九年级数学寒假作业04 概率的进一步认识+投影与视图15大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）（解析版）

限时练习：60min完成时间：月日天气：作业04概率的进一步认识+投影与视图知识点一、概率1.概率的概念一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).知识点二、概率的计算（1）公式法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝（2）列表法当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.（3）画树状图当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.（4）几何概型一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.（5）游戏公平性判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.知识点三、用频率估计概率1.频率与概率的定义频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.知识点四、投影1.投影现象：物体在光线照射下，在地面或其他平面上留下影子的现象，影子所在平面为投影面。2.中心投影：手电筒、路灯和台灯等光线可看成从一点发出，这样的光线照射物体所形成的投影为中心投影。等高物体垂直地面放置时，离点光源近的影子短，远的影子长；等长物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长，越远则越短，但不会短于物体本身长度。3.平行投影：太阳光线可看成平行光线，其形成的投影为平行投影。等高物体垂直地面放置时，在太阳光下影子一样长；等长物体平行于地面放置时，在太阳光下影子一样长且等于物体本身长度。在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。知识点五、中心投影与平行投影的区别与联系1.区别：太阳光线平行，太阳光下影子长度与物体高度成比例，同一时刻影子方向总是相同；灯光发散，灯光下影子与物体高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。2.联系：都是研究物体投影的方式，平行投影由平行光线形成，如太阳光线、月光等；中心投影由一点发出的光线形成，如灯泡、手电筒的光线等。五、视图1.三视图的概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形称为视图。从正面、左面和上面观察物体，分别得到主视图、左视图和俯视图，它们统称为三视图。2.三视图的关系：位置上，俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方；大小上，遵循主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等的原则。3.画几何体的三视图：先确定主视图位置并画出，再在主视图正下方画出俯视图，保证长对正，在主视图正右方画出左视图，做到高平齐、宽相等，几何体上被遮挡看不见部分的轮廓线画成虚线。4.由三视图想象几何体的形状：分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面，再综合考虑整体图形，可根据实线和虚线想象看得见和看不见的轮廓线，也可通过熟记简单几何体的三视图来帮助想象复杂几何体的形状。三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一几何概率1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键．用空白区域的面积除以总面积即可．解：由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同，∴小明掷在空白区域的概率是．故选：A．2．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可．【详解】解：由图可知，总面积为，其中光伏吸收区的面积为，小球最终停留在光伏吸收区的概率是，故选：C．3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在黑色区域的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查求几何概率，解题的关键是根据平行四边形的性质，得平行四边形对角线所分成四个三角形的面积相等，再根据，阴影部分的面积为平行四边形面积的，即可．【详解】解：由题意得，该图形为平行四边形，∴平行四边形对角线所分成四个三角形的面积相等，由平行四边形的中心对称性可知，∴影部分的面积为平行四边形面积的，∴飞镖落在阴影区域的概率是．故选：A．4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D，E，F分别是各边的中点，连接DE，DF，随机向中掷一粒米，则这粒米落在阴影部分的概率为．【答案】【分析】利用阴影部分与三角形的面积比即可．本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的性质、几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．【详解】解：设三角形面积为1．∵中，分别是各边的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∵是的对角线，，同理，，∴阴影部分的面积的面积的，∴米粒落到阴影区域内的概率是．故答案为：．5．（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率；（2）在中，是两条对角线，现有以下条件：①；②；③；④．从中任取一个作为条件，求可判定是菱形的概率．【答案】（1）（2）【分析】本题考查了概率的简单应用，熟练掌握概率的定义和求法是解题的关键；（1）计算面积再根据概率公式计算概率；（2）判断满足菱形条件的个数然后根据概率公式计算即可.【详解】解：（1）设每个小正方形的边长为1，则，（最终停在阴影方砖上）．（2）①四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形；②四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形；③四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形；④四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形．只有①③可判定是菱形，∴可判定是菱形的概率是．题型二列举法求概率6．（25-26九年级上·全国·期中）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查列举法求概率，熟练列出所有可能结果是解题的关键．计算两辆车所有可能的方向组合和驶向相同方向的组合，然后求概率即可．【详解】解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立，则可能的情况组合为：（直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转），总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转，因此驶向相同方向的概率是，故选：A．7．（2025九年级上·全国·专题练习）有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“乒乓球”、“羽毛球”、“跳水”、“篮球”四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片的正面图案恰好是“乒乓球”和“篮球”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查概率计算，通过枚举所有可能抽取结果或树状图求概率即可．【详解】解：设“乒乓球”、“羽毛球”、“跳水”、“篮球”四张卡片分别用1、2、3、4表示.∵从四张卡片中随机抽取两张，共有6种等可能结果：、、、、、，其中抽到“乒乓球”和“篮球”（即1和4）的结果有1种：，∴概率为，故选：B．8．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是．【答案】/0.75【分析】本题考查列举法求概率，从4张卡片中随机抽取3张，共有4种可能组合，根据三角形三边关系定理判断，其中能构成三角形的有3种，故概率为．【详解】解：由题意，所有可能的抽取组合为：，其中能构成三角形的有共3种，∴；故答案为：9．（25-26九年级上·全国·月考）某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加比赛，预赛分、、三组进行，运动员通过抽签决定分组．则甲、乙两人恰好分到同一组的概率是．【答案】【分析】本题考查列举法求概率，通过列举所有可能的分组结果，计算甲、乙分到同一组的情况数与总情况数的比值即可．【详解】解：甲、乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：、、、、、、、、，共9种，它们出现的可能性相同，其中，甲、乙恰好分到同一组的结果有3种，即、、，因此，概率为，故答案为：．10．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字，0，1，每个小球除数字不同其余均相同，每次取出前都先摇匀．(1)从口袋中随机取出一个小球，取出的小球上的数字不为0的概率是______．(2)从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后再从剩下的小球中随机取出一个小球，记小球上的数字为．将有序数对记为点坐标，标记到平面直角坐标系中，求得到的点坐标在第二象限的概率．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）利用概率的计算公式计算即可；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合要求的结果数求出概率的即可．【详解】（1）解：从口袋中随机取出一个小球结果有种，它们是等可能性的，取出的小球上的数字不为0的结果有两种，∴取出的小球上的数字不为0的概率是；（2）画树状图为：共有种等可能的结果数，得到的点坐标在第二象限的是，结果有种，∴概率为．题型三树状图法求概率11．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中各随机选择其中一个主题，则他们恰好选中同一个主题的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查列表法求概率，用A，B，C表示三个主题，列出表格，利用概率公式进行计算即可．【详解】解：由题意，列表如下：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共9种等可能的结果，其中她们恰好选中同一个主题的结果有3种，∴；故选C．12．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点在第三象限的概率是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是概率的计算，掌握列举法求概率的方法是解题的关键．通过列举所有放回抽取的可能结果，结合第三象限点的坐标特征（横、纵坐标均为负），找出符合条件的结果数，进而根据概率公式求出点在第三象限的概率．【详解】根据题意列表得：共有种可能的情况，在第三象限的点有个，．故选：A．13．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘各一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），则转盘停止时，两个转盘均停在红色区域的概率是．【答案】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两个转盘均停在红色区域的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：红绿红蓝白白红白绿白红白蓝红红红红绿红红红蓝蓝蓝红蓝绿蓝红蓝蓝由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两个转盘均停在红色区域的结果有2种，∴两个转盘均停在红色区域的概率为．故答案为：．14．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）某一物理实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，、为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让灯泡发光的概率为．【答案】【分析】本题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．列表得出共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：由电路图可知，闭合开关和，能让灯泡发光，列表如下：共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，即，，能让灯泡发光的概率为，故答案为：．15．（2025·安徽·模拟预测）某中学随机抽取九年级部分学生参加冬季山林防火知识测试，将成绩分成A，B，C，D四个等级，并绘制成如下不完整的统计图表：成绩n/分等级频数A2BC15D6(1)抽取的学生人数为_______，扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为_______°．(2)九（1）班有8位同学参加测试，成绩(单位：分)分别为：80，80，70，70，70，70，100，100，则这8位同学成绩的中位数为_______分，众数为_______分；(3)若从成绩为A，B两个等级的学生中任选两位参加市级测试，求其中至少有一位是A等级的概率．【答案】(1)25，28.8(2)75，70(3)【分析】本题主要考查从统计图表获取信息，众数、中位数，树状图，解题的关键是获取信息，准确列出树状图．（1）根据C等级的人数及占比，得到样本总数及B等级的学生数，求出B等级学生占比得到圆心角即可；（2）根据众数、中位数的概念求解即可；（3）根据题意A，B等级的共有4名学生，列出树状图，求概率即可．【详解】（1）由统计图表可知成绩为C等级的有15人，占，所以抽取的学生人数为（人）；成绩在B等级的学生有（人），占总人数的，所在扇形的圆心角度数为，故答案为：25；28.8．（2）这8位同学成绩从小到大排序为：80，80，70，70，70，70，100，100，中位数为第四和第五位的均值75，众数为70，故答案为：75；70．（3）成绩为A，B等级的共有4名学生，设为，任选2人的情况，列树状图如下，共12种情况，其中至少有一位A等级的有10种，即概率为，所以其中至少有一位是A等级的概率为．题型四游戏的公平性16．（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（

）A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹【答案】A【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可．【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示：第二枚第一枚123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的，故选：A．17．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案.【详解】解：根据题意画出树状图：∴共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况，∴小明获胜的概率P==，故选:B.【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.18．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则（填“公平“或“不公平”）．【答案】不公平【分析】分别求出小红和小军获胜的概率，然后进行比较即可．【详解】解：∵当末位数字是2或4时，摆出的三位数是偶数，当末位数字为3时，摆出的三位数是奇数，∴摆出的三位数是偶数的概率为，摆出的三位数不是偶数的概率为，∵，∴这个游戏不公平，故答案为：不公平．【点睛】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是分别求出小红和小军获胜的概率．19．（24-25九年级下·陕西商洛·月考）甲、乙两人玩转盘游戏，如图转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红．游戏规则是∶转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向的颜色即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．

(1)随机转动转盘一次，指针指向白色的概率是；(2)小明和小丽玩转盘游戏，小丽转动转盘，小明进行猜测，转动转盘前，小明想了两种猜测特征，第一种是猜测“两次转出的颜色相同”；第二种是猜测“转出的一定有黑色”．请你帮小明选择其中一种猜测特征，使他获胜的可能性更大，并说明理由．【答案】(1)(2)选第二种猜测特征，才能使小明获胜的可能性更大，见解析【分析】本题主要考查列表或画树状图求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键．（1）根据概率的计算方法是即可求解；（2）运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．【详解】（1）解：转盘有3中等可能结果，白色的有1中结果，∴指针指向白色的概率，故答案为：．（2）解：选第二种“转出的一定有黑色”，理由如下：解法一：画树状图为：

共有9种等可能的结果，两次颜色相同的有3种结果，其中一定有黑色的有5种结果，∴，，∵，∴．∴选第二种特征，才能使小明获胜的可能性更大．解法二：列表如下：黑白红黑（黑，黑）（黑，白）（黑，红）白（白，黑）（白，白）（白，红）红（红，黑）（红，白）（红，红）共有9种等可能的结果，两次颜色相同的有3种结果，其中一定有黑色的有5种结果，∴，，∵，∴．∴选第二种特征，才能使小明获胜的可能性更大．20．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）某中学九年级有八个班，学校准备从中抽调两个班参加社区公益活动．各个班级都积极参与，由于某种特殊原因，一班必须参加，另外从二至八班中再选一个班参加有人提议用如下的方法随机选择一个班级，具体方案是：在四个相同的乒乓球上分别标上数字1、2、3、4，并放入一个不透明的袋中，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，放回后，再随机摸出一个，摸出的两个数字相加，和是几就选几班．请你求出每一个班级被选中的概率，并判断这种方法是否公平．【答案】，，，，，，，这种方法不公平【分析】根据题意列表得到所有的等可能的结果，再根据概率公式求得各种情况的概率，比较即可得出结论．【详解】解：列表为：和123412345234563456745678由表知，共有16种可能的情况，每种情况出现的可能性相同，其中和为2有1种，和为3有2种，和为4有3种，和为5有4种，和为6有3种，和为7有2种，和为8有1种，则，，，，即二班至八班各班被选中的概率不全相等，∴这种方法不公平．【点睛】本题考查本题考查概率问题中的公平性问题，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：列表法求概率及概率=所求情况数与总情况数之比．题型五概率在比赛中的应用21．（24-25九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（

）A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题【答案】D【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断．【详解】解：①若两次求助都用在第1题，假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为，故此时该选手通关的概率为：；②若在第1第2题各用一次求助，假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是，第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，因此第一题答对的概率为：，第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为，故此时该选手通关的概率为：；③两次求助都用在第2题，画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，

共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：.∵，∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，故选：D．【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．22．（2025九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？答：甲得元；乙得元．【答案】【分析】本题考查了列举法求概率．列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案．【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况，∵甲三胜二负，∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜，∴甲胜的概率为，乙胜的概率为，∴甲得元、乙得元．故答案为：，23．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张．(1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________；(2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？【答案】(1)(2)小丽获胜的概率大【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式是解答本题的关键．（1）先确定中3的倍数的个数，再依据概率公式计算即可．（2）确定小丽抽到6后剩余卡片情况，共9张，数字为、、、、、、、、；分别找出小亮获胜（抽到、、、）和小丽获胜（抽到、、、、）对应的数字个数；依据概率公式分别计算小亮和小丽获胜的概率，比较大小得出谁获胜概率大．【详解】（1）解：在1到10这10个数字中，3的倍数有3、6、9，共3个．所以抽出卡片上的数字是3的倍数的概率，故答案为：；（2）在数字1到10中，比6小的数字有1，2，3，4，5，所以小丽获胜的概率是．

比6大的数字有7，8，9，10，所以小亮获胜的概率是．

因为，所以小丽获胜的概率大．24．（24-25九年级上·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下：●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子．●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0．●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜．根据下面这个表格中的数据记录回答：游戏次序游戏者第1次点数第2次点数第3次点数得分第一次小明232小亮346第二次小明41小亮35(1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）；(2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率；(3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由．【答案】(1)7，0，小明(2)(3)不会，理由见解析【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键：（1）根据规则，进行求和计算即可；（2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可；（3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可．【详解】（1）解：小明得分：（分）；小亮投掷的点数之和为：，∴小亮得分为0分；∴小明赢；故答案为：7，0，小明；（2）小明前两次投掷的点数和为：，∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分，∴；（3）不会，理由如下：小亮前两次投掷的点数和为：，∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为，∵，∴不会投掷第三次．25．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为．(1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率；(2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由．【答案】(1)，(2)正确，理由见解析【分析】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案．【详解】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，所以（A盘转出数字“2”），因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域，所以（盘转出数字“2”），（2）解：正确，理由如下：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个，所以（A盘转出的数字大于4）．因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个，所以（盘转出数字“4”），所以小华的看法正确，题型六概率的其他应用26．（2025九年级上·广东深圳·竞赛）的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（

）种染色方案？A．13230 B．27000 C．12300 D．14400【答案】A【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键．给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论．【详解】解：给各区域标上字母，如图所示．先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑．当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，∴（种）；当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，∴（种）；当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，∴（种）；当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，∴（种）；当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，∴（种）．∴共有（种）．故选：A．27．（2025·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键．根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可．【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，∴他遇到绿灯的概率是：．故选：C．28．（25-26九年级上·北京·月考）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是．（2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有个球．【答案】黑【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键．（1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案；（2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可．【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球．故答案为黑．（2）由题意得，可知取两个球共有四种情况：①黑+黑，则乙盒中黑球数加1，②白+白，则丙盒中白球数加1，③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1，④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1．分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球．因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次．该操作共用去黑球(个)．因为袋中黑球、白球各占一半，所以袋中原来最少有个黑球和个白球．故袋中原来最少有(个)球．故答案为：．29．（2025·福建·模拟预测）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．手机支付非手机支付合计男女合计(1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）；②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率．(2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、方案一：手机支付消费每满元可直减元：方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款．如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算．【答案】(1)(2)选择方案二更划算【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．（1）①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人，进而可以补充表格数据；②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可；（2）若选方案一：则需付款：元；若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元，根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、，画出树状图分别求出摸到个红球，摸到个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可．【详解】（1）解：①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人，∵，，∴，，补充表格如下：手机支付非手机支付合计男女合计②由①可得，女性用户中随机抽取位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是．（2）解：若选方案一：则需付款：元；若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元，根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、，画出树状图为：根据树状图可知：所有可能的结果共种，摸到个红球的有种，摸到个红球的有种，未摸到红球的有种，所以摸到个红球的概率为：，则打折，摸到个红球的概率为：，则打折，未摸到红球的概率为：，按原价付款．所以实际付款的平均金额为：（元）．因为元元，所以选择方案二更划算．30．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某学习小组为估计一枚质地不均匀的骰子掷出“6点”的概率，进行了1000次重复掷骰子试验，其中掷出“6点”的次数为180次，则下列说法正确的是（

）A．这枚骰子掷出“6点”的概率一定是B．再做1000次试验，掷出“6点”的次数一定还是180次C．估计这枚骰子掷出“6点”的概率约为D．试验次数越少，估计的概率越准确【答案】C【分析】本题考查了频率估计概率，概率的意义，根据频率估计概率的原理，试验次数足够多时，频率接近概率，但概率是固定值，频率是估计值，不一定相等．【详解】解：∵在大量重复试验中，事件发生的频率稳定于其概率，∴掷出“6点”的频率为，可估计概率约为．故C项正确；A项错误，因为概率是固定值，不一定是频率；B项错误，因为每次试验结果随机，次数不一定相同；D项错误，因为试验次数越多，频率越稳定，估计越准确．故选：C．题型七用频率估计概率31．（24-25九年级下·安徽六安·月考）如图，是由边长为个单位长度的小正方形组成的的网格，其中有一“心形”图案．数学小组为了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：试验总次数落在“心形线”内部的次数落在“心形线”内部的频率根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，然后求出面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近，∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为，∴估计“心形”图案的面积为，故选：．32．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（

）个A．15 B．8 C．16 D．18【答案】A【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可．【详解】解：设袋子中黄球约有x个，∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近，∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，∴，解得，经检验，是原方程的解，∴袋子中黄球约有15个，故选：A．33．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为．【答案】【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，先求出点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在0.6，再用总面积乘以0.6即可求解．【详解】解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，∴据此估计点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在，∴该二维码中黑色区域的面积为．故答案为：34．（2025·安徽·模拟预测）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法－随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了：这个概率是．某数学兴趣小组做了这个实验来估计的近似值．他们取，得到实验数据如下：实验次数500相交频数149相交频率0.298由此估计的近似值为（精确到0.01）．【答案】3.36【分析】本题考查了频率估计概率，根据这个概率是，，得出，即可作答．【详解】解：∵，，∴，则，∴的近似值为3.36，故答案为：3.36．35．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：摸球的次数摸到白球的次数摸到白球的频率(1)当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近___________．（结果精确到）(2)若该盒子里装有黑、白两种球共个，试估算白球的个数．【答案】(1)(2)白球的个数为个【分析】本题主要考查频率估算概率，掌握以上知识是做题的关键．（1）根据表格信息即可求解；（2）根据该盒子里摸到白球的概率为，令其乘以即可．【详解】（1）解：根据表格信息得到当的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近，故答案为：．（2）解：由表格数据可知，摸到白球的频率稳定在左右，估计该盒子里摸到白球的概率为，盒子里白球约有（个）．题型八投影36．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似图形的性质，圆的周长，掌握相似的性质是关键．根据题意相似的性质得到，即可求解．【详解】解：桌面距地面，若灯泡距地面，∴灯泡距离桌面，设桌面阴影的半径为，∴，解得，，∴地面上的阴影部分的面积为，故选：A．37．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（

）A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形【答案】D【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可；【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形；故选：D．38．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）皖南皮影戏又称太平戏，被列入安徽省第二批省级非物质文化遗产，皖南皮影戏属于投影．（填“平行”或“中心”）【答案】中心【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影的定义，投影分为平行投影和中心投影．平行投影的光线相互平行，而中心投影的光线从一个点发出．皮影戏的光源为点光源，光线从一点发散，形成中心投影．【详解】解：皖南皮影戏使用点光源（如灯或蜡烛），光线从光源中心发散，投射到屏幕上，因此属于中心投影．故答案为：中心．39．（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在太阳光下的投影是．(1)太阳光下形成的投影属于___________；（填“平行投影”或“中心投影”）(2)请你在图中画出此时在太阳光下的投影；【答案】(1)平行投影(2)见解析【分析】本题主要考查的是平行投影的相关知识．（1）根据太阳光线是平行线，可知太阳光下形成的投影属于平行投影，即可解答；（2）根据太阳光线是平行线，作图即可．【详解】（1）解：根据太阳光线是平行线，可知太阳光下形成的投影属于平行投影．故答案为：平行投影．（2）作图如图，即为所求．40．（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图，电线杆上有盏路灯O，小明身高，他从点F出发，沿直线运动，当他运动到达点D处时（即），测得影长，再前进到达点B处时（即），测得影长．（图中线段，，表示小明的身高，，，均与垂直，且在同一平面上）(1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时的影子；(2)求路灯O到地面的距离．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可．（1）连接、并延长，交点即为点，再连接并延长于底面的交点为，即为所求；（2）过作于点，设，根据得，据此求得，再根据可求得．【详解】（1）解：如图所示：点O即为路灯的位置，线段即为小明位于F处时的影子（2）解：如图，过点O作于点H．∵，，，∴．∴，．∴，．设，．又∵，，，，∴，，解得，．经检验，，是原方程的解．∴路灯O到地面的距离为．题型九判断三视图41．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，是收藏于中国国家博物馆的四羊方尊立体图形，有关其三视图说法正确的是（

）A．主视图与左视图完全相同 B．主视图与俯视图完全相同C．左视图与俯视图完全相同 D．三视图各不相同【答案】A【分析】本题考查几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案．【详解】解：该立体图形从左边看和正面看的图形是一样的，但与从上面看到的图形是不一样的，故主视图与左视图完全相同，不与俯视图相同，故选：A．42．（2025·安徽·模拟预测）下图中的左视图是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得解．【详解】解：由题意可得，图中的几何体的左视图如图所示：故选：C．43．（2025·安徽·模拟预测）如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左边看得到的图形即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：这个几何体的左视图由两层构成，底下一层有2个小正方形，上面一层有1个小正方形，且位于最左边，如图所示：故选：D．44．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，是用若干个边长为1的小正方体堆积而成的几何体，该几何体的左视图的面积为【答案】3【分析】由题意，先画出几何体的左视图，然后计算面积即可．【详解】解：根据题意，该几何体的左视图为：∴该几何体的左视图的面积为3；故答案为：3．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是正确的画出左视图．45．（2025·安徽合肥·三模）用8个相同的小正方体搭成一个几何体，其俯视图如图所示，那么左视图一定不是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．【详解】解：A、从左边看，第一层层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层中间一个正方形，即第二层最多是3个正方体，共8个正方体，故A不符合题意；B、从左边看，第一层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层中间一个正方形，实际可以是一个正方体，也可以是两个正方体或三个正方体，第三层中间一个正方体，实际可以是一个正方体，也可以是两个正方体或三个正方体，可以满足有8个正方体，故B不符合题意；C、从左边看，第一层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层左一个正方形，第三层左边一个正方形，即第二、三层共2个正方体，共7个正方体，即该左视图不可能原图形的左视图，故C符合题意；D、从左边看，第一层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层左一个正方形，第三层左边一个正方形，右边一个正方形，即第二、三层共3个正方体，共8个正方体，故D不符合题意；故选：C．题型十三视图的画法46．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请你画出这个几何体的三种视图．【答案】见解析【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．根据主视图、左视图、俯视图的定义即可得到结果．【详解】解：如图，47．（24-25九年级上·全国·课后作业）画出这个几何体从正面、左面和上面看到的图形．【答案】见解析【分析】根据三视图的定义结合图形画图即可．【详解】解：如图所示，【点睛】本题考查作图-三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．48．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图所示是由五个小立方体构成的立体图形，请你分别画出从它的正面、左面、上面三个方向看所得到的平面图形．【答案】见解析【分析】本题考查了作三视图，解答本题的关键是掌握三视图的作法．主视图是从正面看所得到的图形，从左往右有三列，分别有，，个小正方形；左视图是从左面看所得到的图形，从左往右有二列，分别有，，个小正方形；俯视图是从上面看所得到的图形，从左往右有三列，分别有，，个小正方形．【详解】解：如图所示：．49．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图是由六个完全相同的小正方体组成的几何体，分别画出从正面、左面、上面看到的形状图．

【答案】见解析【分析】本题考查作图-三视图，解题的关键是理解三视图的定义，难度不大．根据三视图的定义画图即可．【详解】解：如图所示．50．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．【答案】见解析【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出相应的图形即可．【详解】解：这个组合体的三视图如图所示：【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．题型十一小方块堆砌图形的三视图51．（24-25九年级上·安徽宿州·月考）用小立方块搭一个几何体，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中从上面看到的图中，小正方形内的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题．(1)求x、z各表示的数；(2)y可能是多少？并画出当y值最小时，该几何体的左视图．【答案】(1)，(2)y的值可能是1或2，图形见解析【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图：（1）由主视图可得第二列3层，第三列1层，即可求解；（2）由主视图可得第一列2层，可确定y的值，即可求解．【详解】（1）解：由主视图得：第二列3层，第三列1层，∴，；（2）解：由主视图得：第一列2层，∴y的值可能是1或2，最大值为2，当y取最小值1时，左视图如下：．52．（24-25九年级上·河南开封·月考）如图是由若干个完全相同的棱长为1的小正方体堆成的一个几何体．(1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图和俯视图；(2)该几何体是由个小正方体堆成的；(3)若再添加n个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为．【答案】(1)见解析；(2)8；(3)6．【分析】本题考查从不同方向看几何体，注意小正方形的数目及位置是解题关键．（1）根据从正面看从左到右的小正方体分别为1，3，1，1、从左面看从左到右的小正方体分别为3，1，1、从上面看从左到右的小正方体分别为1，3，1，1画出图形即可；（2）根据题意得出结论即可；（3）根据在最下面一层的第一列、第三列和第四列前分别加上2个小正方体，得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变解答即可．【详解】（1）解：主视图、左视图、俯视图依次是；（2）解：由图可知，该几何体是由8个小正方体堆成的，故答案为：8；（3）解：如图，加上6块，得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变．∴n的最大值为6，故答案为：6．53．（24-25九年级上·广东深圳·期中）由大小相同的边长为1cm小立方块搭成的几何体如图．(1)请在方格纸中分别画出这个几何体从左面和上面看到的形状；(2)这个几何体的表面积为_______．(3)用相同形状的小立方块重新搭一个几何体，使得它从上面看和从左面看到的与你在上图方格中所画的图一致，这样的几何体最少要_______个立方块，最多要_______个立方块．【答案】(1)见解析(2)(3)5，7【分析】（1）根据三视图的画法进行作图即可；（2）确定前面，左面和上面各有几个面，相加乘即为几何体的面的个数，再乘以一个小正方形的面积即可；（3）利用俯视图标数法进行确定即可．【详解】（1）解：作图如下：（2）从正面看，有4个面，从左面看，有3个面，从上面看，有4个面，∴这个几何体的表面积为：．（3）解：根据俯视图确定位置，左视图确定个数，作图如下：（上面三个位置任一位置为2即可）此时小正方体的个数最少：；此时小正方体的个数最多：；故答案为：；7．【点睛】本题考查由小正方体堆砌的几何体问题．熟练掌握三视图的画法，以及利用俯视标数法求小正方体的最少个数和最多个数，是解题的关键．54．（24-25九年级上·江苏南京·月考）根据要求完成下列题目．（1）图中有_____块小正方体．（2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）．（3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要____个小正方体，最多要____个小正方体．【答案】（1）6；（2）见解析；（3）5,7【分析】（1）根据图形知图形的层数及各层的块数，相加即得；（2）根据三视图的画法解答；（3）最少时只能将竖列的两个的最上一个去掉，最多时在两个的最上加一个．【详解】解：由图知，图形共有3层，最下层有3块小正方体，中间一层有2块，最上一层有1块，∴图中共有1+2+3=6块小正方体，故答案为：6；（2）如图：（3）如图，用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要5个，最多需要7个，故答案为：5,7．【点睛】此题考查画小正方体构成的立体图形的三视图，数小正方体的个数，正确掌握立体图形的三视图的画法是解题的关键．55．（24-25九年级上·贵州贵阳·开学考试）在平整的地面上，有一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体，如图所示．（1）请依次画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的图形；（2）现在还有一些相同的小立方块，如果要保持从上面和左面看到的图形不变，那么最多可以添加几个这样的小立方块？

【答案】（1）答案见解析；（2）3．【分析】（1）根据题中的几何图形以及从正面看的方向即可解答；（2）保持从上面看和从左面看所得图形不变，可往第二列的小正方体上各放一个小正方体，第3列的小正方体上放1个小正方体．【详解】解：（1）如图所示

（2）保持从上面看和从左面看所得图形不变，可往第二列的小正方体上各放一个小正方体，第3列的小正方体上放1个小正方体，∴最多可以添加个这样的小立方块．【点睛】本题考查作图−三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．题型十二求三视图的表面积56．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知一个几何体的三视图如图所示，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积．【答案】侧面积为，体积为【分析】本题考查由三视图判断几何体以及几何体的表面积、体积计算，根据三视图以及各部分的长度，可得出该组合体的形状，再根据表面积、体积的计算方法进行计算即可．【详解】解：根据该组合体的三视图的形状可知，该组合体为下面是长为，宽为，高为的长方体，上面是底面直径为，高为的圆柱体，所以该组合体的侧面积为：，体积为：.57．（24-25九年级上·安徽宿州·单元测试）已知下图为一几何体从不同方向看到的图形．(1)写出这个几何体的名称；(2)若长方形的高为8，三角形的边长为3，求这个几何体的侧面积．【答案】(1)直三棱柱(2)【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，用到的知识点为：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱；（2）侧面积为长方形，它的长和宽分别为、8，计算出一个长方形的面积．【详解】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱；（2）这个几何体的侧面积为（平方厘米）．58．（2025·安徽安庆·一模）一个几何体的三种视图如图所示．求这个几何体的表面积．（结果保留）

【答案】【分析】根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，则可想象出这是一个圆柱体，再根据表面积侧面积底面积，列式计算即可．【详解】解：根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，可得这个几何体是圆柱体，∵圆柱的半径为3，高为10，∴．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是几何体的表面积，本题难点是确定几何体的形状，关键是根据公式列出算式．59．（24-25九年级上·安徽宿州·单元测试）某几何体的三视图如图：(1)此几何体是名称叫什么？(2)求此物体的全面积（结果保留含π）．【答案】(1)圆柱(2)1000π【分析】（1）根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；（2）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．【详解】（1）解：根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱；（2）解：根据圆柱的全面积公式可得，．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的全面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法．60．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．(1)写出这个几何体的名称；(2)若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积．【答案】(1)正三棱柱(2)见解析【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可以得到此几何体为正三棱柱；（2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为3cm和2cm，求出一个长方形的面积，再乘以3即可解答．【详解】（1）解：根据题意得∶该几何体的主视图和左视图才能出现长方形，俯视图是三角形，∴这个几何体的名称是正三棱柱；（2）解：（），∴这个几何体的侧面积为．【点睛】本题考查由三视图判断几何体，棱柱的侧面都是长方形，上、下底面是几边形就是几棱柱，还考查了求三棱柱的侧面积．熟记几何体的特点和组成是解题关键．题型十三求三视图的体积61．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）用若干个棱长为1的小正方体搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示（小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数）．(1)请在图中画出主视图和左视图；(2)这个几何体的体积是______．【答案】(1)见解析(2)12【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，求几何体的体积，能正确画出从正面和左面看到的图形是解题的关键．（1）从上面看得到图形的数字可得，从正面看有3列，看到小正方形的数量从左到右依次是4个、3个，2个；从左面看有3列，从左到右看到小正方形的数量依次是2个，4个，2个，据此可作图即可；（2）根据从正面、左面、上面看到的小正方形个数求出体积即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：这个几何体的体积是：．故答案为：12．62．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题．(1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；(2)求这个立体图形的体积．【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高(2)这个立体图形的体积【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图：（1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可；（2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高；（2）解：此立体图形的体积是．63．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）图2是几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为．(1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（在图1的方格内涂上相应的阴影即可）(2)请计算出该几何体的体积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的体积，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）直接根据从不同方向看到的图形作答即可；（2）用一个小正方体的体积乘以小正方体的个数即可求解．【详解】（1）解：这个组合体的三视图如下：（2）解：这个组合体的体积为，答：这个组合体的体积为．64．（24-25九年级上·山东枣庄·月考）在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示．(1)该几何体的主视图是，左视图是；（填序号）(2)若大正方体的棱长为，小正方体的棱长为，求这个几何体的表面积与体积．【答案】(1)①，②(2)，【分析】本题考查从不同方向看简单组合体，几何体的表面积以及体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据分别从正面、左面看到的图形，得出几何体的主视图和左视图，进行作答即可．（2）根据三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，根据面积计算公式即可得到这个几何体的表面积；根据体积计算公式利用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可得到这个几何体的体积．【详解】（1）解：由题意可得，该几何体的主视图是①，左视图是②；故答案为：①，②；（2）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，则这个几何体的表面积为：，这个几何体的体积为：，答：这个几何体的表面积与体积分别为，．65．（24-25九年级上·陕西榆林·月考）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图，回答下列问题：(1)这个几何体是由圆柱和________________组成；(2)求这个几何体的体积（，结果保留，单位：cm）【答案】(1)长方体(2)【分析】本题主要考查了几何体的三视图，求圆柱的体积，对于（1），观察三视图可知组合体上面是一个圆柱，下面是一个长方体；对于（2），根据体积公式求解即可．【详解】（1）解：观察组合体上面是一个圆柱，下面是一个长方体.故答案为：长方体；（2）解：该几何体上部分是一个圆柱，底面直径是、高是；下部分是一个长方体，长、宽、高分别是.∴，∴该几何体的体积为．题型十四有三视图判断小立方体的个数66．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体．(1)该几何体由______个小正方形组成；(2)请分别画出该几何体的主视图、左视图；(3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？【答案】(1)(2)画图见详解(3)【分析】题考查组合体的三视图，发挥空间想象能力是解决问题的关键．（1）从上到下逐层数出小正方体的个数即可得到答案；（2）由组合体的构成，从正面看、从左面看即可得到其平面图形；（3）该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和，数出能看到的各个面求和即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示：该几何体由个小正方形组成，故答案为：；（2）解：如图所示：（3）解：小正方形的边长为1，小正方体的每一个面的面积为1，如图所示：该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和，则该几何体的表面积为：．67．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图是由若干个相同的小立方块组成的几何体．(1)这个几何体由______个小立方块组成；(2)画出从上面、左面观察所看到的几何体的形状图．【答案】(1)6(2)见解析【分析】本题考查了作图－三视图，掌握从不同方向观察到的图形的形状是解题的关键．（1）根据图形即可得到结论．（2）根据三视图的定义即可得到结论．【详解】（1）根据图形，可知这个几何体由6个小立方块组成．（2）如图所示．68．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）用小正方体搭一个几何体，使它的左视图和俯视图如图所示，俯视图中的小正方形中字母表示该位置小正方体的个数，试回答下列问题：(1)各等于几？(2)当时，画出这个几何体的主视图．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题主要考查了左视图和主视图的定义，熟练掌握左视图是从左边看到的图形，从正面看到的图形是主视图，是解题的关键．（1）根据左视图中正方形的个数求出即可；（2）根据解析（1）求出，画出左视图即可．【详解】（1）解：∵左视图中间有1个正方形，∴，∵左视图右边有2个正方形，∴；（2）解：∵，，∴从正面看到有3列，左边一列有1个正方形，中间和右边都有3个正方形，如图所示：69．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）用多个相同的小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，请解答下列问题：(1)______，______，______．(2)这个几何体最少由______个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成．(3)若，，请画出这个几何体的左视图．【答案】(1)，，(2)，(3)见解析【分析】此题考查了小立方体组成的几何图形，（1）根据主视图结合俯视图直接解答即可；（2）由主视图得，中有一个等于时，小立方体个数最少，当时，小立方体个数最多；（3）根据三视图的要求画图即可．【详解】（1）解：根据主视图可知第一列的高度为，故，第二列的高度为，故，故答案为：，，；（2）由主视图得，中有一个等于时，小立方体个数最少，最少个数为：；当时，小立方体个数最多，最多个数为：；故答案为：，；（3）左视图如图：70．（2025九年级上·全国·专题练习）小欣和小悦用一些大小相同的小立方块搭几何体，想要使该几何体从正面和上面看到的形状图如图所示．从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数．(1)表示几？(2)小欣说的值一定为，请问小欣的说法是否正确？请说明理由；(3)这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？【答案】(1)(2)错误，见解析(3)最少个，最多个【分析】本题考查了从不同方向看物体：（1）从正面看第列小立方块的个数为；（2）从正面看可知第列小立方块的个数最多为，所以可知的取值；（3）从正面看和从上面看可知是定值，最小为，最大为，且至少有一个为，最小为，最大为，且至少有一个为，根据最大最小值计算即可．【详解】（1）根据从正面看得到的形状图可知，第列小立方块的个数为，则．（2）小欣的说法错误．理由：根据从正面看得到的形状图可知，