安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高三下学期阶段性检测 数学（含答案）

高三年级阶段性检测数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥十中命题教师：李斌审题教师：何卫星注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2.已知复数z满足(i一2)z=5，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有()5.已知向量，满足.(一2)6.已知正项等比数列{an}的前n项和为sn，，a1=2，s4=10s2，设Tn=λ+an，若Tn为某一等比数列的前n项和，则实数λ的值为()7.已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2=2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为()A.B.C.D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。A.直线l过定点(3,1)B.圆C被y轴截得的弦长为221C.圆C被直线l截得的弦长最短时，直线l的方程为x+2y一5=0D.直线l与圆C相交于A、B两点，∠ACB不可能为90°10.正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长相等，且均为2，N在ΔABC内及其边界上运动，则下列说法正确的是A.存在点N，使得C1N丄平面A1B1CB.三棱锥C—A1BN的体积的取值范围为（0，C.E为A1C1中点，若C1N//平面AB1E，则动点N的轨迹长度为3D.P为BB1中点，若C1P丄AN，则动点N到平面AB1C1的最大距离为11.已知函数f(x)=—ax3+3x2+1，则下列命题中正确的是()A.0是f(x)的极小值点B.当—1<a<0时，f(a—1)<f(a)C.若a=1，则f(—2022)+f(—2023)+f(2024)+f(2025)=12D.若f(x)存在极大值点x1，且f(x1)=f(x2)，其中x1≠x2，则x1+2x2=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩X~N(70,102)，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为(结果四舍五入，填整数)．附：若ξ~N(μ,σ2)，则P(μ—σ<ξ<μ+13.已知双曲线Ca>0,b>0的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C左右两支于A，B两点，且=2，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点M若点A、M两点关于原点对称，则双曲线C的离心率为．14.设a∈(0,1)，若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，C，已知点D在边AC上，且BD=AC，BDsinA=BCsinC．(1)证明：△ABC是等腰三角形；16.(本小题15分)23，P为线段AA1上一点．(2)是否存在点P，使得平面BPC1与平面ABC的夹角余弦值为？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由．17.(本小题15分)已知函数f=lnxx2一x．(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设x1，x2(0<x1<x2)是函数g(x)=f(x)+x的两个极值点，若gx1一gx2≥mx1x2，求m的最大值.18.(本小题17分)已知椭圆C过点A(2,2)，且C的右焦点为F(2,0)．(1)求C的方程;(2)设过点(4,0)的一条直线与C交于P，Q两点，且与线段AF交于点S．(i)证明：直线SF平分匕PFQ;(i)若△APS的面积等于△FQS的面积，求Q的坐标．19.(本小题17分)对于数列{an}，如果存在等差数列{bn}和等比数列{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)，则称数列{an}是“优分(1)证明：如果{an}是等差数列，则{an}是“优分解”的．N*)或数列{Δ2an}是等比数列．(3)设数列{an}的前n项和为Sn，如果{an}和{Sn}都是“优分解”的，并且a1=3,a2=4,a3=6，求{an}的通项公式.高三年级阶段性检测数学参考答案题号12345678答案AA题号9答案ADBCDACD15.解：(1)证明：由正弦定理可知，ABsinA=BCsinC因为BDsinA=BCsinC，所以BDsinA=ABsinA，...........................3分又sinA≠0，所以AB=BD，又因为BD=AC，所以AB=AC所以△ABC是等腰三角形...........................6分(2)设AB=AC=b，CD=AC，则AD=，AB=b，BD=b，所以在△ABD中，由余弦定理得，cosA...........................9分在△ABC中，“A+B+C=A+2C=π,:C=-...........................10分:sinC=sincos...........................13分16.证明：(1)连接AC1，因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，所以四边形AA1C1C为平行四边形，因为AC=AA1=23，所以四边形AA1C1C为菱形，所以AC1⊥A1C，...........................1分又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，AB⊥AC，ABC平面ABC，所以AB⊥平面AA1C1C，因为A1CC平面AA1C1C，所以AB⊥A1C，...........................4分因为AB，AC1C平面ABC1，AB⋂AC1=A，所以A1C⊥平面ABC1，因为BC1c平面ABC1，所以A1C⊥BC1；...........................6分(2)如图，以AC的中点o为坐标原点，oC，oC1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，)， 11分由题意：|cos，...........................13分解得：λ=或，经验证，λ=或均符合题意．所以...........................15分17.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′ax...........................1分所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；所以f(x)在(0,1)，(,+∞)上单调递增，在(1,)上单调递减；③当a=1时，则f′(x)≥0，所以在(0,+∞)上f(x)单调递增；④当a>1时，令f′(x)>0，得0<x<或x>1，令f′(x)<0，得<所以f(x)在(0,)，(1,+∞)上单调递增，在(,1)上单调选减；...........................5分综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递∞)上单调递增，在(1,)上单调递减；当a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0,)，(1,+∞)上单调递增，在(,1)上单调递减．...........................6分(2)证明：g(x)=f(x)+x=lnx+x2-ax，则g(x)的定义域为(0,+∞)，g′(x)=+ax-a=，若g(x)有两个极值点x1，x2(0<x1<x2)，则方程ax2-ax+1=0的判别式Δ=a2-4a>0，且x1+x2=1，x1x2=>0，得a>4，...........................8分所以g(x1)-g(x2)=lnx1+x-ax1-lnx2-x+ax2=ln+(x-x)-a(x1-x2)=ln+(x-x)-a(x1-x2)(x1+x2)=ln-(x-x)因为gx1-gx2≥mx1x2，所以≤ln-(-)...........................11分令t=(0<t<1)设h=lnt...........................12分所以h(t)>h(1)=0，所以≤0，即m≤0...........................14分所以m的最大值为0．...........................15分18.解：(1)根据题意有c=2，所以c的方程为+=1．...........................4分(2)(i)因为椭圆的长轴右端点横坐标为a=22<4，所以PQ的斜率一定存在(否则与椭圆没有交点)设PQ的方程为y=k(x-4)，代入c的方程有：(2k2+1)x2-16k2x+32k2-8=0，其中Δ=(-16k2)2-4(2k2+1)(32k2-8)=32-16k2>0，故-2<k<2，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=，x1x2=，...........................6分若直线SF平分<PFQ，且易知AF⊥x轴，故只需满足直线FP与FQ的斜率之和为0．设FP，FQ的斜率分别为k1，k2，则：=2k，...........................8分代入x1+xx1x有k1+k2=0，故命题得证．...........................10分(ii)由(i)知直线AF平分<PFQ，即<AFP=<AFQ．因为△APS的面积等于△FQS的面积，故S△APS+S△SPF=S△FQS+S△SPF，即S△APF=S△FPQ，故PF//AQ．...........................13分Q在线段AF的垂直平分线上．...........................15分易知线段AF的垂直平分线为Y=，与C的方程联立有x2=7，故Q的坐标为(...........................17分19.解：(1)”{an}是等差数列，设其公差为d，则{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，所以数列{an}是“优分解”的．........................3分(2)因为数列{an}是“优分解”的，设an=bn+cn(n∈N*)，(q1),