC至点E，使得CE=BD，连接AE，由（1）得AB=AE，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB=BE，∵DF=DB，∠B=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF=BD由（1）可得△ADB≌△ACE，∴BD=EC，∴BF=CE，∴AB−BF=BE−CE，即AF=BC；（3）解：PC=2BD，证明如下：在PC上截取CE=BD，连接AE，由（2）可知